3. Mladý vynálezca vzorové riešenie

Uvažujme nejaký všeobecný tvar prelievacích hodín určený závislosťou \(S(h)\), čo nie je nič iné ako plocha prierezu hodín vo vodorovnom smere, pričom \(h\) meriame vo zvislom smere od zúženia prelievacích hodín. Nech má toto zúženie prierez \(S(h=0)=S_{0}\). Predpokladajme, že hladina je vo výške \(h\). Potom výtoková rýchlosť a rýchlosť klesania hladiny je jednoznačne určená tvarom hodín a touto výškou. Označme výtokovú rýchlosť prislúchajúcu výške \(h\) \(v(h)\) a rýchlosť klesania hladiny \(u(h)\).

Pre vodu v prelievacích hodinách zrejme platí zákon zachovania mechanickej energie. Uvažujme malé množstvo vody s hmotnosťou \(\Delta m\), ktoré je v povrchovej vrstve. Celková mechanická energia tohto kúsku vody je \(E=\mathop{\Delta m}gh+\frac{1}{2}\mathop{\Delta m}u^{2}(h)\). Pozrime sa na hodiny o kúsok neskôr – vtedy, keď ich hrdlom pretečie práve množstvo \(\Delta m\) vody. Pozorujeme, že nami uvažovaná povrchová vrstva vody „zmizla“ a rovnaké množstvo preteká hrdlom rýchlosťou \(v(h)\), takže jeho mechanická energia je \(E^{\prime} = \frac{1}{2}\mathop{\Delta m}v^{2}(h)\). Zo zákona zachovania mechanickej energie platí \[ \mathop{\Delta m}gh+\frac{1}{2}\mathop{\Delta m}u^{2}(h)=\frac{1}{2}\mathop{\Delta m}v^{2}(h)\text{.} \]

V hodinách nám žiadna voda nevzniká ani nemizne, preto musí platiť zákon zachovania hmotnosti. Ak považujeme vodu za nestlačiteľnú, je to ekvivalentné zachovaniu objemu, čo vyjadruje rovnica kontinuity. Pre nás zaujímavé sú prierezy hrdlom hodín a voľnou hladinou. Rovnica kontinuity zapísaná pre tieto dva prierezy dáva \[ S_{0}v(h)=S(h)u(h)\text{.} \]

Keďže o výtokovej rýchlosti nemáme žiadnu informáciu, vylúčme ju z rovníc. Pre rýchlosť klesania hladiny dostávame vyjadrenie \[ u(h)=\sqrt{\frac{2gh}{\frac{S^{2}(h)}{S_{0}^{2}}-1}} \overset{!}{=} \text{konšt.} \overset{\mathrm{ozn.}}{=}u_{0}\text{.} \]

Odtiaľ už vieme vyjadriť hľadanú závislosť \[ S(h)=S_{0}\sqrt{1+\frac{2g}{u_{0}^{2}}h}\text{.} \]

Uvažujme rotačne symetrické hodiny okolo zvislej osi. V takom prípade \(S(h)=\pi r^{2}(h)\). Dosaďme to do predchádzajúceho výrazu. Lepšiu predstavu o tvare hodín dostaneme, keď nájdeme inverzné vyjadrenie \[ h(r) = \frac{u_{0}^{2}}{2g}\left(\frac{r^{4}}{r_{0}^{4}}-1\right)\text{.} \]

Matematici znalí analytickej geometrie okamžitie šípia, že povrch hodín tvorí tzv. kvartická plocha, teda vertikálnym rezom prechádzajúcim osou hodín dostaneme krivku štvrtého stupňa.