V prvom rade si ujasnime, prečo by malo zrkadlo vplyvom svietenia naň meniť svoju rýchlosť. Odpoveď sa skrýva v Dopplerovom jave. Ak sa zrkadlo pohybuje smerom k zdroju svetla, vníma prichádzajúcu vlnovú dĺžku ako kratšiu a takúto vlnovú dĺžku aj odráža. V takom prípade hovoríme o modrom posune. Ak sa naopak hýbe smerom od zdroja, vníma vlnovú dĺžku prichádzajúceho svetla ako dlhšiu a túto vlnovú dĺžku odráža. Vtedy hovoríme o červenom posune.

Z kinderkvantovky však vieme, že kvantá svetla sú nositeľom hybnosti a ich hybnosť je tým väčšia, čím menšia je vlnová dĺžka, $p=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$, kde $h$ je Planckova konštanta, resp. $\hbar=\frac{h}{2\pi}$ je redukovaná Planckova konštanta, $\lambda$ je vlnová dĺžka svetla a $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ je nej zodpovedajúce vlnové číslo. Zrážka fotónu so zrkadlom je však izolovaná, takže ak sa mení hybnosť fotónu, musí sa podľa zákona zachovania hybnosti meniť aj hybnosť zrkadla, čiže jeho rýchlosť.

Keď už vieme, čo je vo veci, môžeme pristúpiť k počítaniu. Návod sme si už povedali. Uvažujme izolovanú zrážku fotónu so zrkadlom. Nech sa najskôr zrkadlo hýbe v smere pohybu fotónu. V takom prípade zákon zachovania hybnosti dáva $$ \hbar k_{0}+mv_{0}=-\hbar k_{1}+mv_{1}\textrm{,} $$ kde $k_{0}$ je vlnové číslo fotónu pred zrážkou a $k_{1}$ po zrážke a $v_{0}$ rýchlosť zrkadla pred zrážkou a $v_{1}$ po zrážke. $k_{0}$ a $v_{0}$ poznáme zo zadania, $k_{1}$ a $v_{1}$ sú naše neznáme. Máme však len jednu rovnicu a dve neznáme, a tak potrebujeme ešte jednu rovnicu pridať.

Na pomoc sa nám hneď núka zákon zachovania energie. Fotón okrem hybnosti nesie aj energiu, $E=hf=\hbar\omega$, kde $f$ je frekvencia svetla, resp. $\omega$ je jeho vlnová frekvencia. Zákon zachovania energie teda vyzerá nasledovne: $$ \hbar\omega_{0}+\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=\hbar\omega_{1}+\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\textrm{.} $$

Z týchto dvoch rovníc možno postupnými úpravami vyjadriť neznáme vlnové číslo odrazeného svetla $k_{1}$: $$ \begin{alignedat}{2}\hbar\left(\omega_{0}-\omega_{1}\right) & =\frac{1}{2}m\left(v_{1}^{2}-v_{0}^{2}\right) & & =\frac{1}{2}m\left(v_{1}-v_{0}\right)\left(v_{1}+v_{0}\right)\textrm{,}\ \hbar\left(k_{0}+k_{1}\right) & & & =m\left(v_{1}-v_{0}\right)\textrm{.} \end{alignedat} $$ Predelením týchto dvoch rovníc navzájom dostaneme $$ \frac{\omega_{1}-\omega_{0}}{k_{0}+k_{1}}=\frac{1}{2}\left(v_{1}+v_{0}\right)\textrm{.} $$ Po prenásobení oboch strán tejto rovnice výrazom $2m$ a po dosadení za $mv_{1}$ zo zákona zachovania hybnosti dostávame $$ 2m\frac{\omega_{1}-\omega_{0}}{k_{0}+k_{1}}-\hbar\left(k_{0}+k_{1}\right)=2mv_{0}\textrm{.} $$ Teraz ešte využijeme, že $\omega=kc$, kde $c$ je rýchlosť svetla a po úprave dostaneme $$ 2mc\left(k_{0}-k_{1}\right)-\hbar\left(k_{0}+k_{1}\right)^{2}=2mv_{0}\left(k_{0}+k_{1}\right)\textrm{.} $$ To je kvadratická rovnica s neznámou $k_{1}$, ktorú možno napísať vo familiárnejšom tvare $$ k_{1}^{2}+2\left[\frac{m}{\hbar}\left(c+v_{0}\right)+k_{0}\right]k_{1}-\frac{2m}{\hbar}\left(c-v_{0}\right)k_{0}+k_{0}^{2}=0\textrm{.} $$ Jej riešením je¹ $$ k_{1}=-\left[\frac{m}{\hbar}\left(c+v\right)+k_{0}\right]+\sqrt{\left[\frac{m}{\hbar}\left(c+v\right)+k_{0}\right]^{2}+\frac{2m}{\hbar}\left(c-v\right)k_{0}-k_{0}^{2}}\textrm{.} $$

