3. Pretekári plní energie vzorové riešenie

Nebudeme chodiť dlho okolo horúcej kaše a rovno si spočítajme, akú zmenu kinetickej energie pozoruje Mišo a akú Kubo. Rýchlosť \(\SI[per-mode = symbol]{100}{\kilo\metre\per\hour}\) si pracovne označme \(v\).

Mišo vidí, že trabant zrýchlil z \(0\) na \(v\). Kubo pre zmenu videl, že Dušanovo auto zrýchlilo z \(v\) na \(2v\). Zmena kinetickej energie je v Mišovej sústave \(\Delta E_{\text{Mišo}} = \frac{1}{2}mv^2\) v Kubovej sústave je to \(\Delta E_{\text{Kubo}} = \frac{3}{2}mv^2\). Hmm… dostávame dva rôzne výsledky. Zároveň je jasné, že Dušanovo auto nemohlo minúť rôzne množstvo benzínu, podľa toho, kto sa na auto pozerá. V aute ubudlo nejaké jednoznačne určené množstvo benzínu. Zdravý rozum naznačuje, že by množstvo spáleného benzínu malo byť úmerné zmene kinetickej energie, ktorú pozoroval Kubo. Prečo je to tak? Na to si o chvíľu odpovieme :).

V sústavej spojenej s Kubom, Zem stále voči Kubovi stojí, keďže je nohami pevne na Zemi, Mišovo auto nemení svoju rýchlosť a jediné čo zmení svoju rýchlosť je Dušanovo auto. Celková zmena energie sústavy je teda \(\frac{3}{2}mv^2\). Čo ak by sa však na celú situáciu pozeral aj Maťo voľne sa vznášajúc v éterickom priestore okolo Zeme? Uvidí nejaký rozdiel?

Áno! Niečo nám tu totiž uniká. Ak má Dušanovo auto spolu s Mišovým autom a Kubom pevne stojacim na Zemi byť naozaj uzavretou sústavou, tak sa musí zachovávať nie len energia, ale aj hybnosť (keďže na sústavu nepôsobia žiadne vonkajšie sily).¹

Ak teda Dušanovo auto zrýchli, tak musí aj udeliť nejakú hybnosť samotnej Zemi s hmotnosťou \(M\). Kubo tento efekt neuvidí, keďže on je nohami pevne spojený so Zemou, takže nevie zaznamenať rýchlosť Zeme voči nemu (tá je z definície jeho sústavy vždy nula). Ak by však situáciu pozoroval aj spomínaný Maťo v éterickom priestore okolo Zeme, tak by uvidel, že aj Zem získa nejakú rýchlosť \(v_{\text{zem}}\). Platí totiž (z Maťovho pohľadu) jednoduchý zákon zachovania hybnosti: \[ \underbrace{0}_{\text{poč. hybnosť Zeme}}+\underbrace{mv}_{\text{poč. hybnosť Dušanovho auta}} = \underbrace{Mv_{\text{zem}}}_{\text{hybnosť Zeme}} + \underbrace{m2v}_{\text{kon. hybnosť Dušanovho auta}}\text{,} \] \[ v_{\text{zem}} = -\frac{m}{M}v\text{.} \]

Celková zmena energie sústavy (z pohľadu Maťa udržujúceho si nadhľad) je rovná (pre \(m << M\)): \[ \Delta E = \frac{1}{2}m{(2v)}^2+\frac{1}{2}M{\left(-\frac{m}{M}v\right)}^2 - \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\frac{m^2}{M}v^2 \approx \frac{3}{2}mv^2\text{,} \] čo je rovnaká zmena energie, akú uvidí aj Kubo.

Pozrime sa na celú situáciu ešte raz v Mišovej sústave a tentoraz nezabudnime, že z pohľadu Miša uteká pod jeho kolesami aj Zem rýchlosťou \(-v\). V Mišovej sústave je na začiatku Dušanovo auto v pokoji, potom zrýchli na rýchlosť \(v\). V Mišovej sústave musí taktiež platiť zákon zachovania hybnosti. \[ -Mv = -Mv' + mv\text{,} \] kde \(v'\) je rychlosť ktorou uháňa zem vzhľadom na Miša po Dušanovom zrychlení.

Celková zmena energie je teda \[ \Delta E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M{\left(1+\frac{m}{M}\right)}^2v^2-\frac{1}{2}Mv^2 = \frac{3}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\frac{m^2}{M}v^2\text{.} \] Dostali sme teda rovnaký výsledok, aký vidí aj Maťo. V prípade veeeľmi ťažkej Zeme oproti autu (\(m \ll M\)) sa opäť zredukuje na \(\frac{3}{2}mv^2\). Vidíme teda, že napriek tomu, že Zem je veľmi ťažká a v takomto obrovskom vesmíre by mala iba naozaj zanedbateľné energie voči trabantu, tak vie pekne zamiešať karty. Všimnite si totiž, že v predchádzajúcej rovnici pri umocnení zátvorky vznikne člen, kde sa vykrátia \(M\). Tento člen zároveň spôsobuje, že už nevzniká paradox medzi rôznymi sústavami.

Poučenie do budúcnosti teda je, že v rôznych sústavách môžeme namerať rôzne kinetické energie, musíme si však ale dať pozor na interpretáciu výsledkov. A ak narábame s veličinami ako množstvo spáleného benzínu, tak si treba dobre rozmyslieť, či mi náhodou nejaká energia v mojich rovniciach neuniká… Napríklad, ako v tomto prípade, kinetická energia samotnej Zeme.