1. Emancipácia vzorové riešenie

Zadanie

Enka by rada vedela, akú silu potrebujeme na odkrútenie vrchnáka zaváraninovej fľaše. Pokúste sa odargumentovať, aké všetky efekty nám môžu brániť v otvorení fľaše.

Zo skúsenosti vieme, že zaváraninové poháre sa neotvárajú ľahko. Zaujímavé ale je, že ak zatvoríme ešte raz, potom ide otvoriť už jednoducho (respektíve rovnako ťažko, ako keď sme ho zatvárali). Otázka teda znie: V čom sa líši situácia, keď pohár otvárame prvýkrát po dlhšej dobe a keď ho otvárame nie dlho po tom, čo sme ho uzatvorili?

Poďme postupne. Ak nám pohár ide veľmi ťažko otvoriť, potom to znamená, že zvonku musí naňho tlačiť väčšia sila než zvnútra. Vonkajšia sila je daná atmosférickým tlakom o veľkosti \(\sim \SI{100}{\kilo\pascal}\). Vnútri teda musí byť evidentne tlak menší. Takýto efekt sa zväčša dosahuje tak, že do pohára strčíme niečo, čo je teplejšie, než okolie (napríklad horúci ríbezľový džem), uzavrieme a počkáme, kým sa vyrovnajú teploty. Vo chvíli, kedy pohár uzatvárame, je samozrejme aj vnútri pohára tlak o veľkosti atmosférického. Zo stavovej rovnice ale vieme, že \(pV=nRT\), takže ak zachovávame objem a počet častíc (čím tvrdíme, že sklo sa nescvrkne a žiadny atóm ani ríbezľa neunikne z pohára), tak pri znížení teploty sa zníži aj tlak. Ak sme napríklad do pohára uložili džem o teplote \(\SI{50}{\celsius}\), uzavreli a odložili do špajze s teplotou okolia \(\SI{10}{\celsius}\), tak sa po dostatočnom čase urobí v pohári podtlak (teplotu dosadzujeme v Kelvinoch)

\[\Delta p = p_{A} - p_{A}\frac{T_{1}}{T_{2}} = \SI{100}{\kilo\pascal} \cdot \left(1 - \frac{\SI{283}{\kelvin}}{\SI{323}{\kelvin}} \right) \approx \SI{12}{\kilo\pascal}\text{.}\]

Keď uvážime bežný vrchnáčik zavaráninového pohára s priemerom \(\SI{6}{\centi\metre}\), čiže s približným obsahom \(\approx \SI{30}{\centi\metre\squared} = \SI{0.003}{\metre\squared}\), sila, ktorú musíme vyvinúť na otvorenie fľaše je \(F = \Delta p S = \SI{36}{\newton}\), čo je ekvivalent zaveseného \(\num{3.6}\)-kilového závažia.

Skúsme sa ešte zamyslieť nad tým, aký veľký efekt spôsobuje na otváranie flaší trenie. Ak si to rozmyslíme, tak závit v zaváraninovom pohári je naklonenou rovinou. Nami vypočítaná sila vytvára prítlačnú silu vo vertikálnom smere na túto rovinu \(F_{\text{prit}}\), ktorá vytvára treciu silu. Sila \(F_{\text{odkr}}\), ktorou odkrúcame vrchnák zaváraninového pohára pôsobí vo vertikálnom smere, a jedna z jej zložiek vytvára \(F_{\text{trecia}} \leq fN\), kde \(N\) je normálová sila na podložku a \(f\) je koeficient šmykového trenia. Rozklad prítlačnej aj odkrúcacej sily nájdete v nasledujúcom obrázku.

Na to aby sa nám podarilo odkrútiť vrchnák fľaše, musí platiť nerovnosť \[ F_{\mathrm{odkr}}\cos(\alpha) \geq F_{\mathrm{prit}}\left(f\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\right)+fF_{\mathrm{odkr}}\sin(\alpha) \] \[ F_{\mathrm{odkr}} = F_{\mathrm{prit}} \frac{f\cos(\alpha)+\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)-f\sin(\alpha)} \]

Zlomok, ktorý sa nám tu zrazu objavil môžeme vyčísliť napr. pre \(f = 1\) (horný odhad pre koeficient trenia) a \(\alpha = 30\)° (rádovo typické stúpanie závitov vo vrchnákoch) na približne \(\num{3.68}\).

Spolu s trením tak na odkrútenie vrchnáka flaše potrebujeme typicky silu ekvivaletnú približne 13-kilovému závažiu (horný odhad).

Na záver odporúčame otvárať zaváraninové poháre tak, že ho najskôr ponoríte do horúcej vody, čím umelo vrátite systém do horúcejšieho stavu, vďaka čomu veľkosť podtlaku klesne.