Zadanie explicitne spomína sústavu spojenú s ťažiskom binárneho asteroidu, takže všetko budeme počítať práve v sústave s počiatkom v ťažisku. Okolo neho obiehajú oba asteroidy po kruhových dráhach. Hmotnosť DARTu je zanedbateľná voči obom asteroidom, takže ju nebudeme brať do úvahy pri určovaní polohy ťažiska. V jednom momente do Dimorpha čelne narazí DART, čiže ho spomalí. A úlohou je zistiť, o koľko ho spomalí, aby sme vedeli spočítať rozdiel hybnosti Dimorpha pred a po zrážke a dať ho do podielu s pôvodnou hybnosťou DARTu, čo je kýžená účinnosť zrážky.

Budeme používať nasledovné označenia pre veličiny zo zadania: $m$ pre hmotnosť DARTu, $M_1$ pre hmotnosť Didyma, $M_2$ pre hmotnosť Dimorpha, $v = \SI{6500}{\metre\per\second}$ pre pôvodnú rýchlosť DARTu voči Dimorphovi, $P_0$ a $P_1$ pre pôvodnú a novú obežnú dobu a $a_0 = \SI{1165}{\metre}$ pre pôvodnú vzájomnú vzdialenosť asteroidov. Pre ďalšie veličiny budeme používať: $v_0$ pre rýchlosť DARTu v ťažiskovej sústave, $v_1$ a $v_2$ pre pôvodné rýchlosti asteroidov v ťažiskovej sústave a $v’_2$ pre novú rýchlosť Dimorpha v ťažiskovej sústave. Účinnosť zrážky teda je $$ \eta = \frac{M_2 (v_2 - v’_2)}{m v_0}. $$

Zo znalosti vzájomnej vzdialenosti $a_0 = \SI{1165}{\metre}$ spočítajme vzdialenosti $r_1$ a $r_2$ asteroidov od ťažiska pred zrážkou. Ťažisko nájdeme rovnako ako rovnováhu na páke, čiže máme dve rovnice $$ M_1 r_1 = M_2 r_2, \qquad r_1 + r_2 = a_0, $$ ktoré keď vyriešime, dostaneme vzdialenosti od ťažiska $$ r_1 = a_0 \frac{M_2}{M_1 + M_2}, \qquad r_2 = a_0 \frac{M_1}{M_1 + M_2}. $$ Pôvodná obežná rýchlosť Dimorpha v ťažiskovej sústave je jednoducho obvod kružnice vydelený periódou $$ v_2 = \frac{2 \pi r_2}{P_0} = \frac{2 \pi a_0 M_1}{P_0 (M_1 + M_2)}. $$ DART išiel rýchlosťou $v_0$ oproti Dimorphovi, takže sa čelne zrazili rýchlosťou $v = v_0 + v_2$. Teraz už ľahko vyjadríme $$ m v_0 = m(v - v_2) = m \left(v - \frac{2 \pi a_0 M_1}{P_0 (M_1 + M_2)}\right), $$ čo vystupuje vo výraze pre účinnosť zrážky.

Teraz nám už stačí len zrátať rýchlosť Dimorpha $v’_2$ po zrážke. Najprv zistime, akú bude mať veľkú polos $a_1$ elipsa, po ktorej bude obiehať Dimorphos po zrážke. Využijeme na to tretí Keplerov zákon $$ \frac{a_0^3}{P_0^2} = \frac{a_1^3}{P_1^2} \qquad\Rightarrow\qquad a_1 = a_0 \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^\frac{2}{3}. $$ To potrebujeme, aby sme to mohli dosadiť do rovnice vis-viva, čo je vlastne zákon zachovania energie. Jej presné znenie je $$ V^2 = G (m_1 + m_2) \left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right), $$ kde $V$ je aktuálna rýchlosť jedného telesa voči druhému, $m_1$ a $m_2$ sú ich hmotnosti, $r$ je ich aktuálna vzdialenosť, no a ak sa posadím na jedno z telies, to druhé budem vidieť, že obieha okolo telesa, na ktorom sedím, po elipse s veľkou polosou $a$. Je to to isté $a$, ktoré vystupuje aj v treťom Keplerovom zákone. V prípade pred zrážkou je vzájomná rýchlosť asteroidov $v_2 + v_1$¹ a pri pohybe po kružnici sú veľká polos $a_0$ a vzájomná vzdialenosť totožné. Preto pred zrážkou platí $$ (v_2 + v_1)^2 = G (M_1 + M_2) \left(\frac{2}{a_0} - \frac{1}{a_0}\right) \qquad\Rightarrow\qquad v_1 = \sqrt{\frac{G(M_1 + M_2)}{a_0}} - v_2. $$ V momente tesne po zrážke je vzájomná vzdialenosť stále $a_0$, ale Dimorphos spomalí na $v’_2$, a preto sa veľká polos zmení na už známe $a_1$. Z rovnice vis-viva teda máme $$ (v’_2 + v_1)^2 = G (M_1 + M_2) \left(\frac{2}{a_0} - \frac{1}{a_1}\right) \qquad\Rightarrow\qquad v’_2 = \sqrt{G (M_1 + M_2) \left(\frac{2}{a_0} - \frac{1}{a_1}\right)} - v_1. $$

Teraz už máme hotovo, pretože sme si vyjadrili všetko, čo potrebujeme. Účinnosť zrážky po dosadení všetkých vyjadrení veličín je $$ \eta = \frac{M_2 (v_2 - v’_2)}{m v_0} = \frac{M_2 \left(\sqrt{\frac{G(M_1 + M_2)}{a_0}} - \sqrt{G (M_1 + M_2) \left(\frac{2}{a_0} - \frac{1}{a_0}\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^\frac{2}{3}\right)}\right)} {m \left(v - \frac{2 \pi a_0 M_1}{P_0 (M_1 + M_2)}\right)} \doteq \num{3.81}. $$ To znamená, že účinnosť zrážky je $\SI{381}{\percent}$.

Pozorný čitateľ si určite povie: “Ale, ale, milý aströlóg, ako môže byť účinnosť vyššia ako $\SI{100}{\percent}$?” Nuž, účinnosť je len meno pre nejakú veličinu, ktorá nás v tejto úlohe zaujíma. Bežne poznáme účinnosť napríklad v zmysle, že účinnosť spaľovacieho motora je približne $\SI{30}{\percent}$. To znamená, že do nádrže natankujeme benzín, ktorého spálením sa uvoľní istá energia. Z nej len $\SI{30}{\percent}$ energie vieme premeniť na kinetickú energiu auta. Takáto účinnosť bude, samozrejme, vždy nižšia ako $\SI{100}{\percent}$, pretože zákon zachovania energie nepustí – auto nemôže z benzínu získať viac kinetickej energie ako sa dá získať jeho spálením. V tejto úlohe to je iné. DART odovzdá svoju hybnosť Dimophovi, ale pri zrážke vznikol kráter, z ktorého sa vymrštil materiál. No a keďže tento materiál odlieta smerom, z ktorého priletel DART, odnáša tým smerom nejakú hybnosť. Dimorphos teda spomalí nielen kvôli nárazu DARTu, ale navyše aj kvôli odlietavajúcemu materiálu, čo stojí za masívnou účinnosťou $\SI{381}{\percent}$.