Čo pozoruje predátor?

Gazela si pokojne stojí pri napájadle a nerušene popíja vodu. Okrem toho vykonáva mnoho iných činností, napr. odráža svetlo zo Slnka alebo aj sama vyžaruje tepelné žiarenie. Budeme predpokladať, že sa išla napiť v noci (aby sme nemuseli uvažovať o vplyve slnečného svetla). Nič netušiaca gazela je z diaľky pozorovaná predátorom. Ako je možné, že ju vidí? Ako je zrejmé zo zadania, gazela emituje tepelné, teda infračervené žiarenie. Predátor má oko prispôsobené na jeho detekciu a keď ho zachytí, znamená to, že vidí potenciálnu korisť. Ak chcete vedieť, aké je zastúpenie jednotlivých vlnových dĺžok v žiarení gazely, veľmi dobrý je model žiarenia čierneho telesa, o ktorom toho na internete nájdete veľmi veľa.

Ako popísať svetlo?

Svetlo v tejto úlohe budeme považovať za vlny šíriace sa voľným priestorom rýchlosťou $c \approx \SI{300000}{\kilo\meter\per\second}$. Budeme predpokladať, že touto rýchlosťou sa šíri aj vo vzduchu (jeho absolútny index lomu je dostatočne blízky 1). Rôzne farby popíšeme rôznymi frekvenciami $f$, resp. vlnovými dĺžkami $\lambda$. Svetelnú vlnu si teda predstavíme tak, že ak spojíme priamkou zdroj (gazelu) a predátora, bude sa pozdĺž nej šíriť svetlo ako sínusoida daná predpisom $\sin \left(2 \pi \left(\frac{x}{\lambda} - \frac{t}{f}\right)\right)$, kde $x$ je vzdialenosť od gazely a $t$ čas, ako dlho sa vlna už šíri. Ako čelo vlny označme množinu bodov, kde táto funkcia nadobúda maximum. Rýchlosť svetla je rovnaká vo všetkých smeroch, čiže sa od gazely šíria sférické vlnoplochy. Mimochodom, čo to znamená, že svetlo sa pozdĺž priamky spojenej so zdrojom šíri ako sínusoida? V skutočnosti je možné v každom bode priestoru (a preto aj na priamke) zadefinovať vektor intenzity elektrického poľa. A práve tento vektor sa mení tak, ako keby opisoval sínus. Spolu s ním žije aj vektor magnetickej indukcie, ktorý je naň kolmý a správa sa podobne.

Vieme, že platí $$ \lambda = \frac{c}{f}, $$ teda že vlnová dĺžka je rovná vzdialenosti, ktorú svetlo s rýchlosťou $c$ prejde za čas $T = \frac{1}{f}$, pričom tento čas voláme perióda. Riešenie uvádzame pomocou vlnových dĺžok a veríme, že prepočet na frekvencie zvládnete, ak sa Vám s nimi počíta lepšie.

Klasický Dopplerov jav

Vysvetlenie Dopplerovho javu nájdete napr. na tomto odkaze (ide síce o šírenie zvuku, no rovnice vyzerajú úplne rovnako). Tento jav pozorujeme tak, že frekvencia, resp. vlnová dĺžka, ktoré sa medzi sebou dajú ľahko prepočítať, je iná pre pohybujúceho sa a stojaceho (vzhľadom na zdroj) pozorovateľa. V uvedenom riešení sa od stojaceho pozorovateľa pohybuje zdroj, teraz to bude naopak. Dá sa ukázať (dôkaz je triviálny a nechávame ho ako cvičenie čitateľovi), že v takom prípade bude pre vlnové dĺžky platiť $$ \lambda_P = \lambda_G \frac{c - v}{c}, $$ kde (a všade ďalej) dolný index $P$ označuje veličinu pozorovanú predátorom (teraz vlnovú dĺžku, ktorú vidí) a $G$ gazelou.

