Marcel sa rozhodol presedlať od fotografovania k natáčaniu videí. Ako prvé sa rozhodol si natočiť zopár lietadiel pri vzlietaní. Už pri natáčaní si ale všimol, že mu tam niečo akosi nesedelo. Na kamere to vyzeralo, akoby sa vrtuľa jedného z lietadiel točila úplne inou rýchlosťou ako v skutočnosti, ba dokonca občas aj menila smer. Uvedomil si, že ak pozná uhlovú rýchlosť $\Omega$, ktorou sa vrtuľa točí v realite a snímkovaciu frekvenciu $f$ jeho kamery, musí vedieť spočítať aj túto zdanlivú uhlovú rýchlosť $\omega$ vrtule na videu. Pomôžte mu s tým!
Uvažujte, že $\Omega$ aj $f$ môžu byť ľubovoľné kladné reálne čísla a že jednotlivé listy vrtule sú od seba odlíšiteľné.
Menenie frekvencie rýchlych dejov na videu je pomerne známy jav. Okrem vrtule lietadla je možno ešte častejšie pozorovatelný ak sa snažíme natočiť obrazovku, môžeme si všimnúť, že bude blikať. Oba tieto javy majú rovnakú podstatu.
Video vznikne tak, že kamera urobí veľa snímkov za sekundu (približne 30) a pri pozeraní videa ich aj všetky za tú jednu sekundu ukáže, čím vzniká ilúzia, že obraz sa hýbe. V našom prípade teda hamera urobí $n = f\times\SI{1}{\second}$ snímok za sekundu. Čo ak by sa ale vrtula otočila presne $n$ krát za 1 sekundu? Medzi každými dvoma snímkami by urobila presne jednu otočku a teda všetkých $n$ obrázkov by vyzeralo rovnako. Pri prehraní by sme videli vrtulu stáť. Nie je náročné si uvedomiť, že to isté by sme videli ak by sa vrtula otočila $2n$-krát alebo $3n$-krát. Respektíve vo všeobecnosti $kn$-krát, kde $k \in \mathbb{N}$.
Z tejto úvahy vyplýva, že zdánlivá uhlová rýchlosť $\omega$ na videu nebude závisieť od počtu celých otočiek medzi dvomi snímkami ale od tej nedokončenej. Matematicky zapísané: $$ \omega \sim \Omega \text{ mod } 2\pi f = \Omega - \left\lfloor\frac{\Omega}{2\pi f}\right\rfloor \SI{360}{\degree\per\second} $$ Rozoberme si trochu tento zápis. Postupne by sme ho prečítali $\omega$ závisí od zvyšku $\Omega$ po delení $2\pi f$ (znak $\text{mod}$ značí zvyšok po delení). Ten je ale rovný ak od $\Omega$ odčítame $\Omega$ vydelené $2\pi f$ zaokruhlené dole a vynásobené .
Výraz napravo od symbolu závislosti vyjadruje práve to o koľko vidíme, že sa vrtula otočila medzi dvoma snímkami a nie o koľko sa reálne otočila (keďže počet celých otáčok nemáme zo snimok ako určiť). Okrem toho zo snímok nevieme určiť ani smer ktorým sa vrtula točí. Tento problém ale mozog vyrieši za nás a vyberie si tú blyžšiu možnosť. Preto ak sa otočí o tri štvrtiny kruhy, náš mozog to vyhodnotí ako jedna štvrtina opačným smerom. Matematicky to zapíšeme ako: $$ \omega = \left(\left(\Omega + \SI{180}{\degree\per\second}\right) \text{ mod } 2\pi f\right) - \SI{180}{\degree\per\second} = \Omega - \left\lfloor\frac{\Omega}{2\pi f} - \frac{1}{2} \right\rfloor\SI{360}{\degree\per\second} - \SI{180}{\degree\per\second} $$ Ako prísť na to, že takáto zmena našej rovnice spraví to čo od nej chceme? Buď metódou pozriem vidím, alebo si začať odôvodnovať, že kvôli posunutiu výsledkov o nižšie musíme odpočítať . Aby sme teraz zabezpečíli, že maximum respektíve minimum bude okolo , potrebujeme aby zvyšok po delení takýchto uhlov bol blýzky respektíve . To spravíme práve pripočítaním (alebo odpočítaním) pred modulovaním.