Hľadaná zmena hybnosti zrkadla v dôsledku zrážky s fotónom letiacim rovnakým smerom je teda $$ \Delta p_{1}=mv_{1}-mv_{0}=\hbar\left(k_{0}+k_{1}\right)\textrm{,} $$ kde $k_{1}$ je dané vyššie uvedeným výrazom.

Zmenu hybnosti v dôsledku zrážky s opačne letiacim fotónom dostaneme analogickým výpočtom s jednoduchou zámenou $k_{0}\rightarrow-k_{0}$ a $k_{1}\rightarrow-k_{2}$. Vo výsledku dostaneme $$ \Delta p_{2}=-\hbar\left(k_{0}+k_{2}\right)\textrm{,} $$ kde $$ k_{2}=-\left[\frac{m}{\hbar}\left(c-v\right)+k_{0}\right]+\sqrt{\left[\frac{m}{\hbar}\left(c-v\right)+k_{0}\right]^{2}+\frac{2m}{\hbar}\left(c+v\right)k_{0}-k_{0}^{2}}\textrm{.} $$

Na zrkadlo nám však nedopadá jeden fotón, ale prúd fotónov z každej strany. V jednom prípade dopadajú na zrkadlo rýchlosťou $c-v$, kde $v$ je aktuálna rýchlosť zrkadla, a v druhom prípade rýchlosťou $c+v$.² Nech $n$ je dĺžková hustota fotónov, t. j. počet fotónov, ktorý sa nachádza v laserovom svetelnom zväzku na jednotku dĺžky. Potom na zrkadlo za čas $\Delta t$ dopadá $\Delta N^{\pm}=n\left(c\pm v\right)\Delta t$ fotónov z jednotlivých strán, a teda zmena hybnosti zrkadla za jednotku času je $$ \begin{aligned}\frac{m\Delta v}{\Delta t} & =n\left(c-v\right)\hbar\left(k_{0}+k_{1}\right)-n\left(c+v\right)\hbar\left(k_{0}+k_{2}\right)\ & =n\hbar\left[-2vk_{0}+\left(c-v\right)k_{1}-\left(c+v\right)k_{2}\right]\textrm{.} \end{aligned} $$

Ešte potrebujeme určiť hustotu fotónov vo svetelnom zväzku. Ak máme nerozbiehavý svetelný zväzok s intenzitou $I$ a plochou prierezu $S$, tak hustota fotónov je $$ n=\frac{N}{\ell}=\frac{IS\Delta t}{\hbar\omega_{0}\ell}=\frac{IS\Delta t}{\hbar k_{0}cc\Delta t}=\frac{IS}{\hbar k_{0}c^{2}}\textrm{.} $$ Po dosadení konečne dostávame hľadaný všeobecný vzťah pre zrýchlenie zrkadla $$ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{IS}{k_{0}c^{2}m}\left[-2vk_{0}+\left(c-v\right)k_{1}-\left(c+v\right)k_{2}\right]\textrm{,} $$ kde $k_{1}$ a $k_{2}$ sú dané príslušnými výrazmi.

Teraz sa môžeme presunúť k nepovinnej časti úlohy. Chceme zistiť, v akej vzdialenosti zrkadlo zastane. To znamená, že potrebujeme vyriešiť posledne uvedenú diferenciálnu rovnicu pre rýchlosť zrkadla a potom túto rýchlosť preintegrovať. Uvedená diferenciálna rovnica je však príliš komplikovaná na to, aby sme ju dokázali presne analyticky vyriešiť.

