Na úspešné pristátie na asteroide budeme musieť uniknúť zo Zeme, stretnúť sa s ním a nakoniec ešte vyrovnať našu rýchlosť s jeho rýchlosťou. Úloha môže znieť zložito, tak si ju zjednodušme tým, že všetky zmeny dráhy sondy budeme vykonávať iba na spojnici Slnko-perihélium asteroidu. Návrh dráhy sondy nech je nasledovný: počkáme, kým Zem je medzi Slnkom a perihéliom asteroidu, a vtedy vypálime sondu v smere rýchlosti Zeme tak, aby obiehala okolo Slnka po elipse s veľkou polosou $a_1$. Keď sonda príde do afélia, udelíme jej druhý impulz, vďaka ktorému bude obiehať po elipse s veľkou polosou $a_2$ takou, že elipsa sa práve dotkne vrcholu hyperboly, t. j. v perihéliu asteroidu. No a okrem toho, chceme aby sa sonda dotkla vrchola hyperboly práve v momente, keď tam bude aj asteroid. Tretí impulz už len slúži na to, aby sa rýchlosti sondy a asteroidu vyrovnali.

Keďže štartujeme v čase, keď je Zem medzi Slnkom a perihéliom asteroidu, tak to je presne $n$ rokov pred preletom asteroidu perihéliom, kde $n \in {2, 3, 4, 5}$. Nemôže to trvať jeden rok, pretože chceme ísť na vyššiu dráhu ako Zem, čo je dlhšia dráha a navyše po nej ide sonda pomalšie, takže za jeden rok by to nestihla. Takže čas potrebný na prejdenie polovice elipsy s $a_1$, a potom polovice elipsy s $a_2$ má byť rovný $n$ rokov. Ak $P_1$, $P_2$ sú obežné doby po týchto elipsách, zapíšeme to ako $\frac{P_1}{2} + \frac{P_2}{2} = n \Rightarrow P_1 + P_2 = 2n$.

Teraz potrebujeme obežné doby preonačiť na veľké polosi. Na to využijeme tretí Keplerov zákon $$ \frac{a^3}{P^2} = \frac{GM_\odot}{4\pi^2}, $$ kde $M_\odot$ je hmotnosť Slnka. Uľahčime si to tým, že veľké polosi budeme merať v astronomických jednotkách a obežné doby v rokoch. Pre Zem teda máme $a = \SI{1}{\astronomicalunit}$ a $P = \SI{1}{\year}$, čo po dosadení do tretieho Keplerovho zákona dáva $\frac{GM_\odot}{4\pi^2} = 1$, a preto v týchto jednotkách môžeme písať $$ a^3 = P^2, $$ takže po preonačení máme podmienku pre veľké polosi $a_1^{\frac{3}{2}} + a_2^{\frac{3}{2}} = 2n$. Táto podmienka však nezaručuje, že pri prechode asteroidu perihéliom ho sonda aj trafí. Ona iba bude niekde na spojnici Slnko-perihélium asteroidu.

Prvá časť dráhy sondy.

Druhá časť dráhy sondy.

Potrebujeme teda ešte zariadiť, aby na danej spojnici bola sonda presne $\SI{2}{\astronomicalunit}$ od Slnka, kde bude aj asteroid. To spravíme podľa obrázka. Keď sa sonda pohybuje po elipse s $a_1$, tak vzdialenosť medzi jej aféliom a perihéliom je $2 a_1$. Keďže perihélium má vo vzdialenosti $1$ od Slnka¹, tak keď sonda príde do svojho afélia, jej vzdialenosť od Slnka bude $2 a_1 - 1$. A úplne analogicky, keď sonda zmení svoju dráhu na elipsu s $a_2$, tak keď sa po nej dostane do vrchola hyperboly, jej vzdialenosť od Slnka bude $2 a_2 - (2 a_1 - 1) = 2(a_2 - a_1) + 1$. Zo zadania ale vieme, že táto vzdialenosť je rovná $2$, keďže to je perihélium asteroidu. Preto $$ \begin{aligned} 2(a_2 - a_1) + 1 &= 2 a_2 - a_1 &= \frac{1}{2} a_2 &= a_1 + \frac{1}{2}. \end{aligned} $$ Dokopy teda máme rovnicu $$ a_1^{\frac{3}{2}} + (a_1 + \frac{1}{2})^{\frac{3}{2}} = 2n, $$ ktorá nám hovorí, po akých elipsách sa sondá má pohybovať, aby sa stretla s asteroidom. Túto rovnicu s radosťou vyrieši Wolfram Alpha a pre $n = 2, 3, 4, 5$ je postupne riešením $a_1 = \num{1.3275}; \num{1.8225}; \num{2.2636}; \num{2.6687}$. Vypočítať hodnoty $a_2$ je už teraz triviálne.

