Uvažujme, že Mesiac obieha okolo Zeme po kruhovej orbite vo vzdialenosti $d \approx \SI{3.84e5}{\kilo\metre}$, ktorá je voči ekliptike sklonená pod uhlom $\alpha \approx \ang{5}$. K zatmeniu Slnka a Mesiaca môže dochádzať len v prípadoch, keď všetky tri telesá ležia na jednej priamke, alebo nanajvýš vychýlené od nej o nejaký malý uhol. Uvážiac naklonenosť orbity Mesiaca, je zrejmé, že k zatmeniam možno dochádzať len v miestach, kde orbita Mesiaca pretína ekliptiku, resp. v blízkosti týchto miest. Tieto body sú dva a nazývajú sa uzly. Ich spojnicou je uzlová priamka.

obrázok 1: Orbita Mesiaca voči ekliptike

K zatmeniu Mesiaca dochádza, keď celý Mesiac vojde do tieňa Zeme. K zatmeniu Slnka na nejakom mieste Zeme dochádza vtedy, keď Mesiac prejde popred Slnko a vrhne svoj tieň na toto miesto na Zemi. Úlohu teda možno transformovať na to, o aký najväčší uhol od uzlovej priamky sa môže Mesiac vzdialiť, aby sa ešte mohol celý dostať do tieňa Zeme, resp. aby mohol vrhnúť svoj tieň niekam na povrch Zeme.

Označme si uhol meraný od uzlovej priamky v rovine orbity Mesiaca $\varphi$. Očakávame, že k zatmeniam bude dochádzať len v blízkosti uzlovej priamky, preto tento uhol bude malý. Rovnako malý je aj sklon orbity Mesiaca voči ekliptike, preto nám nič nebude brániť používať priblíženia $\sin\chi \approx \tan\chi \approx \chi$ a $\cos\chi \approx 1$. Ak je Mesiac vzdialený od uzlovej priamky o uhol $\varphi$, od uzla je potom vzdialený $d\varphi$ a leží vo výške približne $d\varphi\alpha$ nad rovinou ekliptiky. Uhol medzi ekliptikou a sprievodičom Mesiaca je vtedy približne $\vartheta \approx \frac{d\varphi\alpha}{d} = \varphi\alpha$.

obrázok 2: Zatmenie Mesiaca pri najväčšom možnom odklone $\phi$

Nech $\phi$ je maximálny uhol, pri ktorom môže dôjsť k zatmeniu Mesiaca, a nech tomuto uhlu zodpovedá uhol $\theta$. V tejto situácii majú Slnko, Zem a Mesiac spoločnú dotyčnicu, ktorá je voči ekliptike sklonená pod uhlom $\beta$. Označme polomery Mesiaca, Zeme a Slnka postupne $\rho$, $r$ a $R$ a vzdialenosť Zeme od Slnka $D$. Potom z geometrie situácie zobrazenej na obrázku možno písať $$ \begin{aligned} \sin\left(\beta + \theta\right) &= \frac{r - \rho}{d}; \ \sin\beta &= \frac{R - r}{D}. \end{aligned} $$ V priblížení malých uhlov $$ \begin{aligned} \beta + \theta & \approx \frac{r - \rho}{d}; \ \beta & \approx \frac{R - r}{D}, \end{aligned} $$ odkiaľ $$ \theta \approx \frac{r - \rho}{d} - \frac{R - r}{D}. $$

obrázok 3: Najmenší odklon $\Phi$, pri ktorom už nemôže dôjsť k zatmeniu Slnka

Teraz nech $\Phi$ je maximálny uhol, pri ktorom môže dôjsť k zatmeniu Slnka, a nech tomuto uhlu zodpovedá uhol $\Theta$. Aj v tejto situácii majú Slnko, Zem a Mesiac spoločnú dotyčnicu, no rozdiel je v usporiadaní telies (Mesiac je uprostred) a v tom, že Zem leží na opačnej strane tejto dotyčnice než zvyšné dve telesá. Nech sklon dotyčnice voči ekliptike je $\gamma$ a nech pretína sprievodič Mesiaca pod uhlom $\delta$. Potom z geometrie situácie zobrazenej na obrázku možno písať $$ \begin{aligned} \frac{R}{\sin\gamma} + \frac{r}{\sin\gamma} &= D; \ \frac{r}{\sin\delta} + \frac{\rho}{\sin\delta} &= d, \end{aligned} \qquad\Rightarrow\qquad \begin{aligned} \sin\gamma &= \frac{R + r}{D}; \ \sin\delta &= \frac{r + \rho}{d}. \end{aligned} $$ Potom pre hľadaný uhol $\Theta$ platí $$ \Theta = \left(\pi - \gamma\right) - \left(\pi - \delta\right) = \delta - \gamma = \arcsin\frac{r + \rho}{d} - \arcsin\frac{R + r}{D} \approx \frac{r + \rho}{d} - \frac{R + r}{D}. $$

K zatmeniu Mesiaca môže dôjsť len vtedy, keď je Mesiac vychýlený nanajvýš o uhol $\phi$ od niektorého z uzlových bodov, teda len v časti $\frac{4\phi}{2\pi}$ jeho orbity. Analogicky k zatmeniu Slnka môže dôjsť iba v časti $\frac{4\Phi}{2\pi}$ orbity Mesiaca. Keďže Mesiac sa po orbite pohybuje konštantnou uhlovou rýchlosťou a Slnko môže s rovnakou pravdepodobnosťou svietiť z ľubovoľného smeru v rovine ekliptiky, pomer početností zatmení Slnka a Mesiaca bude rovný pomeru veľkostí častí orbity Mesiaca, na ktorých môže dôjsť k týmto zatmeniam, teda $$ p = \frac{\Phi}{\phi} \approx \frac{\alpha\Theta}{\alpha\theta} \approx \frac{\frac{r + \rho}{d} - \frac{R + r}{D}}{\frac{r - \rho}{d} - \frac{R - r}{D}} = \frac{D\left(r + \rho\right) - d\left(R + r\right)}{D\left(r - \rho\right) - d\left(R - r\right)}. $$ Pre $D \approx \SI{1.5e8}{\kilo\metre}$, $d \approx \SI{3.84e5}{\kilo\metre}$, $R \approx \SI{7.e5}{\kilo\metre}$, $r \approx \SI{6.4e3}{\kilo\metre}$ a $\rho \approx \SI{1.74e3}{\kilo\metre}$ dostávame, že k zatmeniu Slnka (úplnému alebo prstencovému) dochádza na Zemi v priemere $p \approx \num{2.2}$-krát častejšie než k úplnému zatmeniu Mesiaca.