Pri riešení úloh, v ktorých sa hľadá perióda kmitania oscilátora, existujú dva bežne používané postupy. Prvý prístup je cez sily a býva najpriamočiarejší. Je založený na tom, že si nakreslíme všetky sily, ktoré na systém pôsobia a napíšeme pohybovú rovnicu. Ak sa nám podarí túto rovnicu upraviť do tvaru $\ddot x = -\omega^2 x$, kde $\omega$ je nejaká konštanta (je dôležité aby pred sebou mala záporné znamienko) a $x$ je výchylka z rovnovážnej polohy, potom môžeme okamžite povedať, že systém vykonáva harmonické kmity a $\omega$ je uhlová frekvencia týchto kmitov. Tento postup býva síce najpriamočiarejší, ale pri systémoch s komplikovanou geometriou býva nevýhodný, pretože je ťažké analyzovať všetky sily v systéme. A to je aj náš prípad. Len si spomeňte na úlohu 5 z druhého kola zimnej série! Takým šialenostiam sa rozhodne chceme vyhnúť!

Preto (v súlade s lenivosťou autora tohto vzoráku) si predstavíme iný a omnoho výhodnejší postup riešenia – energetický prístup. Spočíva v tom, že si napíšeme zákon zachovania energie. Ten má zvyčajne tvar $$ \text{kinetická energia} + \text{potenciálna energia} = \text{konštanta}. $$

Následne ho budeme upravovať, až kým ho nedokopeme do tvaru $$ \frac{1}{2} \alpha \dot x^2 + \frac{1}{2} \beta x^2 = \textit{konšt.}, \qquad(1)$$ kde $\alpha$ a $\beta$ sú nejaké konštanty a $x$ je opäť výchylka z rovnovážnej polohy. Akonáhle máme túto rovnicu, tak môžeme jasať, pretože to znamená, že máme opäť harmonické kmity a ich uhlová frekvencia je $$\omega = \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}.$$ Ak neveríte, tak si vyššie-uvedenú rovnicu zderivujte podľa času a vyjde vám $\alpha \dot x \ddot x + \beta x \dot x = 0$ a po úprave $\ddot x = - \frac{\beta}{\alpha} x$, čo je presne rovnica pre harmonické kmity. Tento postup je teda ekvivalentný vyššie-uvedenému silovému prístupu, ale vyhneme sa skladaniu vektorov síl.

Keď už máme rozmyslenú stratégiu, pustime sa do počítania! Do zákona zachovania energie potrebujeme dve ingrediencie – potenciálnu energiu $V$ a kinetickú $T$. Začnime potenciálnou.

Zaveďme si uhol $\phi$ ako polovicu uhla, ktorý zvierajú dolné dve tyče. Potom dĺžka pružiny je jednoducho $l = 2L\sin\phi$ a potenciálna energia pružiny je teda $$ V_p = \frac{1}{2}kl^2 = 2kL^2 \sin^2 \phi. $$

To bolo jednoduché! K celkovej potenciálnej energii systému však prispieva aj gravitačná potenciálna energia jednotlivých tyčí. Tú spočítame ako $M \times g \times \text{výška ťažiska}$. Teda pre dolné dve tyče je to $Mg \frac{L}{2}\cos \phi$ a pre vrchné dve tyče je to $Mg \frac{3}{2}L \cos \phi$. Celkovo teda $$ V_g = 2\cdot Mg \frac{L}{2}\cos \phi + 2\cdot Mg\frac{3}{2}L\cos \phi = 4MgL \cos\phi $$ a celková potenciálna energia systému je $$ V = V_p + V_g = 2kL^2 \sin^2\phi + 4MgL\cos\phi. $$

Keď už máme vyjadrenú potenciálnu energiu, je už veľmi ľahké nájsť rovnovážnu polohu oscilátora. Rovnovážna poloha je totiž vždy v minime potenciálnej energie! Zderivujme teda $V$ podľa výchylky $\phi$ a položme výsledok rovný nule. Dostaneme $$ \frac{{\rm d}V}{{\rm d}\phi} = 0 = 4kL^2 \sin\phi_0 \cos\phi_0 - 4MgL\sin\phi_0 \quad\Rightarrow\quad \cos \phi_0 = \frac{Mg}{kL}. $$

Teraz sa pustime do celkovej kinetickej energie $T$ systému. Najskôr si uvedomme, čo všetko sa nám tu hýbe. V prvom rade dolné dve tyče sa otáčajú okolo svojho dolného konca rýchlosťou $\dot\phi$. Ich kinetickú energiu vypočítame jednoducho ako $\frac{1}{2}I_k \dot\phi^2$, kde $I_k$ je moment zotrvačnosti tyče okolo jej konca. Horné dve tyče vykonávajú zložitejší pohyb. Ten môžeme rozdeliť na pohyb ťažiska a rotáciu okolo ťažiska uhlovou rýchlosťou $\dot\phi$. kinetická energia ich pohybu teda je $\frac{1}{2}Mv_T^2 + \frac{1}{2}I_T \dot\phi^2$, kde $v_T$ je rýchlosť pohybu ťažiska a $I_T$ je moment zotrvačnosti tyče okolo svojho ťažiska¹.

