Kubo na povale našiel vyťahanú pružinu s nulovou pokojovou dĺžkou. Zistil, že sa už nespráva ako obyčajná pružina, ale existujú pre ňu parametre $d$ a $k$ také, že
pre vychýlenia $x$ s $|x| < d$ pôsobí na teleso sila $0$,
pre $x \ge d$ pôsobí sila $F = -k(x - d)$,
pre $x \le -d$ pôsobí sila $F = -k(x + d)$.
Jeden koniec pružinky priklincoval zhora na vodorovný stôl, k druhému koncu pripevnil teleso s hmotnosťou $m$ a vychýlil ho na $x = D > d$ vo vodorovnom smere. Aká bude perióda pohybu telesa na tejto pružine? Trenie medzi stolom a telesom neuvažujte.
Perióda hmotného bodu na bežnej pružinke s nulovou pokojovou dĺžkou je $$ T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}. $$
Zo zadania vieme, že pružinka v tejto úlohe sa správa rovnako, ako bežná pružinka, práve vtedy, keď veľkosť jej výchylky je väčšia alebo rovná $d$. Pre veľkosť výchylky menšiu ako $d$ pružina nepôsobí žiadnou silou.
To znamená, že po vychýlení na $x = D$ vieme pohyb počas jednej periódy rozdeliť na tri časti. Konkrétne na tri nasledujúce intervaly:
$x \in \left
$x \in \left(-d, d\right)$ – na hmotný pod nepôsobí žiadna sila, takže sa celý čas pohybuje rovnakou rýchlosťou.
$x \in \left<-D, -d\right>$ – závažie zrýchľuje[^1] v dôsledku sily $F = -k(x + d)$.
Keďže na prvom a treťom intervale sa pružinka správa rovnako, ako bežná pružinka s nulovou pokojovou dĺžkou, perióda kmitania na týchto dvoch intervaloch bude rovnaká, ako $T_1$, ktoré už bolo spomenuté vyššie.
Na druhom intervale sa ale závažie pohybuje rovnomernou rýchlosťou, čo znamená, že k $T_1$ musíme ešte pripočítať čas, ktorý bude závažiu trvať dostať sa z $x = d$ do $x = -d$ a naspäť (perióda je pohyb tam aj späť). Skúsme teda vypočítať rýchlosť, ktorou závažie na tomto úseku pôjde. To spravíme jednoducho pomocou zákona zachovania energie. V $x = D$ má závažie nulovú rýchlosť, takže aj nulovú kinetickú energiu. Preto celková energia pre $x = D$ bude len potenciálna energia pružinky $$ E_D = \frac{1}{2}k(D - d)^2. $$ Naopak, v bode $x = d$ má závažie maximálnu rýchlosť, teda maximálnu kinetickú energiu, ale pružina nulovú potenciálnu energiu. Celková energia v bode $x = d$ teda bude $$ E_d = \frac{1}{2}mv^2. $$ Zo zákona zachovania energie dostaneme $$ E_D = E_d \qquad\Implies\qquad \frac{1}{2}k(D - d)^2 = \frac{1}{2}mv^2, $$ odkiaľ vieme vyjadriť $v_0$ ako $$ v = (D - d)\sqrt{\frac{k}{m}}. $$
Teraz zostáva už len vypočítať čas $t$, za ktorý sa závažie dostane z $x = d$ do $x = -d$, čo spravíme jednoducho ako $$ t = \frac{2d}{D - d}\sqrt{\frac{m}{k}}. $$ Závažie však za jednu periódu prejde túto vzdialenosť $2d$ dvakrát, takže celková perióda bude $$ T = T_1 + 2t = \sqrt{\frac{m}{k}}\left(2\pi + \frac{4d}{D - d}\right). $$