Dá sa to spraviť napríklad nasledovne. Vezmime poloprázdne lietadlo, napríklad taký Airbus A320. Polovica sedadiel je prázdna a na druhej polovici sedia pasažieri. Robia to ale tak, že polovica sedí na ľavej strane a polovica na pravej strane lietadla. Náhle sa však všetci pasažieri pod vplyvom prudkého manévru pilota presunú akurát na sedadlá na ľavej strane (pravá strana teda zostane dokonale prázna a ľavá plne obsadená). Odhadnite, o koľko sa posunie ťažisko lietadla oproti starému zasadaciemu poriadku.
Najskôr sa zamyslime, ako sa počíta poloha ťažiska. Na internete sa dá nájsť vzorček, no my si ho vyskúšame odvodiť.
Ťažisko je taký bod, že ak by sme zavesili objekt v tomto bode v gravitačnom poli, tak by sa nehýbal, čo znamená, že momenty síl od všetkých hmotných elementíkov by sa navzájom vynulovali. Keďže sa musí celý vynulovať, tak aj každá z jeho zložiek. Zapísané v rovnici v smere $x$ dostaneme $$ 0 = \sum_i (x_i - X) m_i g_x, $$ kde sme presčítali cez momenty síl od všetkých elementov telesa, ktoré číslujeme indexom $i$. Ako $X$ sme označili $x$-ovú polohu ťažiska, $x_i$ označuje $x$-ovú polohu $i$-teho elementu s hmotnosťou $m_i$ a $g_x$ priemet gravitačného zrýchlenia do $x$-ovej osi. Z tejto rovnice teraz vieme vyjadriť $X$ ako $$ X = \frac{\sum_i x_i m_i}{\sum_i m_i}. $$
Najskôr sa zamyslíme, v ktorom smere sa bude hýbať ťažisko. Keďže sa ľudia premiestňujú len z pravej strany na ľavú, tak aj ťažisko sa bude pohybovať len v smere vpravo-vľavo. Ak tento smer nazveme $x$-ovým, tak vidíme, že sa zmení len $x$-ová súradnica každého človeka. Celý problém teda môžeme zvrhnúť na jednorozmerný prípad.
Keďže na začiatku sú ľudia rozmiestnení rovnomerne, ťažisko musí zo symetrie byť v strede. Povedzme, že stred bude v počiatku. Aby sme vedeli, o koľko sa ťažisko posunulo, musíme zistiť ešte hodnotu $X$ po tom, ako sa ľudia premiestnili doľava.
V tomto momente sa už musíme pozrieť na konkrétnu situáciu. Airbus A320 má 31 radov po 3 miesta vpravo aj vľavo. Jeho šírka je asi $\qty{4}{\metre}$, takže priemerne bude človek vzdialený $\qty{1}{\metre}$ od počiatku. V tomto prípade môžeme uvažovať priemernú vzdialenosť, lebo moment sily ktorým pôsobí jeden človek závisí od jeho polohy lineárne.
Máme teda $3 \cdot 31$ ľudí, pričom nech každý váži približne $\qty{80}{\kilo\gram}$. Dohromady teda ľudia vážia asi $\qty{7500}{\kilo\gram}$. Maximálnae vzletová hmotnosť Airbusu A320 je asi $\qty{75000}{\kilo\gram}$.1 Vidíme, že $\qty{10}{\percent}$ jeho hmotnosti sa posunie o meter. Ak by sme teraz tieto hodnoty dosadili do vzorčeka, ktorý sme odvodili, zistíme, že ťažisko sa posunie asi o $\qty{10}{\centi\metre}$.
https://en.wikipedia.org/wiki/Airbus_A320_family#Specifications ↩