Našou úlohou je zmerať, koľko energie sa disipuje, teda premení na inú formu, napríklad teplo, pri spustení sa z kopca na bicykli. Zamyslime sa najprv, aké energie má bicykel na vrchu kopca a na jeho spodku. Na vrchu má určite potenciálnu energiu. Tá sa mení na kinetickú tým, že naberáme rýchlosť. Okrem toho máme rotačnú energiu kolies, tú si však dovolíme zanedbať, keďže kinetická bicykla, na ktorom sedí človek je oveľa väčšia v porovnaní s ňou.

Aby sme zistili koľko energie sa disipuje, odčítame energiu na konci od energie na začiatku, a rozdiel je práve energia, ktorá sa premenila na iné formy. Teda odčítame od seba potenciálnu energiu na vrchu kopca (potenciálnu vzhľadom na spodok kopca) a kinetickú na konci kopca $$ E_p - E_k = mgh - \frac{1}{2}mv^2 = m(gh - \frac{1}{2}v^2). $$ Aby sme toto vedeli vypočítať, potrebujeme vedieť hmotnosť $m$ (bicykel + človek) – tú musíme zmerať, $g$ – to je konštanta, prevýšenie $h$, to zmeráme a rýchlosť na konci kopca, ktorú tiež musíme zmerať.

Máme teda tri veličiny, ktoré máme zmerať, tak poďme na to. Začnime s prevýšením. Prevýšenie by sa dalo zmerať sklonom kopca a jeho dĺžkou, ale použijeme radšej inú metódu. Využijeme barometer. Nebudeme ho však meniť s miestnymi za informáciu o prevýšení, keďže svoj barometer máme radi, ale radšej zmeriame prevýšenie pomocou barometrickej rovnice $$ p = p_0 e^{-\frac{\rho_0 g \FDiff{h}}{p_0}}, $$ kde $p_0$ je začiatočný tlak, $\rho_0$ je hustota vzduchu, $\FDiff{h}$ je rozdiel výšok a $p$ je tlak. Z toho vyjadríme výšku $$ \FDiff{h} = \frac{p_0}{\rho_0 g} \ln\left(\frac{p_0}{p}\right). $$ Hustotu vieme vďaka rovnici ideálneho plynu nahradiť $\rho_0 = \frac{p_0}{RT}$, kde $R$ je univerzálna plynová konštanta a $T$ je teplota (teplotný rozdiel zanedbávame), čím dostaneme $$ \FDiff{h} = \frac{RT}{g} \ln\left(\frac{p_0}{p}\right). $$

Pri malých výškových rozdieloch, ako tu, je $\frac{RT}{g}$ konštanta (uvažujeme, že teplota sa nám pri malom prevýšení nemení), mení sa nám iba tlak. Náš barometer si zapamätá počiatočný tlak a každú sekundu nám vypíše aktuálnu výšku po dosadení aktuálneho tlaku do rovnice. Ako barometer použijeme BMP280 senzor napojený na esp32. Zariadenie sme zapli na spodku kopca, čím sme nastavili začiatočný tlak $p_0$, potom sme vyšli do výšky, odkiaľ sa spúšťame, a nechali sme zariadenie merať 45 hodnôt. Priemerne nám vyšiel výškový rozdiel $\SI{16.34}{\metre}$ so smerodajnou odchýlkou $\SI{0.09}{\metre}$.

To by sme mali výškový rozdiel, poďme na meranie rýchlosti. Na to použijeme bicykel s tachometrom. Vyjdeme na vrch kopca, vždy na to isté miesto, v tomto prípade sa orientujeme pomocou stĺpu na vrchu kopca. Zdvihneme nohy a ideme dolu. Keď prejdeme okolo stĺpu na konci kopca, za obchodom remeselník, pozrieme sa na tachometer, zapamätáme si hodnotu, zastavíme a zapíšeme. Spustíme sa takto 10 krát. Odchýlku merania pri vzdialenosti na začiatku a na konci si dovolíme zanedbať, keďže rýchlosť na konci kopca je už vcelku ustálená a nemení sa veľmi výrazne. Tu sú naše namerané hodnoty v $\si{\kilo\metre\per\hour}$.

Prepočet do $\si{\metre\per\second}$ dá $\SI{45.8}{\kilo\metre\per\hour} \pm \SI{0.6}{\kilo\metre\per\hour} = \SI{12.72}{\metre\per\second} \pm \SI{0.17}{\metre\per\second}$.

Ostáva nám zmerať už iba hmotnosť. Tú zmeriame klasickými váhami, bicykel cez závesnú digitálnu váhu, to nám vyšlo $\SI{26.46 \pm 0.01}{\kilo\gram}$. Váhu človeka zmeriame klasickou váhou, bolo to $\SI{94.2 \pm 0.1}{\kilo\gram}$.

