Úlohu najskôr zjednodušme. Zanedbávajme odpor vzduchu a sopranistku považujme za bodový zdroj zvuku s frekvenciou $f_0 = \qty{1000}{\hertz}$. Otázkou je, ako dlho má padať, aby sme počuli frekvenciu $f = \qty{900}{\hertz}$, lebo ladička funguje tak, že rezonancia (predstavte si ju ako rozkmitanie ladičky) nastáva vtedy, keď na ňu dopadá zvuk rovnakej frekvencie, ako je frekvencia, na ktorú je ladená (pričom bežne sa používa naopak, teda zvuk s takouto frekvenciou vytvára, keď ju rozkmitáme). Prečo by ale mal zvuk počas pádu zdroja meniť frekvenciu? Odpoveďou je Dopplerov jav.

To, čo vnímame ako zvuk, je iba rýchlo sa meniaci tlak vzduchu v našom okolí. Môžeme si ho teda znázorniť ako oblasti vyššieho tlaku šíriace sa od zdroja ako sústredné sférické plochy. Je zrejmé, že medzi každou susednou dvojicou oblastí vyššieho tlaku je oblasť s nižším tlakom. Frekvencia potom číselne vyjadruje, koľkokrát za sekundu prejde určitým bodom priestoru oblasť s vyšším tlakom. Ďalej ako vlnovú dĺžku $\lambda$ definujme vzdialenosť dvoch susedných maxím (rovnako dobre by fungovala aj definícia s minimami) a periódu $T$ ako čas, za ktorý sa zvuková vlna dostane do rovnakej fázy, čiže ak na začiatku merania bola v maxime, ide o čas, za ktorý k nám príde ďalšie maximum. Maximum považujme za niečo, čo sa pohybuje v priestore, preto môžeme písať $$\begin{equation} \label{def} \lambda = c T, \end{equation}$$ kde $c$ je rýchlosť pohybu vlny priestorom, čo je v našom prípade rýchlosť zvuku.

Čo by sa zmenilo, keby sa zdroj pohyboval? Predstavte si to tak, že zdroj vytvorí jednu oblasť s vyšším tlakom. Ak by sa nehýbal, tak za čas $T$ vytvorí ďalšiu, ktorá bude od predošlej vzdialená o $\lambda$, čo platí pre všetky, preto vytvárajú koncentrické sférické plochy, ako bolo uvedené vyššie. Ak sa ale hýbe, v smere pohybu bude vzdialenosť medzi maximami kratšia a za zdrojom dlhšia. Ide o Dopplerov jav. V našom prípade sa zdroj pohybuje od nás, preto sa budeme zaoberať tou dlhšiu vzdialenosťou, ktorú označíme $\Lambda$ (veľká lambda). Keby sa zdroj pohyboval konštantnou rýchlosťou, frekvencia zvuku za ním by bola tiež konštantná.

obrázok 1: Schéma k odvodeniu výpočtu $\Lambda$

Ak ste sa zamysleli, že keď okolo Vás prejde trúbiace auto, frekvencia zvuku sa mení, máte pravdu. No to je spôsobené tým, že keď sa k Vám približuje, ste v tej oblasti, kde sú maximá viac stlačené, čo sa postupne zmení na stav, kedy sa od Vás vzďaľuje a ste v oblasti s roztiahnutými maximami. My sa ale v tejto oblasti nachádzame stále, lebo zdroj začal svoj pohyb pri nás a stále sa od nás po priamke vzďaľuje.

Teraz skúsme zistiť, ako určíme $\Lambda$. K $\lambda$ v rovnici $\ref{def}$ ešte musíme pripočítať tú vzdialenosť, o ktorú sa zdroj posunul, kým vytvoril ďalšie maximum (podotýkame, že čas, ktorý zdroj potrebuje na vytvorenie maxima sa nemá dôvod meniť). Preto platí $$\begin{equation} \label{posun} \Lambda = c T + v T = (c + v) T, \end{equation}$$ kde $v$ je rýchlosť, ktorou sa od nás vzďaľuje zdroj.