Budeme teda potrebovať momenty zotrvačnosti $I_k$ a $I_T$ tyče okolo svojho konca, resp. svojho ťažiska. Tie sú $$ \begin{aligned} I_k &= \frac{1}{3} ML^2, \ I_T &= \frac{1}{12}ML^2. \end{aligned} $$

Rotačná kinetická energia dolných dvoch tyčí je teda $$ T_{\textit{dolné}} = 2 \cdot \frac{1}{2} I_k \dot\phi^2 = \frac{1}{3} ML^2 \dot\phi^2. $$

Pre výpočet kinetickej energie horných tyčí budeme najskôr musieť určiť rýchlosť $v_T$ ich ťažiska. Zamerajme sa na pravú hornú tyč. Poloha jej ťažiska je daná $$ \begin{aligned} x_T &= \frac{1}{2}L\sin\phi, \ y_T &= \frac{3}{2}L\cos\phi. \end{aligned} $$

Tieto súradnicové vyjadrenia teraz zderivujme podľa času. Dostaneme $$ \begin{aligned} \dot x_T &= \frac{1}{2} L \dot\phi \cos\phi, \ \dot y_T &= -\frac{3}{2} L \dot\phi \sin\phi. \end{aligned} $$

Rýchlosť ťažiska potom už nájdeme jednoducho ako $$ v_T^2 = \dot x_T ^2 + \dot y_T^2 = \frac{L^2 \dot\phi^2}{4}(\cos^2\phi + 9\sin^2\phi) = \frac{L^2 \dot\phi^2}{4}(1+8\sin^2\phi). $$

Potom už kinetickú energiu horných dvoch tyčí môžeme vypočítať ako $$ T_{\textit{horné}} = 2 \cdot \frac{1}{2}Mv_T^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}I_T \dot\phi^2 = M\frac{L^2 \dot\phi^2}{4}(1+8\sin^2\phi) + \frac{1}{12}ML^2 \dot\phi^2 = \frac{1}{3}ML^2\cdot\phi^2 + 2ML^2 \dot\phi^2\sin^2\phi. $$

Nakoniec súčtom $T_{\textit{dolné}}$ a $T_{\textit{horné}}$ získame celkovú kinetickú energiu sústavy $$ T = T_{\textit{dolné}} + T_{\textit{horné}} = \frac{2}{3}ML^2 \dot\phi^2 + 2ML^2 \dot \phi^2 \sin^2 \phi. $$

Napíšme si teraz zákon zachovania energie v tvare $T + V = \textit{konšt.}$: $$ \textit{konšt.} = T + V = \frac{2}{3}ML^2 \dot\phi^2 + 2ML^2 \dot \phi^2 \sin^2 \phi + 2kL^2 \sin^2\phi + 4MgL\cos\phi $$

Toto ešte nie je tvar, ktorý chceme, pretože sa tu vyskytujú komplikované funkcie ako $\sin^2 \phi$ a $\cos \phi$. My by sme ich chceli nejako aproximovať, aby sme rovnicu upravili do tvaru 1. Využijeme fakt, že výchylka z rovnovážnej polohy $\phi - \phi_0$ je malá a urobíme Taylorov rozvoj v bode $\phi_0$. Taylorov rozvoj nejakej funkcie $f(\phi)$ je vo všeobecnosti definovaný vzorcom $$ f(\phi) = f(\phi_0) + \frac{{\rm d}f}{{\rm d}\phi}\biggr\rvert_{\phi = \phi_0} (\phi - \phi_0) + \frac{1}{2}\frac{{\rm d}^2f}{{\rm d}\phi^2} \biggr \rvert_{\phi = \phi_0} (\phi - \phi_0)^2 + \mathcal{O}((\phi - \phi_0)^3), $$ kde $\mathcal{O}((\phi - \phi_0)^3)$ značí všetky členy, ktoré obsahujú tretiu a vyššiu mocninu výrazu $(\phi - \phi_0)$. Tieto členy budeme zanedbávať, pretože do vzorca 1 nám stačia mocniny druhého rádu. Keď toto aplikujeme na rovnice $\cos \phi$ a $\sin^2 \phi$ a využijeme $\cos \phi_0 = \frac{Mg}{kL}$, $\sin \phi_0 = \sqrt{1-\cos^2\phi_0}$, dostaneme $$ \begin{aligned} \cos\phi &= \cos\phi_0 - \sin\phi_0 (\phi - \phi_0) - \frac{\cos\phi_0}{2}(\phi-\phi_0)^2 + \mathcal{O}((\phi - \phi_0)^3) \ &= \frac{Mg}{kL} - \sqrt{1 - \frac{M^2 g^2}{k^2 L^2}}(\phi - \phi_0) - \frac{Mg}{2kL}(\phi - \phi_0)^2 + \mathcal{O}((\phi - \phi_0)^3) \end{aligned} $$ a $$ \begin{aligned} \sin^2\phi &= \sin^2\phi_0 + 2\sin\phi_0 \cos\phi_0 (\phi - \phi_0) + (\cos^2 \phi_0 - \sin^2 \phi_0) (\phi - \phi_0)^2 + \mathcal{O}((\phi - \phi_0)^3) \ &= 1 - \frac{M^2 g^2}{k^2L^2} + 2\frac{Mg}{kL}\sqrt{1 - \frac{M^2 g^2}{k^2 L^2}} (\phi - \phi_0) + \left(\frac{2M^2 g^2}{k^2 L^2} - 1 \right) (\phi - \phi_0)^2 + \mathcal{O}((\phi - \phi_0)^3). \end{aligned} $$