Infračervené žiarenie má vlnovú dĺžku od $\SI{700}{\nano\meter}$ do $\SI{1}{\milli\meter}$ (v niektorých učebniciach nájdete iné rozsahy, čo môže byť spôsobené tým, že autori ich neskôr použijú na niečo, kde im taký rozsah vyhovuje). Zelené svetlo má vlnové dĺžky $\SI{495}{\nano\meter}$ až $\SI{570}{\nano\meter}$. Pretože vlnové dĺžky infračerveného žiarenia sú väčšie, môžeme povedať, že $\SI{570}{\nano\meter}$ je už zelená a $\SI{700}{\nano\meter}$ je ešte infračervená. Rozmyslite si, že keby sme ich posunuli ďalej od seba, bude potrebná väčšia rýchlosť predátora, aby sa vlnová dĺžka dostatočne zmenila.

Zo vzťahu pre Dopplerov jav vyjadríme rýchlosť ako $$ v = \left(1 - \frac{\lambda_P}{\lambda_G}\right)c $$ a po dosadení zistíme, že $v \approx \SI{55700}{\kilo\meter\per\second}$. Súc šťastní z pekného výsledku, dvakrát ho podčiarkneme a so spokojnosťou ho vyhlásime za rýchlosť predátora. Možno nám napadne, že táto rýchlosť je veľmi veľká, no pri menších nepozorujeme, že by predmety menili farbu, keď sa pohybujeme, tak dáva zmysel, že výsledok je veľmi veľký.

Zamyslime sa ešte raz. Aká rýchlosť nám vyšla? $v \approx \num{0.186} c$, teda viac ako $\SI{18}{\percent}$ rýchlosti svetla! A to sa môže počítať pri takýchto rýchlostiach bez špeciálnej teórie relativity? Odpoveď získame, až keď to poriadne spočítame aj s ňou, hoci už teraz sa javí byť zvláštne, že nám vychádza relativistická rýchlosť z nerelativistického výpočtu.

Dilatácia času

obrázok 1: Svetelné hodiny

V špeciálnej teórii relativity platí dôležitý predpoklad: rýchlosť svetla je rovnaká pre každého pozorovateľa. Inými slovami, ktokoľvek sa na svetlo pozerá, musí uznať, že sa pohybuje rýchlosťou $c$.

Predstavme si, že na chodník položíme vedľa seba niekoľko rôznych typov hodín, napr. slnečné, digitálne, ručičkové… Ak ich považujeme za presné a dobre nastavené, zhodneme sa, že všetky ukazujú rovnaký čas, čiže akýkoľvek typ hodín použijeme, mali by čas merať rovnako dobre (ako hodiny môžeme použiť ľubovoľný pravidelný jav). Takže fungovať budú aj tzv. svetelné hodiny. Vyzerajú ako dve rovnobežné zrkadlá (predstavte si, že jedno leží na zemi) umiestnené vo vzájomnej vzdialenosti $L$, medzi ktorými sa kolmo odráža svetlo. Pri každom “dotyku svetla” so zrkadlom hodiny pípnu a pomocou týchto pípnutí môžeme merať čas, lebo sú pravidelné.

Teraz si predstavme veľmi rýchleho trpaslíka, ktorý sa vezie konštantnou rýchlosťou $v$ električkou popri chodníku s hodinami. Čo vidí? Vidí, ako sa svetlo odráža hore a dolu. Lenže on sa hýbe, takže sa mu zdá, že svetlo nejde kolmo na zem, ale že je jeho dráha medzi pípnutiami sklonená (napr. keby na okno električky nakreslil štvorčekovú mriežku a zakresľoval do nej polohu svetla, nech už to znamená čokoľvek, pohybovalo by sa nie len hore a dolu, ale aj opačným smerom ako električka).

Povedzme, že medzi dvomi pípnutiami hodín meranými z chodníka uplynie čas $T$, t. j. $L = cT$. Trpaslík z električky nameria $T’$. Rovnajú sa tieto časy? Nezabúdajme, že rýchlosť svetla sa nezmení tým, že nastúpime do dopravného prostriedku.

Z Pytagorovej vety dostaneme $$ cT’ = \sqrt{\left(v T’\right)^2 + L^2} = \sqrt{\left(v T’\right)^2 + \left(c T\right)^2}. $$ Po pár úpravách máme $$ T’^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = T^2, $$ z čoho vidíme, že $$ T’ = T\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma T. $$ Číslo v menovateli je menšie ako 1, teda faktor $\gamma > 1$, preto $T’ > T$.

