Kubko sedí vo svojej vytunenej plechovke a zrýchľuje. Má síce ľubovoľne výkonný motor, ale znamená to, že môže zrýchliť na ľubovoľne veľkú rýchlosť?

Zo zadania vieme, že hmotnosť auta je $m$, efektívna čelná plocha $S$, koeficient aerodynamického odporu $C$ a koeficient trenia medzi gumou a asfaltom $f$. Aby sme popísali situáciu, v ktorej sa Kubkovo auto nachádza, pozrime sa na pôsobiace sily. Problematickou môže byť sila od motora, ktorý má podľa zadania ľubovoľný výkon. Môže nás to viesť k mylnému záveru, že pokým táto sila je zodpovedná za pohyb auta, potom by malo byť schopné zrýchľovať nad všetky medze.

V skutočnosti si treba položiť otázku, čo stojí za pohybom auta, a či je tento pohyb niečím limitovaný. Odpoveďou je trecia sila $F_t$, ktorá je na rozdiel od nášho motora obmedzená. Motor síce roztáča kolesá, ale aby sa auto pohlo dopredu, potrebuje treciu silu od podložky, ktorá pôsobí proti pohybu kolies, v smere jazdy auta. Aj keď máme ľubovoľný výkon, narazíme pri zvyšovaní rýchlosti na hornú hranicu trecej sily. Po jej prekročení nebude relatívna rýchlosť medzi podložkou a kolesom nulová, kolesá začnú prešmykovať a auto nebude schopné ďalej zrýchľovať.

Okrem trecej sily pôsobí v horizontálnom smere aj odporová sila $F_o$, ktorej veľkosť je priamo úmerná druhej mocnine rýchlosti, a pôsobí proti pohybu. Vo vertikálnom smere pôsobí gravitačná sila $F_G$, ktorou pôsobí na auto zem a v opačnom smere sila $N$, ktorou pôsobí na koleso podložka. Auto sa v tomto smere nepohybuje a tieto sily sa rovnajú, z čoho vyplýva, že $N = F_G = mg$.

Keď si to zhrnieme, pri pohybe auta vystupujú dve sily, trecia a odporová. Pohybová rovnica pre auto je potom $$ ma = F_t - F_o, $$ kde trecia a odporová sila sú $$ F_t = Nf = mgf \quad\text{a}\quad F_o = \frac{C \rho S v^2}{2}. $$

So zväčšujúcou sa rýchlosťou rastie kvadraticky odpor vzduchu a zrýchlenie auta sa zmenšuje. Pri maximálnej možnej rýchlosti dôjde k vyrovnaniu trecej a odporovej sily, kedy auto už nebude schopné zrýchľovať ($a = 0$) a ďalej sa bude pohybovať rovnomerne priamočiaro. Z tejto rovnosti si vieme vyjadriť maximálnu rýchlosť Kubkovho auta $$ F_o = F_t \quad\Rightarrow\quad \frac{C \rho S v^2}{2} = mgf \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2mgf}{C \rho S}}. $$

Riešenie sa vám môže podobať na známy výsledok hľadania terminálnej rýchlosti pri voľnom páde, kde vyjde $$ v = \sqrt{\frac{2mg}{C \rho S}}. $$

Táto podobnosť nie je náhodná. Keď sa hlbšie zamyslíme nad podstatou problému, všimneme si, že aj v našom prípade máme konštantú silu, ktorá tlačí auto dopredu a odporovú silu priamo úmernú druhej mocnine rýchlosti, ktorá pôsobí proti pohybu. Jediný rozdiel medzi naším výsledkom a dobre známou terminálnou rýchlosťou je konštanta $f$.