Aby sme sa vyhli nedorozumeniam, v celom riešení budeme používať jediné označenie “zrýchlenie” – kladná hodnota zrýchlenia bude značiť zrýchľovanie, záporná hodnota spomaľovanie (bolo by dobré premyslieť si používanie jedinej fyzikálnej veličiny – zrýchlenia – namiesto používania dvoch (spomaľovania a zrýchľovania), ktoré samy osebe môžu nadobúdať aj kladné, aj záporné hodnoty). Ako prvú si vypočítame dobu brzdenia s konštantným maximálnym zrýchlením $\SI{-10}{\metre\per\second\squared}$ $$ \begin{aligned} v &= v_0 + a \cdot t, \ t &= - \frac{v_0}{a}, \ \end{aligned} $$

kde $v$ je konečná rýchlosť $\SI{0}{\metre\per\second}$ (lebo auto zastaví), $a$ je maximálne zrýchlenie $\SI{-10}{\metre\per\second\squared}$, a $v_0$ je počiatočná rýchlosť

1. $\SI{30}{\kilo\metre\per\hour} = \SI[parse-numbers=false]{\frac{25}{3}}{\metre\per\second} \approx \SI{8.33}{\metre\per\second},$

2. $\SI{50}{\kilo\metre\per\hour} = \SI[parse-numbers=false]{\frac{125}{9}}{\metre\per\second} \approx \SI{13.89}{\metre\per\second}.$

Po dosadení hodnôt okamžite dostávame $$ \begin{aligned} t_a &\approx \SI{0.83}{\second}, \ t_b &\approx \SI{1.39}{\second}. \ \end{aligned} $$

Teraz vypočítame dobu potrebnú na zabrzdenie ak prvé dve sekundy Kubko lineárne nabieha na maximálne zrýchlenie $\SI{-10}{\metre\per\second\squared}$, a potom opäť brzdí konštantne na tejto hodnote. Tu už vzorček pre konštantné zrýchlenie použiť nemôžeme, nakoľko máme dočinenia s lineárne narastajúcim zrýchlením. Graf spomalenia v závislosti od času je na uzavretom intervale $\left[ \num{0}, \num{2} \right]$ grafom lineárnej funkcie prechádzajúcej bodmi $\left[ \num{0}, \num{0} \right]$ a $\left[ \num{2}, \num{10} \right]$. (Prvý bod preto, že Kubko nemal žiadne počiatočne zrýchlenie, druhý preto, lebo v čase $\num{2}$ sekundy nadobúda maximálne zrýchlenie $\SI{-10}{\metre\per\second}$). Teda dostávame predpis $a = -\SI{5}{\metre\per\second\cubed} \cdot t$ . Ďalej vieme, že rýchlosť je obsahom plochy pod krivkou grafu zrýchlenia. V našom prípade je grafom “trojuholník”, takže Kubko znížil v prvej fáze brzdenia rýchlosť o $\frac{1}{2} \cdot a \cdot t = \SI[parse-numbers=false]{\frac{5}{2}}{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2$. Po čase $t$ teda bude mať Plechovka rýchlosť $$ v = v_0 - \SI[parse-numbers=false]{\frac{5}{2}}{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2. $$

Po dosadení $\SI{2}{\second}$ za $t$ a $\SI{0}{\metre\per\second}$ za $v_0$ zistíme, koľko metrov za sekundu dokáže Kubkovo auto „stiahnuť“ za dve sekundy, počas ktorých lineárne spomaľuje. Vidíme, že auto za dve sekundy spomalí o $\SI{10}{\metre\per\second}$. To znamená, že v prípade a) Kubko zabrzdí počas toho, ako spomalenie rastie, no v prípade b) spomalenie narastie na maximálnu hodnotu a nejaký čas bude musieť ešte konštantne brzdiť. Pre prípad a) dostávame $$ v = \SI[parse-numbers=false]{\frac{25}{3}}{\metre\per\second} - \SI[parse-numbers=false]{\frac{5}{2}}{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 $$ a po dosadení $v = \SI{0}{\metre\per\second}$, keďže Kubko zastavil, dostávame čas brzdenia $$ t = \SI[parse-numbers=false]{\sqrt{\frac{10}{3}}}{\second} \approx \SI{1.83}{\second}. $$ Pre prípad b) máme $$ v = \SI[parse-numbers=false]{\frac{125}{9}}{\metre\per\second} - \SI{10}{\metre\per\second} - \SI{10}{\metre\per\second\squared} \cdot \left(t - \SI{2}{\second}\right), $$ a po dosadení $v = \SI{0}{\metre\per\second}$ dostávame $$ t = \left(\SI[parse-numbers=false]{\frac{125}{9}}{\metre\per\second} - \SI{10}{\metre\per\second}\right) \cdot \SI[parse-numbers=false]{\frac{1}{10}}{\second\squared\per\metre} + \SI{2}{\second} \approx \SI{2.39}{\second}. $$

Rozdiel časov v brzdení je tým pádom

1. $\SI{1.83}{\second} - \SI{0.83}{\second} = \SI{1}{\second},$

2. $\SI{2.39}{\second} - \SI{1.39}{\second} = \SI{1}{\second},$

čiže zhruba $\SI{1}{\second}$ v oboch prípadoch.

Riešenie s použitím

integrálov

Iným spôsobom výpočtu, vhodným najmä pre skúsenejších riešiteľov, by sme mohli postupovať nasledovne: Vieme, (podobne ako je zrýchlenie deriváciou rýchlosti) že ryv (anglicky “jerk”) je deriváciou zrýchlenia a je to konštantných $\SI{-5}{\metre\per\second\cubed}$. Teda integráciou ryvu sa vieme dostať k zrýchleniu $$ a = \int \SI{-5}{\metre\per\second\cubed} \mathrm{d}t = \SI{-5}{\metre\per\second\cubed} \cdot t + C, $$

kde $C$ je integračná konštanta, ktorá sa ale rovná nule (pretože zrýchlenie v čase $\SI{0}{\second}$ je nulové). Dvojitou integráciou ryvu dostaneme zasa rýchlosť $$ v = \iint \SI{-5}{\metre\per\second\cubed} \mathrm{d}t = \int \SI{-5}{\metre\per\second\cubed} \cdot t \mathrm{d}t = - \SI[parse-numbers=false]{\frac{5}{2}}{\metre\per\second\cubed} \cdot t^2 + C. $$

Tu už integračná konštanta nie je nulová, ale rovná $v_0$, keďže v čase $\SI{0}{\second}$ je rýchlosť rovná $v_0$. Dvojitým integrovaním ryvu sme teda dostali rovnaký vzťah pre výpočet rýchlosti ako sme už používali vyššie.