FKSáci sa ešte stále tešia z novej miestnosti, a tak si ju upravujú pre svoje potreby – či už vyrábaním nových skríň, lepších dverí alebo odhlučňovaním od chodby. Pri práci sa ale často zapotia, narobia prach pri pílení alebo smrad z lepidla. Vetrať teda treba často a veľa. Nech má FKS miestnosť tvar kvádra rozmerov $\SI{6}{\metre} \times \SI{6}{\metre} \times \SI{3}{\metre}$. Dvere majú obsah $S$ a keď sú otvorené, prúdi cez ne vzduch rýchlosťou $v$ smerom dnu. Von vychádza dokonale premiešaný vzduch rovnakou rýchlosťou cez balkónové dvere s obsahom $S$.
Za aký čas sa vymení $\qty{99}{\percent}$ starého vzduchu (ten sa vyznačuje tým, že v ňom je prach a smrad lepidla) za nový, ak predpokladáme, že vzduch sa okamžite dokonale premieša?
Pri riešení tejto úlohy sa nebojte využiť výpočtový softvér (napríklad Microsoft Excel).
V prvom rade sa chceme ospravedlniť za neuvedenie hodnôt $S$ a $v$ v zadaní. Na numerické riešenie (na ktoré zadanie nabáda) boli potrebné a v tomto vzoráku budeme rátať s hodnotami $S = \SI{2}{\metre\squared}$, $v = \SI{1}{\metre\per\second}$. Za určenie vlastných hodnôt $v$ a $S$ pri riešení neboli strhávané body.
Ak sa pozrieme na malý časový interval $\Diff t$, tak počas neho vyjde von $\Diff V = S v \Diff t$ premiešaného vzduchu a nahradí ho rovnaký objem nového vzduchu. Nech máme v miestnosti už $V_n$ nového vzduchu. Po časovom intervale $\Diff t$ budeme mať $$ V_n(t + \Diff t) = V_n(t) - \frac{V_n(t)}{V}\Diff V + \Diff V = V_n\left(1 - \frac{V_n(t)}{V}\Diff V\right) + \Diff V $$ nového vzduchu. Prvý člen značí objem nového vzduchu na začiatku intervalu, druhý člen značí, koľko nového vzduchu vyjde von dverami a posledný, tretí člen, značí, koľko nového vzduchu príde počas časového intervalu $\Diff t$. Táto rovnica nám umožňuje iteratívne počítať objem nového vzduchu.
Nastavíme počiatočnú podmienku $V_n = 0$ a následne iba opakovane počítame nové $V_n$ dokým $V_n/V < 99\%$. Popri tom si pri každej iterácii zaznačíme, že sme ju spravili, napríklad tak, že do premennej $t$ pripočítame $\Diff t$. Keď bude podmienka splnená, stačí sa už len pozrieť, aká je hodnota $t$ a to nám určí čas potrebný na vyvetranie miestnosti.
Túto procedúru vie robiť napríklad nižšie uvedený kód v Pythone. Vetrať musíme $\SI{248.6}{\second} \approx \SI{6}{\minute}$. Ako krok v čase sme v tomto prípade zvolili $\Diff t = \SI{0.01}{\second}$. Tu však máme celkom veľkú voľnosť výberu. Vo všeobecnosti by sme $\Diff t$ mali nastaviť tak, aby bol výsledok dostatočne presný. Ak by sme napríklad porovnali výsledok s $\Diff t = \SI{0.1}{\second}$, tak by sa výsledok líšil o $\SI{0.16}{\second}$. Ak nám teda stačí presnosť na sekundy, potom je nami zvolený krok $\Diff t$ očividne postačujúci.
# Nastavenie zadaných konštánt
V = 6*6*3
v = 1
S = 2
# Deklarovanie premenných pre výpočet
dt = 0.001
t = 0
Vn = 0
# Postupné iterovanie dokým nedosiahneme požadovaný pomer
while Vn/V < 0.99:
Vn = Vn*(V - v*S*dt)/V + v*S*dt
t += dt
# Vypísanie času vetrania
print(t)