Môžeme si však všimnúť, že vo výrazoch pre vlnové čísla $k_{1}$ a $k_{2}$ sa pod odmocninou vyskytujú výrazy $\left(\frac{c}{\hbar}\right)^{2}$, ktorých veľkosť je rádovo $10^{84}$. Oproti tomu sú ostatné členy malé. To nám dáva nádej nájdené výrazy zjednodušiť. Využijeme pri tom aproximáciu $\left(1+x\right)^{\eta}\approx1+\eta x$ platnú pre $x\ll1$. Alternatívne pre $A\gg b$ možno na základe toho odvodiť $$ \left(A+b\right)^{\eta}=A^{\eta}\left(1+\frac{b}{A}\right)^{\eta}\approx A^{\eta}\left(1+\eta\frac{b}{A}\right)=A^{\eta}+\eta A^{\eta-1}b\textrm{.} $$

Aplikovaním tejto aproximácie na výrazy pre vlnové čísla dostávame $$ \begin{aligned}k_{1} & \approx\frac{\frac{2m}{\hbar}\left(c-v\right)k_{0}-k_{0}^{2}}{2\left[\frac{m}{\hbar}\left(c+v\right)+k_{0}\right]}\textrm{,}\ k_{2} & \approx\frac{\frac{2m}{\hbar}\left(c+v\right)k_{0}-k_{0}^{2}}{2\left[\frac{m}{\hbar}\left(c-v\right)+k_{0}\right]}\textrm{.} \end{aligned} $$ Tým sa nám výrazy značne zjednodušili, no nie dostatočne, aby sme rovnicu dokázali vyriešiť.

Môžeme si však všimnúť, že sa nám v menovateli stále vyskytuje výraz obsahujúci $\frac{c}{\hbar}$, ktorý je určite výrazne väčší než $k_{0}$ pre viditeľné svetlo, preto použime odvodenú aproximáciu po druhý raz. Dostaneme $$ \begin{aligned}k_{1} & \approx\frac{\frac{2m}{\hbar}\left(c-v\right)k_{0}-k_{0}^{2}}{2\frac{m}{\hbar}\left(c+v\right)}\left[1-\frac{k_{0}}{\frac{m}{\hbar}\left(c+v\right)}\right]=k_{0}\left[\frac{c-v}{c+v}-\frac{k_{0}\hbar}{2m\left(c+v\right)}\right]\left[1-\frac{k_{0}\hbar}{m\left(c+v\right)}\right]\textrm{,}\ k_{2} & \approx\frac{\frac{2m}{\hbar}\left(c+v\right)k_{0}-k_{0}^{2}}{2\frac{m}{\hbar}\left(c-v\right)}\left[1-\frac{k_{0}}{\frac{m}{\hbar}\left(c-v\right)}\right]=k_{0}\left[\frac{c+v}{c-v}-\frac{k_{0}\hbar}{2m\left(c-v\right)}\right]\left[1-\frac{k_{0}\hbar}{m\left(c-v\right)}\right]\textrm{.} \end{aligned} $$

Teraz si ešte všimnime, že výrazy obsahujúce $\frac{k_{0}\hbar}{c}$ sú bezpochyby zanedbateľné oproti $1$, alebo oproti $\frac{c-v}{c+v}\approx1\approx\frac{c+v}{c-v}$, teda ich možno vynechať, čím sa výrazy pre vlnové čísla výrazne zjednodušia $$ \begin{aligned}k_{1} & \approx k_{0}\frac{c-v}{c+v}\textrm{,} & k_{2} & \approx k_{0}\frac{c+v}{c-v}\textrm{.}\end{aligned} $$

Tieto výrazy už možno dosadiť do vzťahu pre zrýchlenie, $$ a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\approx\frac{IS}{k_{0}c^{2}m}\left[-2vk_{0}+\frac{\left(c-v\right)^{2}}{c+v}k_{0}-\frac{\left(c+v\right)^{2}}{c-v}k_{0}\right]\textrm{.} $$ Tu si všimneme, že v menovateli $v\ll c$, preto použijeme našu aproximáciu po tretíkrát: $$ \begin{aligned}a=\frac{\Delta v}{\Delta t} & \approx\frac{IS}{c^{2}m}\left[-2v+\left(c-v\right)^{2}\frac{1}{c}\left(1-\frac{v}{c}\right)-\left(c+v\right)^{2}\frac{1}{c}\left(1+\frac{v}{c}\right)\right]=\ & =\frac{IS}{c^{4}m}\left[-2vc^{2}+\left(c-v\right)^{3}-\left(c+v\right)^{3}\right]=\ & =-\frac{2vIS}{c^{4}m}\left(4c^{2}+v^{2}\right)\approx-\frac{8IS}{c^{2}m}v\textrm{.} \end{aligned} $$