Takto vyjadrené $\cos \phi$ a $\sin^2 \phi$ teraz dosaďme do potenciálnej energie $V = 2kL^2 \sin^2 \phi + 4MgL\cos\phi$ a po úprave dostaneme $$ V = \underbrace{2kL^2 \left(1 - \frac{M^2 g^2}{k^2 L^2}\right) + \frac{4 M^2 g^2}{k}}_{\textit{konštanta}} + \frac{1}{2}\left( 4 k L^2 \left(\frac{2M^2 g^2}{k^2 L^2} - 1 \right) - 4 \frac{M^2 g^2}{k}\right) \left(\phi - \phi_0\right)^2. $$

Všimnime si, že členy s prvou mocninou vypadli. To sme očakávali, pretože robíme Taylorov rozvoj v minime potenciálnej energie ($\phi - \phi_0$) a tu je prvá derivácia rovná nule.

Teraz nám ešte ostáva upraviť člen s kinetickou energiou $T = \frac{2}{3}ML^2 \dot\phi^2 + 2ML^2 \dot\phi^2 \sin^2 \phi$. Tu nám vadí jedine člen obsahujúci $\sin^2\phi$. Skôr než opäť bezhlavo aplikujeme Taylorov rozvoj sa ale zamyslime nad tým, ktoré členy nám budú stačiť. Spomeňte si, že robíme aproximáciu malých kmitov. To znamená, že výchylka z rovnovážnej polohy $\phi - \phi_0$ je malá. To zapíšeme $\phi - \phi_0 \sim \varepsilon$, kde $\varepsilon$ je nejaké malé číslo. Potom $(\phi -\phi_0)^2 \sim \varepsilon^2$ je ešte menšie číslo a $(\phi - \phi_0)^3 \sim \varepsilon^3$ je už tak malé, že ho zanedbávame. Avšak pri malých kmitoch je zvyčajne aj rýchlosť kmitania veľmi malá. To zapíšeme $\dot\phi \sim \varepsilon$. Teraz sa pozrime na problematický člen v kinetickej energii. Ten obsahuje súčin $\dot \phi^2 \sin^2 \phi$. Lenže $\dot \phi^2$ je už rádu $\varepsilon^2$, teda z Taylorovho rozvoja $\sin^2 \phi$ nám stačí zobrať konštantný člen $\sin^2 \phi_0$. Tým dostávame aproximovanú kinetickú energiu $$ \begin{aligned} T &= \frac{2}{3} ML^2 \dot\phi^2 + 2 ML^2 \dot \phi^2 \sin^2 \phi_0 + \mathcal{O}((\phi - \phi_0)^3) \ &= \frac{1}{2} ML^2 \dot\phi^2 \left(\frac{4}{3} + 4\left(1 - \frac{M^2 g^2}{k^2 L^2} \right)\right). \end{aligned} $$

Teraz to dajme všetko dokopy! Zákon zachovania energie má tvar $$ \textit{konšt.} = \frac{1}{2} ML^2 \dot\phi^2 \left(\frac{4}{3} + 4\left(1 - \frac{M^2 g^2}{k^2 L^2}\right)\right) + \frac{1}{2}\left( 4 k L^2 \left( \frac{2M^2 g^2}{k^2 L^2} - 1\right) - 4 \frac{M^2 g^2}{k}\right) \left(\phi - \phi_0\right)^2. $$

Potom už periódu $\tau$ kmitania môžeme zapísať v tvare $$ \tau = 2\pi \sqrt{ \frac{ ML^2 \left(\frac{4}{3} + 4 \left(1 - \frac{M^2 g^2}{k^2 L^2}\right)\right) }{ 4kL^2 \left(\frac{2M^2 g^2}{k^2 L^2} - 1 \right) - 4\frac{M^2 g^2}{k}} } = 2\pi \sqrt{ \frac{\left(\frac{4}{3} - \frac{M^2 g^2}{k^2 L^2} \right) ML^2}{\frac{M^2 g^2}{k} - kL^2} }. $$

A máme hotovo!