Začnime zaznačením známych a hľadaných veličín do obrázka 1. Našou úlohou je určiť výšku $H$ pomocou zadaných veličín (teda pomocou $l$, $d$, $h$ a $M$).

Ďalej si pre jednoduchšie vyjadrovanie označme bod, v ktorom je zavesená obruč bodom $N$, vrchol prvej tyče $A_0$ a bod $A_1$ je vo výške $2H + h$ pod vrcholom $A_0$. Na tyči $B$ je jej vrchol bod $B_0$ a bod $B_1$ je vo výške $2H$ pod vrcholom $B_0$. Úsek $A_0N$ zviera s vodorovnou priamkou uhol $\alpha$ a úsek $NB_0$ uhol $\beta$. Úsek $A_0N$ pôsobí na obruč ťahovou silou o veľkosti $F_1$, úsek $NB_0$ silou s veľkosťou $F_2$. Samotná obruč pôsobí na lano v bode $N$ tiažovou silou $F_g$.

Obrázok: Obrázok 1: Hojdačka so zakreslenými silami.

Na riešenie úlohy je potrebné uvedomiť si dve veci. Tou prvou je, že časti lana $NA_0$ a $NB_0$ budú s vodorovnou priamkou zvierať rovnaký uhol. Keďže je bod $N$ v pokoji, výslednica síl, ktoré naň pôsobia v $x$-ovom aj $y$-ovom smere, musí byť nulová. Rozkladom síl na vodorovné a zvislé zložky dostávame podmienku pre $x$-ový smer, $$ F_1 \cos\alpha = F_2\cos\beta. \qquad{(1)}$$

Voľne zavesenú obruč zároveň možno považovať za voľnú kladku, čo znamená, že ťahové sily $F_1$ a $F_2$, ktorými na ňu pôsobia jednotlivé úseky lana, musia byť rovnaké. Z rovnosti síl v $x$-ovom smere vyplýva, že aj kosínusy oboch uhlov musia byť navzájom rovnaké, a teda aj uhly $\alpha$ a $\beta$ musia byť rovnaké. To následne znamená, že časť lana $NB_0$ možno zobraziť podľa vodorovnej osi tak, že trojuholník $A_0 B_1 A_1$ je pravouhlý.¹

Ďalej vieme, že poloha bodu $N$ nebude závisieť na hmotnosti $M$ obruče (teda aspoň v ideálnych podmienkach). Keďže predpokladáme, že lano je nehmotné a svoje rozmery vplyvom vonkajších síl nemení, na lano bude pôsobiť len tiažová sila v jednom bode. Preto bude pre rovnaké parametre $d$, $h$ a $l$ poloha bodu $N$ rovnaká bez ohľadu na hodnotu $M$.

Úlohu sme si takto podstatne zjednodušili. Snažíme sa vyjadriť hodnotnu výrazu $H + h$ (pozri obrázok 1), keďže hľadáme výšku pod vrcholom vyššej tyče. Podľa Pytagorovej vety platí $$ \left|A_0 A_1\right| = \sqrt{l^2 - d^2}. \qquad{(2)}$$

Zároveň ale platí $\left|A_0 A_1\right| = 2H + h$, teda dostávame rovnosť, ktorú jednoducho upravíme: $$ \begin{aligned} 2H + h &= \sqrt{l^2 - d^2}, \ H + h &= \frac{\sqrt{l^2 - d^2} + h}{2}. \end{aligned} \qquad{(3)}$$

Obruč sa ustáli v tejto výške pod vrcholom vyššej tyče.

Alternatívne sme si mohli všimnúť, že množina bodov, v ktorých sa môže obruč nachádzať, bude elipsa, ktorá má ohniská vo vrcholoch jednotlivých stĺpov a dĺžka lana predstavuje súčet vzdialeností bodov elipsy od týchto ohnísk. Nina sa ustáli v najnižšom bode tejto elipsy, kde má dotyčnica k elipse nulový sklon. Následne vieme využiť odrazovú vlastnosť elipsy, ktorá nám vraví, že lúč vychádzajúci z jedného ohniska elipsy sa pri odraze od dotyčnice v danom bode odrazí do druhého ohniska. Podľa zákonu odrazu to ale znamená, že uhly $\alpha$ a $\beta$ musia byť rovnaké (pozri obrázok 1). Keď už máme zdôvodnenú rovnosť týchto tvoch uhlov, vieme následne postupovať rovnako ako v predchádzajúcom riešení.

Treťou možnosťou, o ktorú sa pokúsila približne tretina riešiteľov, je čisto analytické riešenie pomocou rovnakej elipsy ako v predchádzajúcom prípade. Toto riešenie je však o niečo zložitejšie a pracnejšie ako predchádzajúce dve.

Obrázok: Obrázok 2: Náčrt k analytickému riešeniu.

