Zadanie
Samoš je veľký športovec. Rád chodieva napríklad behať alebo bicyklovať. Nedávno si všimol takú zvláštnu vec. Bežal si len tak rýchlosťou \(u\), keď tu zrazu zazrel oproti sebe rad letiacich holubov dĺžky \(l\). Holuby sa približovali rýchlosťou \(v>u\). Keď Samoš prebehol pod prvým holubom, ten sa hneď otočil a letel opačným smerom rovnako veľkou rýchlosťou \(v\). To isté spravili všetky holuby. Samoš sa zamyslel. Aký dlhý bol rad holubov po tom, čo Samoš prebehol pod posledným z nich?
Na začiatok je dobré si uvedomiť, že aj keď sa holuby pohybujú v rade rovnakou konštantnou rýchlosťou, pohyb ktoréhokoľvek holuba vôbec nezávisí na holubovi pred ním alebo za ním. Závisí len na tom, kedy sa daný holub stretne s chlapcom. To znamená, že pokojne môžeme ignorovať holuby vnútri radu a pozerať sa len na to, ako ďaleko od seba skončia prvý a posledný holub.
V momente, keď sa chlapec stretne s prvým holubom, sa holub od chlapca začne vzďaľovať rýchlosťou \(v-u\). Vo vzdialenosti \(l\) od prvého holuba sa tesne pred stretom pohyboval posledný holub. Ten sa po otočení prvého holuba bude naďalej pohybovať rýchlosťou \(v\) voči zemi a teda \(v+u\) voči chlapcovi, lebo ho predsa netrápi, čo sa deje s holubom pred ním. Stret posledného holuba s chlapcom znamená jeho otočenie, takže medzi otočením prvého a posledného holuba uplynie čas \[t=\frac{l}{v+u}\text{.}\]
Holub, ktorý sa otočil ako prvý, sa za tento čas od chlapca vzdiali o vzdialenosť \[l'=(v-u)t = \frac{v-u}{v+u}l\text{.}\]
Po otočení posledného holuba sa holuby opäť pohybujú rovnakou rýchlosťou a rovnakým smerom, teda ako rad. A vzdialenosť \(l'\) medzi nimi je teda nová dĺžka radu.
Skúsme si teraz otestovať, či hodnoty, ktoré z nášho vzorca dostaneme v niektorých špeciánych prípadoch, súhlasia s našou intuíciou. Keby sa holuby pohybovali rovnakou rýchlosťou ako chlapec, vôbec by sa od neho po otočení nevzďaľovali. Všetky holuby by sa teda nahromadili na chlapcovi a výsledná dĺžka radu by bola nulová. Po dosadení \(u=v\) do nášho vzorca dostávame očakávaný výsledok. Teraz, čo keby chlapec iba stál na mieste?1. Vtedy by sa holuby iba po jednom otáčali, takže dĺžka radu by sa nezmenila. A opäť, po dosadení \(v \gg u\) sa nám vzorec zredukuje len na \(l\).
Ako bonus môžete ešte porozmýšľať nad tým, ako by vyzeralo riešenie pre \(u > v\).
alebo ekvivalentne – rýchlosť chlapca by bola voči rýchlosti holubov zanedbateľná↩
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.