Zo všetkých strán počúvame, aká je v živote rovnováha dôležitá. A nebude tomu inak ani v tomto vzoráku. Avšak nebudeme tu rozoberať duševnú rovnováhu vďaka pobytu v prírode, ale rovnováhu termodynamickú.

Prvý postulát termodynamiky hovorí, že makroskopická sústava ponechaná napospas osudu vždy po určitom čase nadobudne stav termodynamickej rovnováhy. To je dôvodom, prečo je v turistickej útulni pred Jarovým príchodom rovnako chladno ako vonku. Čo by sa dialo, keby bola táto rovnováha porušená – napríklad tým, že sa vonku ochladí? Keďže steny útulne nie sú dokonalé tepelné izolanty, isté množstvo tepla by sa odovzdalo z útulne do okolia, až by nastala opäť rovnováha.

Prechod tepla cez steny, a vo všeobecnosti presun tepla v látke, popisuje veličina tepelný tok $q$. Tepelný tok vyjadruje množstvo tepla, ktoré prejde jednotkovou plochou za jednu sekundu. Inými slovami, jedná sa o výkon na plochu $q=\nicefrac{P}{S}$. Tepelný tok cez steny útulne je zrejme tým väčší, čím je rozdiel medzi teplotami vo vnútri a vonku väčší a čím sú steny tenšie. Pre jeho veľkosť platí $$ q = \frac{\lambda\Delta T}{h}, $$ kde $\lambda$ je súčiniteľ tepelnej vodivosti (materiálová konštanta), $\Delta T$ je rozdiel teplôt na opačných stranách steny a $h$ je hrúbka steny.¹

Tu okamžite vidíme, prečo všetko smeruje do stavu tepelnej rovnováhy. V stave tepelnej rovnováhy je totiž rozdiel teplôt medzi ľubovoľnými dvomi bodmi systému nulový, a z uvedeného vzťahu vidíme, že vtedy v systéme neexistujú žiadne tepelné toky, takže sa systém z tohto stavu nevie svojvoľne dostať.²

Čo sa však stane, keď Jaro vstúpi do útulne? Ako inak – túto rovnováhu naruší. Pred jeho príchodom neboli v útulni žiadne zdroje tepla. Teraz je tam on a hreje s výkonom $P_{\mathrm{in}}$. Ak by sa teplo z útulne stenami neodvádzalo, teplota v miestnosti by rástla zhruba lineárne s časom. Ako sme si už ale povedali, ak sa teplota vo vnútri zvýši, začne cez steny útulne unikať teplo. Čím viac teplota vo vnútri porastie, tým viac tepla bude cez steny unikať, čím sa nárast teploty spomalí, až sa pri dosiahnutí istého rozdielu teplôt $\Delta T$ zastaví. V tom momente platí, že koľko tepla za jednotku času Jaro vyprodukuje, toľko tepla unikne cez steny útulne von, teda $$ P_{\mathrm{in}}\stackrel{!}{=}qS=\lambda\frac{S}{h}\Delta T, $$ kde $S$ je celková plocha stien. Odtiaľ je hľadaný rozdiel teplôt $$ \Delta T = \frac{hP_{\mathrm{in}}}{\lambda S}. $$ Teraz nám už len zostáva odhadnúť potrebné veličiny a tento výraz vyčísliť.

S fyzickými rozmermi útulne nebude problém. Každý si vie nejakú tú útulňu predstaviť. Ak budeme uvažovať útulňu v tvare kvádra o rozmeroch $\SI[parse-numbers=false]{3\times2\times2}{\metre}$, dostaneme plochu $S=\SI{32}{\metre\squared}$.³ Hrúbka stien je rádovo $\SI{10}{\centi\metre}$. Ak je postavená z tenších dosiek, je to menej, ak z hrubších hranolov, je to viac, no ako rádový odhad je to dobrá hodnota. Ani s koeficientom tepelnej vodivosti nebude problém – ten je podľa wikipédie $\SIrange[range-phrase=-,range-units=single]{0.15}{0.42}{\watt\per\metre\per\kelvin}$.

