3. Úloha na rozptýlenie
Zadanie
Matúš sedel raz na prednáške z Kvantovej teórie II a už druhý týždeň počúval o kvantovom rozptyle. Už si začínal myslieť, že to bude ďalšia klasická prednáška, keď tu zrazu prednášajúci vytiahol obrovskú vodorovnú drevenú dosku. Doska mala v strede miesto na pripevnenie rôznych terčíkov, ktoré vidíte na obrázku (pohľad zhora). Na dosku sú pripevňované rovnako natočené ako na obrázku. Po pripevnení bolo možné terčík ostreľovať kovovými guľôčkami. Ostreľovanie realizujeme tak, že trajektórie tvoria zväzok rovnobežných, náhodne od seba vzdialených priamok. Na okraji dosky bolo 36 priehradiek, v ktorých sa guľôčky po zrážke zachytávali. Priehradka 1 zachytávala guľôčky odrazené pod uhlom $[\ang{0};\ang{10}]$, priehradka 2 pod $[\ang{10};\ang{20}]$, až posledná zachytávala uhly $[\ang{350};\ang{360}]$. Náčrt zrážky je vyobrazený na obrázku.
obrázok 1: Vľavo: rôzne terčíky. Vpravo: náčrt
zrážky.
Študenti postupne vystriedali všetky terčíky, pričom vždy ich upevnili tak, že guľôčky narážali zľava. Každý terčík následne ostrelili 100 guľôčkami a nakoniec zapísali počty guľôčok ktoré skončili v priehradkách. Brali do úvahy vždy len tie, ktoré do terčíka narazili a odrazili sa do niektorej z priehradiek 1 až 18.
Vyšli im výsledky, ktoré vidíte na grafe. Fyzikálne odargumentujte, ktoré rozptylové centrum má ktorý výsledok.
obrázok 2: Výsledky pre rôzne terčíky
Hneď pri prvom pohľade si uvedomíme, že pre terčíky 1), 2) a 3) vieme pomocou geometrie presne zrátať, kam sa guľôčky odrazia. Ak teraz uvážime, že pre zrážku guľôčok platí rovnosť uhla dopadu a odrazu, dostaneme situáciu ako na obrázku 1. Z toho usúdime, že v prípade 1) guľôčka zmení smer o uhol $2 \cdot \ang{42} = \ang{84}$. V prípadoch 2) a 3) prvým odrazom zmení uhol o $2\alpha$ a druhým o $2(\ang{90} - \alpha)$. Teda v oboch prípadoch spolu o $\ang{180}$. Preto prvé tri dvojice sú 1) – e, 2) – d, 3) – d.
obrázok 1: Geometria zrážok s terčíkmi 1), 2) a
3)
Zvyšné tri prípady nevieme presne spočítať len pomocou stredoškolských znalostí fyziky, keďže guľôčky sa zrejme budú odrážať pod rôznymi uhlami, v závislosti od toho, kde do elipsy narazia[^1]. Pri všetkých troch možnostiach je zmysluplné očakávať, že nejaké guľôčky sa o terčík len tesne ošuchnú, a teda ich smer sa príliš nezmení. Tie skončia v priehradke s nízkym číslom. Rovnako ale očakávame, že guľôčka idúca takmer presne na stred terčíka sa odrazí naspäť. Takéto guľôčky naopak skončia v priehradkách s vysokým číslom 16, 17, 18. Prípady d a e môžeme teda spokojne vylúčiť. Tým ostávajú možnosti
-
a – viac sa odrazí pod väčším uhlom,
-
b – najviac sa odrazí do priehradky 5 a 6,
-
c – viac sa odrazí pod väčším uhlom ale strmšie,
-
f – odráža sa to symetricky a najviac pod uhlom približne $\ang{90}$.
Keď sa zamyslíme nad rozdielom medzi terčíkmi 4), 5) a 6) dôjdeme k záveru, že sú vlastne úplne rovnaké, až na ich sploštenie. Pre veľmi sploštený terčík 5) je teda menšia šanca, že guľôčka radikálne zmení svoj smer, než v prípade zvyšných dvoch terčíkov. Naopak, najväčšiu šancu odraziť guľôčku naspäť má terčík 6), lebo má najväčšiu plochu pripomínajúcu rovnú stenu. Pre terčík 4) môžeme povedať akurát toľko, že jeho výsledok bude na polceste medzi výsledkami pre 5) a 6). Tieto myšlienky sú zhrnuté v obrázku nižšie.
obrázok 2: Kvalitatívne porovnanie rozptylu na terčíkoch 4),
5) a 6)
Na základe týchto úvah vieme určiť dvojice 4) – a, 5) – b a 6) – c. Výsledok f teda nepatrí ani jednému terčíku. To sme mohli tušiť skôr, nakoľko výsledok f má symetriu, no žiadny terčík danú symetriu nemá.