To, že sa mravec vráti späť na miesto kde začínal v podstate znamená, že opíše uhol $2\pi$.

Počas celého pohybu mal mravec konštantnú rýchlosť $v = \SI{2}{\centi\meter\per\second}$. Avšak, menil sa polomer kružnice, po ktorej išiel. A teda sa menila aj jeho uhlová rýchlosť. Keďže nás zaujíma finálny uhol, bude nás trápiť práve uhlová rýchlosť. Pre uhlovú rýchlosť vo všeobecnosti platí $\omega = \frac{v}{R}$.

Naše $R$ sa ale bude meniť v čase. Najprv, v čase $t = 0$ bude mať balón polomer $R_0 = \SI{10}{\centi\meter}$. V prvej sekunde to bude $R_1 = aR_0$, v druhej sekunde to bude $R_2 = aR_1 = a^2R_0$, a tak ďalej. Pre polomer $R$ v čase $t$ teda bude platiť $R(t) = a^tR_0$. Takže pre $\omega$ v čase $t$ platí

$$ \omega = \frac{v}{a^tR_0}. \ $$

Ak sme čase $t$ a mravec má uhlovú rýchlosť $\omega = \frac{v}{a^tR_0}$, tak za nejaký krátky čas $\Delta t$ mravec opíše malý uhol $\Delta \phi = \Delta t \omega$. V momente ako súčet takýchto malých prírastkov uhlu $\Delta \phi$ prekročí hodnotu $2 \pi$, znamená to, že sa mravec vrátil na svoje pôvodné miesto.

Numerické riešenie Tieto malé prírastky spočítame v Exceli (ale dalo sa to napríklad aj v Pythone). V prvom stĺpci budeme mať čas, ktorý budeme zvyšovať po malom $\SI{0.001}{\second}$. V druhom budeme z času počítať polomer $R(t) = a^tR_0$. V treťom budeme z polomeru počítať uhlovú rýchlosť $\omega = \frac{v}{a^tR_0}$. V štvrtom malý uhol, ktorý sme prešli za $\SI{0.001}{\second}$. A v piatom budeme sčítavať tieto uhly.

Súčet prekročí $2 \pi \approx 6.2832$ v čase medzi $37.669$ a $37.7$ (čiže po 37700 riadkoch).

Analytické riešenie Potrebujeme vlastne poznať súčet malých prírastkov uhlu, kde jeden takýto prírastok má tvar

$$ d \phi = \omega dt = \frac{v}{a^tR_0} dt. \ $$

Súčet takýchto malých prvkov sa nazýva integrál. Potrebujeme teda vypočítať, aká je hodnota t v integráli

$$ \int_{0}^{t} \frac{v}{a^tR_0} dt = 2 \pi. \ $$

Integrujeme teda… Konštanta pred integrál, $a^{-t}$ je skoro vzorček, len pridáme minus (môžete si to overiť derivovaním) a dostávame

$$ \int_{0}^{t} \frac{v}{a^tR_0} dt = \left[ \frac{v}{R_0} \left( - \frac{a^{-t}}{\ln(a)} \right) \right]_{0}^{t} = \frac{v}{R_0} \left( - \frac{a^{-t}}{\ln(a)} + \frac{a^0}{\ln(a)} \right) = 2 \pi. $$

Z čoho už len stačí vyjadriť a dopočítať $t$

$$ t = - \log_a \left( 1 - \frac{2 \pi R_0 \ln a}{v} \right), \ t \approx 37.67083. $$

Vidíme, že analytickým riešením sme dostali skoro rovnaký výsledok ako numerickým.