Jediný problém môže byť s výkonom človeka. Tu ste už buď počuli, že človek hreje približne ako stowattová žiarovka, a máte vyhraté, alebo sa musíte trochu zamyslieť. Aby tej rovnováhy nadnes nebolo málo, môžeme ju použiť znova – tentokrát z pohľadu energetickej bilancie. Ak má byť človek v rovnováhe, t. j. ak si má udržiavať hmotnosť, musí platiť, že koľko energie prijme v podobe jedla, toľko musí vylúčiť. Pokiaľ človek nekoná prácu⁴, nelezie na horu, čím zvyšuje svoju potenciálnu energiu, alebo nejako inak nezvyšuje svoju mechanickú energiu, musí sa prijatá energia vylúčiť v podobe tepla. No a práve toto vyjadruje bazálny metabolizmus (BMR). Je to množstvo energie, ktorú telo spotrebuje za deň čisto len na zabezpečovanie životných funkcií. BMR sa líši od človeka k človeku. Na internete sa nachádza mnoho online kalkulačiek, pomocou ktorých si viete svoje BMR vypočítať. My budeme uvažovať BMR rovné $\SI{2000}{\kilo\calorie}$.⁵ Potom $$ P_{\mathrm{in}} \approx \frac{\SI{2000}{\kilo\calorie}}{\SI{24}{\hour}} = \frac{ \SI[parse-numbers = false]{2000 \cdot 4184}{\joule} }{ \SI[parse-numbers = false]{24 \cdot 3600}{\second} } \approx \SI{100}{\watt}. $$

Konečne hľadaný teplotný rozdiel je $$ \Delta T \approx \frac{\SI{0.1}{\metre}\cdot\SI{100}{\watt}}{\SI{0.3}{\watt\per\metre\per\kelvin} \cdot \SI{32}{\metre\squared}} \approx \SI{1}{\celsius}. $$

Samozrejme sa na tento výsledok treba pozerať v kontexte všetkých tých odhadov a priblížení. V skutočnosti to môže byť pol stupňa, dva stupne, či tri, no určite to nebude desať.

Na záver by sme sa mali zamyslieť, čo sme to vlastne vypočítali. Vypočítali sme teplotný rozdiel vo vnútri útulne a vonku v ustálenom stave. Mali by sme však overiť, či tento stav bude nadobudnutý v priebehu jednej noci. Aby k tomu došlo, musí buď Jaro vyprodukovať dostatok tepla na to, aby ohrial vzduch vo vnútri o jeden stupeň, alebo teplota vonku musela byť ráno aspoň o stupeň nižšia než večer.

Prvú podmienku ľahko overíme. Za čas $\tau$ Jaro vyprodukuje teplo $Q_{\mathrm{in}}=P_{\mathrm{in}}\tau$. Na zvýšenie teploty o $\Delta T$ je zas potrebné teplo $Q=mc\Delta T$, kde $m$ je hmotnosť vzduchu v miestnosti a $c$ je merná tepelná kapacita vzduchu pri stálom tlaku. Požadujeme teda, aby $$ P_{\mathrm{in}}\tau\stackrel{!}{\gg}V\varrho c\Delta T. $$

Už nám stačí len vyčísliť tieto výrazy. Pre $\tau = \SI{8}{\hour}$, $V = \SI{12}{\metre\cubed}$, $\varrho = \SI{1.3}{\kilo\gram\per\metre\cubed}$ a $c = \SI{1}{\kilo\joule\per\kilo\gram\per\kelvin}$ dostávame $\SI{2.88}{\mega\joule} \stackrel{!}{\gg} \SI{15.6}{\kilo\joule}$, čo je spoľahlivo splnené. A aj keby nebolo, dá sa očakávať, že druhá z dvojice požiadaviek splnená bude.