Čo sme to dostali? Trpaslík pohybujúci sa vzhľadom na hodiny tvrdí, že časový interval odmeraný v pokoji je z jeho pohľadu dlhší, takže čas mu v električke (alebo v sústave spojenej s električkou) plynie pomalšie. A to sme dostali z predpokladu, že rýchlosť svetla je všade rovnaká, takže sa s týmto zvláštnym výsledkom musíme zmieriť.

Relativistický Dopplerov jav

obrázok 2: Odvodenie Dopplerovho javu

Odvodenie bude urobené vo vzťažnej sústave gazely, ktorá, pijúc čerstvú vodu, prehlási, že emituje žiarenie s vlnovou dĺžkou $\lambda_G = c T_G$.

Čo na to predátor? Ak by stál na mieste, s gazelou by súhlasil, avšak on sa k nej približuje, preto tvrdí, že medzi dvomi čelami vĺn bola iná vzdialenosť, konkrétne $$ \lambda_P = c T_P - v T_P = (c - v) T_P. $$ Poznamenajme, že $T_P$ je čas meraný predátorom (má so sebou hodinky a pozerá sa na ne). My už vieme, že plynie pomalšie, než čas gazely (ak gazela nameria na svojich hodinkách čas $\SI{1}{\second}$, predátor medzi tiknutiami jej hodín nameria viac). Počítame $$ \lambda_P = (c - v) \gamma T_G = (c - v) \gamma \frac{\lambda_G}{c} = \lambda_G \frac{c - v}{c \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \lambda_G \frac{c - v}{\sqrt{c^2 - v^2}}. $$ Použijúc známy vzťah pre rozdiel dvoch druhých mocnín máme $$ \lambda_P = \lambda_G \frac{c - v}{\sqrt{(c - v) (c + v)}} = \lambda_G \sqrt{\frac{c - v}{c + v}}. $$ Tento vzťah môžeme z estetických dôvodov upraviť na $$ \lambda_P = \lambda_G \sqrt{\frac{1 - \frac{v}{c}}{1 + \frac{v}{c}}}. $$

Číslo v menovateli je väčšie ako 1 a v čitateli menšie ako 1, takže to vyzerá, že naša snaha bola úspešná (dostali sme správania, aké sme čakali). Keby $v = 0$, výraz pod odmocninou bude rovný 1, takže vlnové dĺžky sa nezmenia, čo sme opäť čakali. Ešte konštatujme, že po pár úpravách prenechaných čitateľovi zistíme, že $$ v = c \frac{1 - \left(\frac{\lambda_P}{\lambda_G}\right)^2}{1 + \left(\frac{\lambda_P}{\lambda_G}\right)^2} $$ a po dosadení $v \approx \SI{61000}{\kilo\meter\per\second}$, čo je asi $\SI{20}{\percent}$ rýchlosti svetla. Už len poznamenajme, že ako sme aj uviedli vyššie, toto je minimálna rýchlosť, ktorou sa predátor musí pohybovať, aby bola šanca, že aspoň nejaké infračervené žiarenie uvidí ako zelené. Je tiež zrejmé, že tento výsledok sa nezanedbateľne líši od predchádzajúceho nerelativistického výpočtu, čo je dôvod, prečo ho nemôžeme považovať za správny.

Wienov posunovací zákon

Ako doplňujúcu informáciu uvádzame, že odhad vlnovej dĺžky nebol ideálny. Síce bude v spektre zastúpená s nenulovou pravdepodobnosťou, ale nebude veľmi výrazná. Ak chceme určiť vlnovú dĺžku žiarenia vyžarovaného s najväčšou spektrálnou hustotou, môžeme použiť Wienov zákon $$ \lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}, $$ kde $b = \SI{2.898}{\milli\meter\kelvin}$ je Wienova konštanta a $T$ termodynamická teplota, ktorú vieme odhadnúť na $\SI{310}{\kelvin}$, teda $\lambda_{\text{max}} \approx \SI{9}{\micro\meter}$, z čoho vyplýva, že predátor by sa musel pohybovať rýchlosťou väčšou než $\SI{99}{\percent}$ rýchlosti svetla, aby videl maximum posunuté do zelenej časti spektra. Wienov zákon hovorí o tom, ktorá vlnová dĺžka je najviac zastúpená v spektre absolútne čierneho telesa s teplotou $T$.