Úloha od nás žiada nájdenie statického riešenia (ak existuje). Budeme preto postupovať, ako keby riešenie existovalo, a ak sa v procese vyskytne problém, tak vieme, že tento predpoklad bol nepravdivý. Aby išlo naozaj o statickú situáciu, musia byť výslednice všetkých síl a momentov síl na jednotlivé brvná nulové. Brvien máme dohromady síce šesť, no vďaka symetrii sú sily pôsobiace na dve horizontálne (modré a fialové) rovnaké, len odzrkadlené cez vertikálnu rovinu rovnobežnú s týmito brvnami. Preto nám stačí rátať sily len pre jedno z nich. Rovnako to vieme povedať o zvyšných štyroch.

Keď už vieme, čo ideme rátať, začneme náčrtom so zakreslenými silami. Ten bude vyzerať ako na obrázku. Hrúbku vertikálneho brvna \(2R\) sme zanedbali, nakoľko \(L \gg R\). Červené šípky značia sily pôsobiace na horizontálne brvno a zelené na vertikálne brvno (vo vertikálnej rovine). Nie je dôležité, či sme smery trecích síl určili dobre, lebo ak náhodou nie, tak nám akurát na konci výjde daná sila záporná. Dôležité však je, že trecia sila pôsobiaca na horizontálne brvno v dôsledku kontaktu s vertikálnym má opačný smer, ako trecia sila pôsobiaca na vertikálne brvno v dôsledku rovnakého kontaktu.

Po určení všetkých síl môžeme napísať všetky relevantné rovnice:

• horizontálny smer, horizontálne brvno \[ (T_u + T_d) \cos \alpha - (N_u + N_d) \sin \alpha = 0, \qquad{(1)}\]
• vertikálny smer, horizontálne brvno \[ (N_d - N_u) \cos \alpha + (T_d - T_u) \sin \alpha - G/2= 0, \qquad{(2)}\]
• rotácia, horizontálne brvno \[ T_u R - T_d R = 0, \qquad{(3)}\]
• horizontálny smer, vertikálne brvno \[ T + (T_u - T_d) \cos \alpha + (N_d - N_u)\sin \alpha = 0, \qquad{(4)}\]
• vertikálny smer, vertikálne brvno \[ N - G + (N_u - N_d) \cos \alpha + (T_u - T_d) \sin \alpha = 0, \qquad{(5)}\]
• rotácia, vertikálne brvno \[ -\frac{L}{2} G \cos \alpha - \left(L - \frac{2 R}{\tan \alpha}\right) N_d + L N_u = 0, \qquad{(6)}\] kde \(G = M g\). Bod, okolo ktorého sme počítali momenty síl, sme zvolili ležiaci na osi brvna pre horizontálne brvno a bod dotyku so zemou pre vertikálne brvno.

Toto je sústava šiestich rovníc o šiestich neznámych \(N\), \(T\), \(T_u\), \(T_d\), \(N_u\), \(N_d\). Riešenie samotnej sústavy tu nebudeme predvádzať, nakoľko nejde o fyzikálne zaujímavú vec a dá sa poprípade spraviť aj za pomoci online nástrojov.

Možno sa divíte, prečo sme nenapísali rovno \(T_u = f N_u\). Je to preto, lebo pre treciu silu vo všeobecnosti neplatí rovnosť, ale nerovnosť \(T \leq f N\). To znamená, že aj keď \(T_u = T_d\) z 3, tak nemusí platiť \(N_u = N_d\), čo by sme dostali ak by sme napísali rovnosť. Inými slovami, mali by sme šesť rovníc so štyrmi neznámymi a taká sústava vo všeobecnosti nemusí mať riešenie. V tomto prípade by ho naozaj nemala.

Vyriešením sústavy dostaneme \[ \begin{aligned} N &= \frac{3 G}{2}, \\ T &= -\frac{G}{2} \tan \alpha, \\ N_d &= -\frac{ aG l \tan \alpha \sec \alpha - G L \sin \alpha - G L \tan \alpha \sec \alpha }{4 R}, \\ T_d &= -\frac{ G l \tan^2 \alpha \sec \alpha - G L \sin \alpha \tan \alpha - G L \tan^2 \alpha \sec \alpha + G R \tan \alpha \sec \alpha }{4 R}, \\ N_u &= -\frac{ G l \tan \alpha \sec \alpha - G L \sin \alpha - G L \tan \alpha \sec \alpha + 2 G R \sec \alpha }{4 R}, \\ T_u &= -\frac{ G l \tan^2\alpha \sec \alpha - G L \sin \alpha \tan \alpha - G L \tan^2\alpha \sec \alpha + G R \tan \alpha \sec \alpha }{4 R}. \\ \end{aligned} \]

Pomery \(T/N\), \(T_d/N_d\) a \(T_u/N_u\) dávajú dolné ohraničenie na koeficient trenia \(f\) ako funkciu uhla \(\alpha\), pričom uhol zo zadania je \(2 \alpha\). Aby most držal, musí teda platiť \(f > \max\{T/N, T_d/N_d, T_u/N_u\}\). Tým by sme mohli úlohu považovať za vyriešenú, nakoľko všetky sily poznáme (ako funkcie uhla), akonáhle nám niekto zadá \(M\), \(L\) a \(R\). Stačilo by nám teda len vygrafovať maximum týchto pomerov ako funkciu uhla a nájsť, pre ktorý uhol sa hodnota grafu rovná \(f\).

V praxi by nás ešte mohlo zaujímať, ktorý z týchto pomerov je reálne ten limitujúci (maximálny). Ak si necháme vykresliť tieto pomery a hráme sa s parametrami brvien, dôjdeme k záveru, že pre “realistické” brvná je to pomer \(T_u/N_u\). Preto ak by sme brvná chceli nejako spájať/opracovávať, tak toto je očividne miesto, ktorým by sme mali začať.