A máme všetky merania za nami, môžeme ísť rátať to, čo chceme – koľko energie sa disipovalo. To zistíme rozdielom potenciálnej energie na začiatku a kinetickej na konci. Takže tak, ako sme ukázali na začiatku, chceme vypočítať $$ E_p - E_k = m\left(gh - \frac{1}{2}v^2\right). $$ Dosaďme naše čísla $m = (m_c + m_b) = (\SI{94.2}{\kilo\gram} + \SI{26.46}{\kilo\gram})$, $g = \SI{9.81}{\metre\per\second\squared}$, $h = \SI{16.34}{\metre}$, $v = \SI{12.72}{\metre\per\second}$. Vyjde nám $$ E_p - E_k = (\SI{94.2}{\kilo\gram} + \SI{26.46}{\kilo\gram}) \left(\SI{9.81}{\metre\per\second\squared} \cdot \SI{16.34}{\metre} - \frac{(\SI{12.72}{\metre\per\second})^2}{2}\right) = \SI{9579.95}{\joule}. $$

Takýto výsledok nám však nestačí, lebo nám nehovorí o riešení všetko, čo by sme chceli vedieť. Nevieme totižto presnosť riešenia, kľudne to môže byť niečo medzi $\SI{4}{\kilo\joule}$ až $\SI{14}{\kilo\joule}$ alebo $\SI{9}{\kilo\joule}$ až $\SI{10}{\kilo\joule}$, nevieme. Preto ešte musíme spracovať naše odchýlky pri meraní. Na to použijeme postup šírenia chýb, dočítať o ňom sa dá napríklad v tomto vzoráku.

Poďme na tie chyby postupne. Celková chyba pri súčte hmotností je súčet ich absolútnych chýb, teda $\SI{0.1}{\kilogram} + \SI{0.01}{\kilo\gram} = \SI{0.11}{\kilogram} \approx \SI{0.1}{\kilogram}$. Keď máme rýchlosť na druhú, relatívna chyba (nie absolútna) sa násobí umocňovateľom, teda: $R_{err}= \frac{0.17}{12.72} \cdot 2 = \SI{2.7}{\percent}$ (to je chyba z $\frac{1}{2} v^2$). Teraz môžeme ísť na celé vnútro druhej zátvorky, tam sčítavame (resp. odčítavame) dve veličiny, pričom každá má určitú chybu, teda akurát sčítame ich absolútne odchýlky. Súčin $hg$ má absolútnu odchýlku ako $g$-násobok absolútnej odchýlky prevýšenia, čiže $\SI{9.81}{\metre\per\second\squared} \cdot \SI{0.09}{\metre} = \SI{0.88}{\metre\squared\per\second\squared}$, absolútna odchýlka polovice rýchlosti na druhú je $0.027 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\SI{12.72}{\metre\per\second})^2 = \SI{2.18}{\metre\squared\per\second\squared}$ ich súčet je $\SI{3.06}{\metre\squared\per\second\squared}$. Toto nám už iba stačí vynásobiť hmotnosťou, a máme to. Pri násobení chýb sčítavame relatívne odchýlky. Teda $\frac{0.1}{120.7} + \frac{3.06}{79.4} = \SI{3.9}{\percent}$. To je naša celková relatívna chyba. Keď chceme absolútnu, je to $0.039 \cdot \SI{9579.95}{\joule} = \SI{377.1}{\joule}$. Takže nám vyšiel výsledok $\SI{9580 \pm 377.1}{\joule}$.

Odchýlka nám vyšla na úrovni $\SI{3.9}{\percent}$ čo je akceptovateľné pri takomto meraní. Zistili sme, že pri jednom spustení sa stratí až $\SI{9}{\kilo\joule}$ energie, ktorá sa uvoľní vo forme tepla, kvôli pôsobeniu odporových síl. Celková potenciálna energia na vrchu kopca je $E_p = mgh = \SI{116.4}{\kilogram} \cdot \SI{9.81}{\metre\per\second\squared} \cdot \SI{16.34}{\metre} \approx \SI{19}{\kilo\joule}$, takže sa stratí až polovica energie len kvôli nedokonalosti sveta. Patrilo by sa ešte spomenúť, kde sa táto energia disipuje. Disipuje sa vo forme tepla pri trení bicykla o zem, vnútorného trenia bicykla napríklad v ložiskách, alebo eko energia, ktorú prijme okolitý vzduch.

Takéto riešenie by však dostalo 0 bodov, chýba nám v ňom podstatná časť – obrázky, takže ešte prikladáme obrázky bicykla s tachometrom a zariadenia, ktoré meralo výšku.

obrázok 1: Bicykel

obrázok 2: Meracie zariadenie