Malé kmity budeme riešiť ako obvykle – napíšeme si rovnicu pre momenty síl a pokúsime sa z nej dostať rovnicu harmonického oscilátora. Najprv si však budeme musieť ujasniť niekoľko vecí, ktoré v tomto riešení využijeme.

• Ak z kružnice s polomerom $r$ vysekneme oblúk so stredovým uhlom $\phi$, dĺžka tohto oblúka je $r \phi$.

• Ak vektor sily $\vec{F}$ pôsobí v ľubovoľnom bode $P$ na danej priamke, tak veľkosť momentu tejto sily voči nejakému bodu $O$ bude $M = r_0 F$, kde $r_0$ je vzdialenosť priamky od bodu $O$ (viď Obrázok 1). Dá sa na to prísť ľahko. Označme $\vec{r}$ vektor od bodu $O$ k bodu $P$, potom veľkosť momentu sily vieme vyrátať pomocou sínusu uhla medzi vektormi $\vec{r}$ a $\vec{F}$ ako $M = |\vec{r} \times \vec{F}| = r F \sin\theta = r_0 F$, kde sme využili jednoduchú trigonometriu v pravouhlom trojuholníku.

• Pre rotačný pohyb platí rovnica pre moment sily $\tau = J \epsilon$¹, kde $\tau$ je moment sily a $J$ je moment zotrvačnosti (analogicky k $F = m a$).

• Ak by kladka v zadaní bola nehmotná v beztiažovom stave a miesto pružiny by bol Patrik, ktorý by lano potiahol silou $F$, tak závažie hmotnosti $M$ na opačnej strane sa začne pohybovať so zrýchlením $a = \frac{F}{M}$, pričom naň pôsobí moment sily $\tau = r F$, kde $r$ je polomer kladky. Zároveň sa kladka roztáča s uhlovým zrýchlením $\epsilon = \frac{a}{r}$. Ak toto všetko dosadíme do $\tau = J \epsilon$, zistíme, že moment zotrvačnosti závažia voči osi otáčania kladky je $J = M r^2$, kde ešte raz pripomíname, že $r$ je polomer kladky.

Obrázok 1: Moment sily vektora $\vec{F}$.

Po prečítaní vyššie spomenutých bodov môžeme napísať rovnicu pre momenty síl. Do protismeru hodinových ručičiek roztáča kladku gravitačná sila pôsobiaca na závažie momentom veľkosti $M g r$. V rovnovážnej polohe roztáča pružina kladku v smere hodinových ručičiek rovnako veľkým momentom sily. Zadefinujme si, že ak vychýlime kladku v smere hodinových ručičiek, výchylku považujeme za kladnú. Ak teda Patrik vychýli kladku v kladnom smere o uhol $\phi$, pružina sa skráti o $r \phi$, čím sa jej sila zmenší o $k r \phi$, a teda jej moment sa zmenší o $k r^2 \phi$. Naopak, záporné vychýlenie $\phi$ zväčší moment sily od pružiny o $k r^2 \phi$. Uvedomíme si, že moment sily od závažia je konštantný, pretože nezávisí od vychýlenia kladky. Preto pri výchylke $\phi$ pôsobí na kladku moment sily $- k r^2 \phi$, kde sme mínuskom zahrnuli do vzťahu predchádzajúcu úvahu o kladnom a zápornom $\phi$. Posledným krokom pred napísaním rovnice je, že uhlové zrýchlenie je druhou časovou deriváciou uhlovej výchylky a budeme teda používať označenie $\epsilon = \ddot{\phi}$ a celkový moment zotrvačnosti našej sústavy je $J = J_0 + M r^2$, kde $J_0$ je moment zotrvačnosti kladky. Vychádzame z už známej rovnice $$ \begin{aligned} J \epsilon &= \tau, \ J \ddot{\phi} &= - k r^2 \phi, \ \ddot{\phi} &= - \frac{k r^2}{J} \phi. \end{aligned} $$

Toto je rovnica harmonického oscilátora kmitajúceho s uhlovou frekvenciou $$ \omega = \sqrt{\frac{k r^2}{J}}. $$

Kladka je plný valec, ktorý má moment zotrvačnosti $J_0 = \frac{1}{2} m r^2$, čo po dosadení do vyjadrenia uhlovej frekvencie a úprave dáva $$ \omega = \sqrt{\frac{k}{\frac{m}{2} + M}}. $$

Perióda malých kmitov je potom $$ T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{\frac{m}{2} + M}}}. $$

Porovnať tento výsledok s prípadom nehmotnej kladky je najlepšie na uhlovej frekvencii. V prípade $m = 0$ by bola $$ \omega = \frac{k}{M}, $$ čo je uhlová frekvencia pružinky so závažím $M$, čo je vlastne to isté ako táto úloha s nehmotnou kladkou.

Poznámka o malých kmitoch

Pozorný čitateľ by mohol namietať, že v zadaní nebolo nutné uvažovať malé kmity. Naozaj, pri riešení sme nikde nepoužili Taylorov rozvoj pre malé výchylky $\phi$. Avšak už samotná rovnica pružiny $F = - k x$ je Taylorovým rozvojom, pretože žiadna skutočná pružina nie je lineárna a uvedená rovnica teda platí len pre malé výchylky $x$.