Na obrázku 2 môžeme vidieť, že ohniská elipsy sa nachádzajú na známych súradniciach. V „zvyčajnej“ súradnicovej sústave (označme ju $x’y’$), ktorá má $x’$-ovú os vodorovnú a $y’$-ovú zvislú však $F_1F_2$ nebude rovnobežná ani s jednou súradnicovou osou. Môžeme tak definovať karteziánsku sústavu $xy$, ktorá bude oproti sústave $x’y’$ otočená o uhol $\phi$. Tangens tohto uhla vieme ľahko určiť, je to pomer $h:d$. V sústave $xy$ tak budú mať ohniská súradnice $$ \begin{aligned} F_1 &= \left[-\frac{\sqrt{d^2 + h^2}}{2}, 0\right], \ F_2 &= \left[\frac{\sqrt{d^2 + h^2}}{2}, 0\right]. \end{aligned} \qquad{(4)}$$

Vieme určiť predpis elipsy, keďže poznáme $$ \begin{aligned} a^2 &= \frac{l^2}{4}, \ e^2 &= \frac{d^2 + h^2}{4}, \ b^2 &= a^2 - e^2 = \frac{l^2 - d^2 - h^2}{4}, \end{aligned} \qquad{(5)}$$ kde $e$ je lineárna excentricita, čiže vzdialenosť ohnísk od stredu elipsy.

Elipsa bude mať v sústave $xy$ stred v jej počiatku. Jej predpis tak bude $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. \qquad{(6)}$$

Zamerajme sa teraz na dotyčnicu k hľadanému najnižšiemu bodu. Vieme, že pôjde o priamku, ktorá bude mať predpis $$ y = kx + c_1, \qquad{(7)}$$

kde $k$ je jej smernica a $c_1$ bude absolútny člen. V sústave $x’y’$ bude mať táto priamka nulový sklon, teda bude vodorovná. V sústave $xy$, ktorá je oproti $x’y’$ otočená o uhol $\phi$ bude zvierať tento uhol s x-ovou osou. Bude mať zjavne záporný sklon, a preto bude pre jej smernicu $k$ platiť $$ \begin{aligned} k &= -\tan\phi, \ k &= -\frac{h}{d}. \end{aligned} \qquad{(8)}$$

My ale vieme, že dotyčnica k elipse v bode $[x_0, y_0]$ bude mať vo všeobecnosti predpis $$ \begin{aligned} \frac{x_0}{a^2}x + \frac{y_0}{b^2}y &= 1, \ y &= -\frac{x_0b^2}{a^2y_0}x + \frac{b^2}{y^0}. \end{aligned} \qquad{(9)}$$

Rovnice 7 a 9 ale budú ekvivalentné, t. j. musia byť splnené súčasne. To znamená, že aj koeficienty pri lineárnom člene v oboch rovniciach musia byť rovnaké, z čoho plynie rovnosť $$ -\frac{x_0b^2}{a^2y_0} = -\frac{h}{d} \qquad{(10)}$$

Následne vieme vyjadriť napr. bod $x_0$ a dosadiť túto hodnotu do rovnice 6 (keďže aj bod $[x_0, y_0]$ patrí našej elipse), čím po (trochu nepeknej) úprave dostávame $$ y_0^2 = \frac{d^2b^4}{h^2a^2 + d^2b^2}. \qquad{(11)}$$

Všimnime si, že tak ako sme si zvolili sústavu $xy$, bude bod $[x_0, y_0]$ ležať v jej 3. kvadrante. Obe súradnice tak musia byť záporné. Z rovnice 11 preto vezmeme záporný koreň. Dostávame $$ y_0 = -\frac{db^2}{\sqrt{h^2a^2 + d^2b^2}}. \qquad{(12)}$$

Túto hodnotu dosadíme do rovnice 10, čím získavame hodnotu pre $x_0$. $$ x_0 = -\frac{ha^2}{\sqrt{h^2a^2 + d^2b^2}}. \qquad{(13)}$$

Teraz, nám už sú známe súradnice bodu $[x_0, y_0]$, lenže v sústave $xy$. Chceme teda vypočítať vzdialenosť bodu $N$ od priamky určenej ohniskom $F_2$ a smerovým vektorom $\vec{u} = (1, -\tan\phi)$ (ten nám hovorí, že priamka zviera s $x$-ovou osou uhol $\phi$). Priamku nazvime $p$. Ľahko nájdeme normálový vektor tejto priamky $\vec{n} = (\tan\phi, 1)$. Všeobecná rovnica tejto priamky tak bude v tvare $p: (\tan\phi) x + y + c_2 = 0$, kde $c_2$ určíme, ak do rovnice dosadíme bod $F_2$, ktorý jej patrí. Ak tak urobíme a za $\tan\phi$ zároveň dosadíme podľa rovnice 8, dostávame predpis priamky $p$, $$ p: \frac{h}{d}x + y - \frac{h\sqrt{h^2 + d^2}}{2d} = 0. \qquad{(14)}$$

V sústave $x’y’$ bude teda priamka $p$ vodorovná a prechádzajúca ohniskom $F_2$. Tým, že počítame vzdialenosť bodu $N$ od tejto priamky v sústave $xy$, počítame rozdiel $y$-ových súradníc bodov $F2$ a $N$ v sústave $x’y’$, teda práve hľadanú výšku pod vrcholom vyššej tyče.

Vzdialenosť $|p; N|$ vieme určiť podľa vzťahu $$ \left|p; N\right| = \frac{ax_0 + by_0 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}, $$ kde $a, b, c$ sú koeficienty z predpisu priamky $p$ a $x_0$, $y_0$ sú súradnice bodu $N$ (v sústave $xy$). Všetky tieto hodnoty sú známe, preto dosádzame z rovníc 14, 13 a 12. Následne dostaneme krkolomný výraz, ktorý ďalej upravujeme. A skutočne po jeho zjednodušení dostaneme hľadaný tvar $$ \left|p; N\right| = \frac{\sqrt{l^2 - d^2} + h}{2}. $$

Uff.