Teraz poďme zrátať $\Delta v$. Aby sme výsledok dostali v $\si{\metre\per\second}$, musíme opustiť naše pohodlné jednotky a dosádzať všetko v základných jednotkách. Využijeme rovnicu vis-viva $$ v = \sqrt{GM_\odot \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}, $$ ktorá hovorí, akou veľkou rýchlosťou sa pohybujeme, ak sme od Slnka vzdialení $r$ a sme na kužeľosečke s veľkou polosou $a$. Dráhu sondy chceme zmeniť z kruhovej ako má Zem na eliptickú s $a_1$. Keď sme na oboch dráhach vzdialení od Slnka $r = a_z$, kde $a_z$ je polomer dráhy Zeme, rozdiel medzi ich rýchlosťami označme $$ v_\infty = \sqrt{GM_\odot \left(\frac{2}{a_z} - \frac{1}{a_1}\right)} - \sqrt{GM_\odot \left(\frac{2}{a_z} - \frac{1}{a}\right)}. $$ Presne túto rýchlosť musí mať sonda po úniku zo Zeme, aby potom obiehala okolo Slnka po eliptickej dráhe s $a_1$. Avšak akú rýchlosť musíme sonde dodať, aby po úniku mala $v_\infty$? Na to nám odpovie zákon zachovania energie $$ \frac{1}{2} m v^2 - \frac{GM_z m}{R_z} = \frac{1}{2} m v_\infty^2, $$ kde $m$ je hmotnosť sondy, $v$ je rýchlosť, ktorú má na povrchu Zeme, ktorú sme jej dodali okamžitým impulzom, a $M_z$ a $R_z$ sú hmotnosť a polomer Zeme. Na ľavej strane je teda súčet kinetickej a potenciálnej energie na Zemskom povrchu, na pravej strane je taktisto súčet týchto dvoch energií, ale po úniku zo Zemského gravitačného poľa, čiže potenciálna energia je nulová². Jednoduchými úpravami máme $$ v^2 = \frac{2GM_z}{R_z} + v_\infty^2. $$ V prvom člene na pravej strane spoznávame vzorček pre únikovú rýchlosť zo Zeme a po odmocnení dostávame, že pri štarte sondy jej musíme udeliť $$ \Delta v_1 = v = \sqrt{v_\mathrm{esc.}^2 + v_\infty^2}. $$

Keď sonda príde do afélia, už vieme, že je od Slnka $r = 2 a_1 - a_z$ a z veľkej polosi $a_1$ sa urýchlením dostane na elipsu a $a_2$. Tomu zodpovedá $$ \Delta v_2 = \sqrt{GM_\odot \left(\frac{2}{2 a_1 - a_z} - \frac{1}{a_2}\right)} - \sqrt{GM_\odot \left(\frac{2}{2 a_1 - a_z} - \frac{1}{a_1}\right)}. $$

Asteroide vieme len perihéliovú vzdialenosť $q$ a excentricitu $e$, ale pre všetky kužeľosečky platí $q = a (1 - e)$, čiže veľká polos³ asteroidu je $a = \frac{q}{1 - e}$ a v perihéliu má $r = q$. Sonda však do perihélia asteroidu príde s rýchlosťou, ktorú zrátame z $a = a_2$ a $r = q$. Takže rozdiel rýchlostí asteroidu a sondy, ktorý ešte musíme sonde dodať, aby mäkko pristála je $$ \Delta v_3 = \sqrt{GM_\odot \left(\frac{2}{q} - \frac{1 - e}{q}\right)} - \sqrt{GM_\odot \left(\frac{2}{q} - \frac{1}{a_2}\right)}. $$

Celkový súčet zmien rýchlostí, ktoré sonde musíme dodať je potom $$ \Delta v = \Delta v_1 + \Delta v_2 + \Delta v_3. $$ Tu spravíme štyri výpočty, pretože nezabúdame, že náš spôsob pristátia na asteroide je možný spraviť po štyroch rôznych dráhach, ktoré sú dané cez $n = 2, 3, 4, 5$. Priamym dosadením všetkých hodnôt dostávame, že najmenší súčet zmien rýchlostí je $$ \Delta v \doteq \SI{28370}{\metre\per\second} $$ pre $n = 5$. To znamená, že štartujeme päť rokov pred prechodom asteroidu perihéliom, kedy sonde udelíme $\Delta v_1$ v smere pohybu Zeme. Dostaneme sa do afélia vo vzdialenosti $2 a_1 - a_z = 2 \cdot \SI{2.6687}{\astronomicalunit} - \SI{1}{\astronomicalunit} = \SI{4.3374}{\astronomicalunit}$ od Slnka. Tam sonde udelíme $\Delta v_2$ v smere jej pohybu, čím sa jej perihélium zdvihne z $\SI{1}{\astronomicalunit}$ na $\SI{2}{\astronomicalunit}$. Perihélium sondy a asteroidu sa teda nachádzajú v tom istom bode a prejdú ním v tom istom čase. Rozdiel medzi ich rýchlosťami však je $\Delta v_3$, čo sonde musíme dodať, aby mäkko pristála.

Prečo sme si zvolili práve takýto spôsob? Lebo je zrejme najjednoduchší na výpočet. Vypočítať čas, kedy sa teleso nachádza v nejakom konkrétnom bode na svojej dráhe sa dá analyticky len pre perihélium a afélium práve vďaka tretiemu Keplerovmu zákonu. Inak by sme museli riešiť Keplerovu rovnicu, čo sa dá len numericky. Takže nájsť spôsob, ako sa sonda môže stretnúť s asteroidom inde ako v jeho perihéliu je o dosť zložitejší.