Začnime tým, že si zakreslíme všetky sily pôsobiace na valec do obrázka. Tiažovú silu $F_g$ rozložíme na $F_1 = F_g \sin{\alpha}$ a $F_2 = F_g \cos{\alpha}$.

obrázok 1: Sily pôsobiace na valec

Ako prvý prípad uvažujme situáciu, keď je trenie nulové, t. j. $F_t = \SI{0}{\newton}$. Potom pohybová rovnica v smere pohybu (dole po naklonenej rovine) je $$ ma = mg\sin{\alpha}. $$ V takejto situácii na valec nepôsobí žiadna sila, ktorá by spôsobovala jeho rotáciu (mala nenulový moment), a teda sa valec len šmýka smerom dole so zrýchlením $a = g\sin{\alpha}$.

Uvažujme ďalej treciu silu $F_t$, ktorá pôsobí proti pohybu. Veľkosť tejto sily je $$ F_t = fN, $$ kde $N$ je normálová sila od naklonenej roviny a jej veľkosť je $N = F_2 = mg\cos{\alpha}$, takže $$ F_t = fmg\cos{\alpha}. $$ Pohybová rovnica v smere naklonenej roviny preto bude $$ ma = F_1 - F_t = mg\sin{\alpha} - fmg\cos{\alpha} \qquad\Implies\qquad a = g\sin{\alpha} - fg\cos{\alpha}. $$ V tomto prípade ale na valec už pôsobí trecia sila vo vzdialenosti $R$ od jeho osi otáčania, čoho dôsledok je moment sily $\tau = F_t R\sin{\beta} = fmg\cos{\alpha}$, kde $\beta$ je uhol medzi polomerom a silou $F_t$. Keďže sú na seba kolmé ($\beta = \ang{90}$), tak $\tau = F_t R$. Momentová pohybová rovnica teda bude $$ I\epsilon = \tau = fmgR\cos{\alpha}, $$ kde $I = mR^2$ je moment zotrvačnosti dutého valca a $\epsilon$ je uhlové zrýchlenie. Po dosadení a vyjadrení $\epsilon$ dostaneme $$ \epsilon = \frac{fg\cos{\alpha}}{R}. $$

Zatiaľ sme vyriešili len situáciu bez trenia – vtedy sa valec len šmýka smerom dole a nekotúľa sa. Akonáhle však uvažujeme aj trenie, valec okrem šmýkania už aj rotuje. Nás zaujíma, kedy sa prestane šmýkať úplne, teda kedy sa jeho translačný a rotačný pohyb zladia tak, že bod valca, ktorý sa dotýka podložky, má nulovú rýchlosť (resp. nebude prešmykovať). Táto situácia nastane vtedy, keď sa veľkosť translačnej rýchlosti rovná veľkosti obvodovej rýchlosti, teda keď $v = \omega R$. Skúsme teda vypočítať, pre aký koeficient trenia $f$ bude táto podmienka splnená.

Keďže aj zrýchlenie $a$ aj uhlové zrýchlenie $\epsilon$ sú konštanty, rýchlosť a uhlovú rýchlosť dostaneme jednoducho tak, že zrýchlenia vynásobíme časom. Tieto rýchlosti potom sú $$ v = at = gt\sin{\alpha} - fgt\cos{\alpha}, $$ a $$ \omega = \epsilon t = \frac{fg\cos{\alpha}}{R}t. $$

Z podmienky pre čisto rotačný pohyb $v = \omega R$ dostaneme $$ gt\sin{\alpha} - fgt\cos{\alpha} = fgt\cos{\alpha}. $$ A po úprave $$ f_1 = \frac{1}{2}\tan{\alpha} \approx \num{0.289}. $$

Pokiaľ je $f = 0$, valec sa po položení na naklonenú rovinu začne šmýkať dole. Ak $0 < f < f_1$, valec sa začne šmýkať, ale zároveň aj roztáčať, ale nikdy nedosiahne také hodnoty $v$ a $\omega$, aby sa len kotúľal. Ak je $f \geq f_1$, valec sa nebude vôbec šmýkať, bude sa už len kotúľať.