Zoznam úloh

5. Letí, letí, všetko letí: helikoptéra letí!

Zadanie

V nostalgickej chvíľke hry letí, letí si Jaro zaspomínal na seriál svojho detstva. V ňom helikoptéra zachraňovala ľudí. Jara vždy trápilo, že má dva rotory. Jeden hlavný na vrchu a jeden vedľajší na chvoste. Vysvetlite Jarovi, načo má helikoptéra rotor na chvoste. Odhadnite silu, ktorou musí pôsobiť rotor na chvoste. Ak používate zdroje z internetu, nezabudnite ich uviesť.

Hlavný rotor na vrchu helikoptéry sa otáča, aby vytváral vztlak a držal helikoptéru vo vzduchu. Pritom ale musí prekonávať odpor vzduchu, ktorý rotor spomaľuje. Aby sa teda rotor točil konštantnou rýchlosťou, musí naň helikoptéra pôsobiť konštantným momentom sily. Podľa 3. Newtonovho zákona potom na trup helikoptéry pôsobí rovnaký moment sily opačným smerom od rotora. Zadný rotor pôsobí silou na chvost, aby tento moment vyrovnal.

Ak hlavný rotor pôsobí na helikoptéru momentom $M$, tak zadný rotor musí pôsobiť silou $$ F = \frac{M}{d}, $$ kde $d$ je vzdialenosť zadného rotora od ťažiska helikoptéry.

Vyskúšajme odhadnúť moment sily, ktorým pôsobí hlavný rotor. Pozrime sa pritom príspevok od jedného elementíka rotora. Na ten musí pôsobiť helikoptéra momentom sily $m = Fr$, kde $r$ je jeho vzdialenosť od stredu rotora a $F$ odporová sila vzduchu. Vzdialenosť $r$ vieme zapísať aj ako $v/\omega$, kde $v$ je jeho veľkosť rýchlosti a $\omega$ uhlová rýchlosť. Tým dostaneme súčin sily a rýchlosti. Keďže sú v rovnakom smere, tak vieme, že to je výkon potrebný na to, aby sa daný elementík točil konštantnou uhlovou rýchlosťou.

Ak teraz chceme celkový moment sily $M$, musíme sčítať elementíky cez celý rotor. Všetky ale majú rovnakú uhlovú rýchlosť a výkon, ktorý im dávame, je vlastne výkon celej helikoptéry (ak zanedbáme výkon potrebný na zadnú vrtuľu a prístroje na palube). Moment sily $M$ vieme teda odhadnúť ako $M = P/\omega$, čím dostávame $$ F = \frac{P}{\omega d} = \frac{60}{2\pi}\frac{P}{fd}, $$ kde sme $F$ vyjadrili ako funkciu $d$, $P$ a $f$ čo sú otáčky za minútu.

Na základe dostupných údajov1 2 3 4 5 sme vyčíslil hodnoty pre 5 najvyrábanejších vrtuľníkov sveta6:

  • Mil Mi-8: $F \approx \qty{6.9}{\kilo\newton}$

  • Bell UH-1 Iroquois: $F = \qty{2.4}{\kilo\newton}$

  • Bell 206 JetRanger: $F = \qty{0.9}{\kilo\newton}$

  • Robinson R44: $F = \qty{0.5}{\kilo\newton}$

  • Eurocopter AS350 Écureuil: $F = \qty{1.7}{\kilo\newton}$


  1. https://www.flugzeuginfo.net/acdata_php/acdata_mi8_en.php 

  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Bell_UH-1_Iroquois 

  3. https://www.flugzeuginfo.net/acdata_php/acdata_206ab_en.php 

  4. https://en.wikipedia.org/wiki/Robinson_R44 

  5. https://en.wikipedia.org/wiki/Eurocopter_AS350 

  6. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_most-produced_rotorcraft 

Pre odovzdávanie sa musíš prihlásiť.