Konečne sme dostali diferenciálnu rovnicu dostatočne jednoduchú na to, aby sme ju dokázali vyriešiť. Je to známa rovnica, ktorá hovorí, že čím ide zrkadlo rýchlejšie, tým viac spomaľuje. Analogická rovnica je nám známa napríklad z jadrového rozpadu, takže vieme, že jej riešením bude exponenciálny pokles rýchlosti, $v\left(t\right)\approx v_{0}\mathrm{e}^{-\alpha t}$, kde koeficient $\alpha$ určíme tak, že toto riešenie dosadíme do diferenciálnej rovnice. Dostaneme $\alpha=\frac{8IS}{c^{2}m}$, a teda $$ v\left(t\right)\approx v_{0}\mathrm{e}^{-\frac{8IS}{c^{2}m}t}\textrm{.} $$

Vidíme, že zrkadlo bude stále spomaľovať, no nikdy úplne nezastane. Existuje však maximálna vzdialenosť, do ktorej sa v nekonečnom čase vie dostať. Túto vzdialenosť nájdeme preintegrovaním $$ s\approx\int_{0}^{\infty}v_{0}\mathrm{e}^{-\frac{8IS}{c^{2}m}t}\thinspace\mathrm{d}t=\left[-\frac{v_{0}c^{2}m}{8IS}\mathrm{e}^{-\frac{8IS}{c^{2}m}t}\right]{0}^{\infty}=\frac{v $$ Po vyčíslení to dá $s\approx\SI{1.125e18}{\metre}\approx\SI{119}{\lightyear}$.}c^{2}m}{8IS}\textrm{.

Samozrejme, doplňujúcu úlohu sme mohli riešiť aj čisto numericky, ako nás nabáda zadanie. V takom prípade prevedieme diferenciálnu rovnicu na diferenčnú schému. Začneme s počiatočnými podmienkami $s=0$ a $v=v_{0}$ a opakovane budeme vyčísľovať $$ \begin{gathered}s\left(t+\Delta t\right)=s\left(t\right)+v\left(t\right)\cdot\Delta t\textrm{,}\ v\left(t+\Delta t\right)=v\left(t\right)+a\left[v\left(t\right)\right]\cdot\Delta t\textrm{,} \end{gathered} $$ kde zrýchlenie $a$ prislúchajúce rýchlosti $v\left(t\right)$ vieme vypočítať podľa nami odvodeného vzťahu.

Kumštom však je správne zvoliť veľkosť časového kroku $\Delta t$. Ak simulujeme deje, pri ktorých sa zmeny dejú rádovo v sekundách, časový krok volíme v zlomkoch sekúnd; ak máme deje, ktoré trvajú minúty, časový krok volíme v sekundách. Aký však máme charakteristický čas tu?

Ak máme počiatočnú rýchlosť $\SI{1}{\metre\per\second}$ a zrýchlenie prislúchajúce tejto rýchlosti je rádovo $\SI{1.e-18}{\metre\per\second\squared}$, tak musíme zvoliť časový krok na úrovni $\SI{1.e17}{\second}$, aby bol prírastok rýchlosti v jednom časovom kroku rozumne malý oproti rýchlosti samotnej, no nie príliš, aby simulácia netrvala pridlho. Simuláciu ukončíme, keď sa poloha zrkadla medzi dvoma iteráciami už veľmi nemení.

Výstupy simulácie možno vidieť na priloženom obrázku. Na prvom grafe je zobrazený časový vývoj rýchlosti zrkadla. Na druhom grafe je vykreslený logaritmus rýchlosti. Vidíme, že táto závislosť je lineárna, takže rýchlosť zrkadla klesá s časom naozaj exponenciálne. No a na treťom grafe vidíme závislosť vzdialenosti, do ktorej sa zrkadlo dostane, na čase.

Čo si ale môžeme všimnúť, je, že nám vyšla iná vzdialenosť než približným analytickým výpočtom. Ak spravíme analogickú simuláciu s pomocou približných vzťahov, dostaneme zhodu s analytickým výpočtom. Viď: druhá sada grafov.

Časový vývoj rýchlosti a prejdenej dráhy zrkadla simulovaný pomocou presných vzťahov.

Časový vývoj rýchlosti a prejdenej dráhy zrkadla simulovaný pomocou približných vzťahov.

Otázka teraz je, ktorým výsledkom máme veriť. Väčšina z vás sa zrejme prikloní k tomu, že presnejšie vzťahy znamenajú presnejšiu simuláciu. No ono to nie je také jednoduché.