Frekvencia je veličina uvádzajúca počet opakovaní niečoho za sekundu, zatiaľ čo perióda (v našom prípade čas $T$) je veličina, ktorá vyjadruje, koľko času treba na jedno zopakovanie. Je zrejmé, že $f_0 = 1 / T$ (čo sa dá vidieť aj z toho, aké majú tieto veličiny jednotky). Ako sme už písali, frekvencia zdroja sa nezmení (sopranistka je veľmi šikovná a stále spieva tou istou frekvenciou). Po dosadení do rovnice $\ref{posun}$ dostaneme $$\begin{equation} \label{frekvencia} \Lambda = \frac{c + v}{f_0}, \end{equation}$$ pričom na základe vzťahu $\ref{def}$ musí existovať také $f$ (frekvencia, akú počujeme), aby platilo $$\begin{equation} \label{podiel} \Lambda = \frac{c}{f}, \end{equation}$$ lebo z nášho pohľadu k nám prichádzajú vlny spĺňajúce túto podmienku (a o pohybe zdroja nemusíme nič vedieť). Ak dáme do rovnosti $\ref{frekvencia}$ a $\ref{podiel}$, dostaneme $$\begin{equation} \label{rovnost} \frac{c + v}{f_0} = \frac{c}{f} \quad \Longrightarrow \quad f = f_0 \frac{c}{c + v}. \end{equation}$$ Drobnou úpravou, ktorú z dôvodu jednoduchosti prenechávame ako cvičenie čitateľovi, dostaneme $$\begin{equation} \label{rychlost} v = c \left(\frac{f_0}{f} - 1\right). \end{equation}$$

Vieme, že pre voľný pád platia vzťahy $$\begin{equation} \begin{split} h &= \frac{1}{2} g t^2, \ v &= g t, \end{split} \end{equation}$$ kde $t$ je čas pádu, $v$ rýchlosť v tomto čase a $h$ prejdená dráha. Triviálnou úpravou dostaneme $$\begin{equation} \label{odmocnina} v = \sqrt{2 g h}. \end{equation}$$

Teraz dajme do rovnosti $\ref{rovnost}$ a $\ref{odmocnina}$, z čoho po drobnej úprave dostaneme $$\begin{equation} h = \frac{c^2}{2 g} \left(\frac{f_0}{f} - 1\right)^2. \end{equation}$$

Po dosadení (rýchlosť zvuku vo vzduchu sa dá ľahko nájsť v tabuľkách alebo na internete) vyjde $h \approx \qty{70}{\meter}$.

Niekomu by sa mohlo zdať zvláštne, prečo voláme frekvenciou niečo, čo sa stále mení (pretože zdroj neustále zrýchľuje). Keď si ale nájdeme tri za sebou idúce maximá, ich vzájomné vzdialenosti sa menia len minimálne, preto vieme uvažovať o tom, ako sa správa frekvencia.

Dobrou otázkou by bolo, či sme do doby pádu zahrnuli aj čas, za ktorý k nám prišiel zvuk so šplechnutím. Tým sa ale netreba znepokojovať, lebo z frekvencie zvuku vieme, aká bola rýchlosť pádu v okamihu dopadu, teda doba šírenia zvuku zo spodku studne k nám žiadnym spôsobom neovplyvní výsledok.

Historická poznámka

Galilei nemohol priamo merať čas voľného pádu, lebo v tej dobe nemali dosť presné stopky (hoci čas nejako odmerať mohol, na to, aby jeho meranie bolo zmysluplné, museli by telesá padať z veľmi veľkej výšky). To, že voľný pád je rovnomerne zrýchlený mohol experimentálne zistiť pomocou naklonenej roviny, lebo pohyb po nej je výrazne pomalší a aj menej kvalitné stopky vedia byť postačujúce (samozrejme, dalo by sa namietať, že to je ale úplne iný pohyb, no i napriek tomu sa z neho dozvedáme niečo zaujímavé). Pád zdroja zvuku konštantnej frekvencie môže byť dobrým nápadom, ako túto námietku obísť, hoci potom vie začať robiť problémy odpor vzduchu, ktorý sme zanedbali. A, samozrejme, Galilei je starší než Doppler.