Pri odvádzaní približných vzťahov sme videli, že chyby, ktorých sme sa dopúšťali pri odvádzaní, sa pohybovali vo veľmi malých rádoch. Môžeme ich odhadnúť veľkosťou prvých zanedbaných členov Taylorovho rozvoja, ktoré boli na úrovni $10^{-70}$ a menej. To je naozaj zanedbateľná chyba.

No pri vykonávaní numerickej simulácie sa dopúšťame aj iného druhu chýb – chýb v dôsledku nepresnosti aritmetických operácií vykonávaných v počítači. No a práve pri sčítavaní a odčítavaní čísel, ktorých rády sa veľmi líšia, sa dopúšťame obrovských chýb tohto typu. A to je prípad našich presných vzťahov, v ktorých vykonávame presne takéto operácie. Preto paradoxne numerická simulácia vykonaná s presnými vzťahmi je menej presná.

Keď sa pozrieme na výsledky simulácie s približnými vzťahmi, vidíme, že je konzistentná s analytickým riešením. Zrkadlo efektívne zastane vo vzdialenosti približne $\SI{119}{\lightyear}$ a bude mu to trvať asi 200 miliárd rokov, čo je asi 15 vekov vesmíru. Pohybujúc sa na takýchto škálach, časových i priestorových, dopúšťame sa v našom výpočte ďalšej chyby tým, že sme nezapočítali rozpínanie vesmíru. Ale to už ďaleko presahuje náročnosť tejto úlohy.

Komentár opravovateľa

Viacerí ste sa rozhodli úlohu riešiť pomocou relativistického Dopplerovho javu. Pri tomto prístupe sa vyskytovali dve časté chyby.

1. Správne ste usúdili, že ak má svetlo vyžiarené laserom vlnovú dĺžku $\lambda_0$, zrkadlo ju vníma ako vlnovú dĺžku $\lambda_z = \lambda_0 \sqrt{\frac{c \pm v}{c \mp v}}$ ³, a svetlo s takouto vlnovou dĺžkou odrazí. Čo ste si už ale väčšinou neuvedomili, bolo, že toto je vlnová dĺžka odrazeného svetla vo vzťažnej sústave zrkadla, teda v neinerciálnej sústave. Ak ste teda použili takúto vlnovú dĺžku pri výpočte sily (zrýchlenia), takto vypočítaná sila bola nevyhnutne nesprávna, pretože ste odčítavali hybnosti svetla vyjadrené v rôznych vzťažných sústavách a nezapočítali ste zotrvačnú silu⁴. Ak by ste chceli počítať v inerciálnej vzťažnej sústave, mali ste ešte previesť vlnovú dĺžku odrazeného svetla späť do inerciálnej vzťažnej sústavy, čiže $\lambda = \lambda_z \sqrt{\frac{c \pm v}{c \mp v}} = \lambda_0 \frac{c \pm v}{c \mp v}$. To sa ale predsa ponáša na nerelativistického Dopplera. Keď sa nad tým zamyslíte, dáva to perfektný zmysel. Tým, že vlnovú dĺžku vyžiareného a odrazeného svetla ako aj rýchlosť zrkadla vyjadrujeme v tej istej vzťažnej sústave, nemá relativita kde do výpočtu vstúpiť, keďže neprechádzame do inej vzťažnej sústavy. Pri odvádzaní klasického Dopplera sa predsa len pozeráme, ako sa naťahujú/zmršťujú vzdialenosti medzi dvoma susednými vlnoplochami. A to môžeme robiť s vlnoplochami hýbucimi sa ľubovoľnou rýchlosťou, pokojne aj rýchlosťou svetla.

2. Neuvedomili ste si, že relativistický Doppler musí nevyhnutne spolu s vlnovou dĺžkou / frekvenciou meniť aj amplitúdu vlnenia. Názornejšie to je pre pohľade na vlnenie cez fotóny. Ak sa zrkadlo pohybuje smerom k zdroju vlnenia, tak fotóny odrazené v smere pohybu zrkadla majú nie len vyššiu energiu a hybnosť než fotóny odrazené z druhej strany zrkadla, ale zároveň k zrážkam fotónov prichádzajúcich z tohto smeru so zrkadlom dochádza aj častejšie, takže v odrazenom zväzku sú “nahustejšie”. No a to, ako nahusto sú fotóny vo zväzku, súvisí priamo s amplitúdou vlnenia. Škálovací faktor pre amplitúdu je presne rovnaký ako pre frekvenciu, takže ak ste na tento efekt zabudli, dostávali ste polovičné spomalenie zrkadla.