Musíme si najprv fyzikálne vysvetliť, čo sa s chatou Prietos deje. Majme teda chatku, do ktorej ohrievač pridáva tepelnú energiu. Nakoľko chatka nie je dokonale izolovaná, časť tepla konštantne uniká von.

Ľahké by bolo zostaviť riešenie, kde by sme počítali, že únik tepla je po celý čas konštantný. Ale napriek tomu, že riešenie takéhoto modelu je veľmi blízko reálnemu riešeniu, tak veľa bodov sa zaň dostať nedá.

Poďme si to ale správne vyriešiť, a to tak, že vieme, že únik tepla sa lineárne zväčšuje s narastajúcou teplotou, inak nazývané Newtonov zákon ochladzovania.

V každom okamihu platí, že dodaný výkon ohrievača MATH_STASH_0_ENDSTASH sa delí na výkon, ktorý zvyšuje vnútornú energiu chaty, a výkon, ktorý uniká do okolia. Rovnica teda vyzerá takto: MATH_STASH_1_ENDSTASH kde MATH_STASH_2_ENDSTASH reprezentuje koeficient strát (tepelná vodivosť sústavy). Pre menej náročných je to konštanta, ktorá určuje, ako veľmi je chata “deravá”.

1. Výpočet koeficientu strát

Tento koeficient vieme spočítať cez vzťah pre výkon strát v okamihu, keď sa teplota v chate ustáli na maximálnej hodnote MATH_STASH_3_ENDSTASH. Vtedy sa už chata neohrieva (MATH_STASH_4_ENDSTASH) a všetok výkon ohrievača len kompenzuje úniky MATH_STASH_5_ENDSTASH

Takže keď dosadíme známe hodnoty

dozvieme sa, že MATH_STASH_12_ENDSTASH

2. Výpočet tepelnej kapacity

Vychádzame zo vzťahu MATH_STASH_13_ENDSTASH

Po úprave (a využití MATH_STASH_14_ENDSTASH) dostaneme MATH_STASH_15_ENDSTASH

Táto rovnica nám hovorí, ako rýchlo sa v čase mení teplota. Podobne nám rýchlosť hovorí ako rýchlo sa v čase mení poloha. O rýchlosti vieme, že pre ňu platí MATH_STASH_16_ENDSTASH. Respektíve slovami povedané, že ak ideme čas MATH_STASH_17_ENDSTASH rýchlosťou MATH_STASH_18_ENDSTASH, tak poloha sa zmení o MATH_STASH_19_ENDSTASH. Čo ak ale nejdeme ceý čas rovnakou rýchlosťou? Vtedy už MATH_STASH_20_ENDSTASH nie je len číslo, ale nejaká funkcia času. Ak sa ale pozrieme na veľmi malý časový interval MATH_STASH_21_ENDSTASH, na túto nepríjemnosť môžeme zabudnúť, lebo rýchlosť sa na tomto intervale zmení len nepatrne a môžeme znova využiť pekný vzťah MATH_STASH_22_ENDSTASH.

Nás ale zaujíma daná veličina po nejakom veľkom čase MATH_STASH_23_ENDSTASH. Ako to teda obísť? Jednoducho. Vieme, že nemôžeme urobiť jeden veľký časový krok (ako sme vysvetlili v predchádzajúcom odseku). Nič nám ale nebráni urobiť veľa menších.

Ak teda máme počiatočnú teplotu MATH_STASH_24_ENDSTASH, o maličký čas MATH_STASH_25_ENDSTASH budeme mať vnútri novú teplotu MATH_STASH_26_ENDSTASH pričom vzťah pre deriváciu poznáme. Vystupuje v ňom však samotná teplota MATH_STASH_27_ENDSTASH, za ktorú pri výpočte musíme niečo dosadiť. Čo ale? Veď práve MATH_STASH_28_ENDSTASH je to, čo sa v čase mení. Ako sme ale spomenuli, na takomto krátkom intervale sa mení zanedbatelne málo. Pre výpočet derivácie teda za MATH_STASH_29_ENDSTASH môžeme dosadiť napríklad teplotu chaty na začiatku tohto krátkeho intervalu a teda MATH_STASH_30_ENDSTASH.

Uvedomme si, že týmto jednoduchým výpočtom sme sa v čase posunuli o kúsok. Aby sme sa posunuli o viac, musíme akurát výpočet zopakovať veľakrát. Zakaždým pritom musíme vypočítať novú deriváciu, lebo tá závisí od vnútornej teploty a tá sa mení v čase.

Keďže by toho počítania bolo veľa, môžeme ho nechať na počítač. Skôr ako to spravíme, musíme však vyriešiť ešte jednu vec. Akú hodnotu zvoliť pre MATH_STASH_31_ENDSTASH? Má to byť MATH_STASH_32_ENDSTASH alebo MATH_STASH_33_ENDSTASH? Z našich úvah je jasné, že čím menší časový interval zvolíme, tým by sme mali dostať presnejší výsledok, lebo teplota na ňom je konštantnejšia. Avšak čím menšie MATH_STASH_34_ENDSTASH, tým viac krokov musíme spraviť, aby sme dostali teplotu po nejakom veľkom časovom intervale MATH_STASH_35_ENDSTASH, a teda výpočet trvá dlhšie. Štandardne sa ho preto snažíme nastaviť tak, aby bol čo najväčší, no zároveň sa výsledok dostatočne zhodoval s výsledkom pre menší časový interval.

Keď už máme aj nastavené MATH_STASH_36_ENDSTASH, vieme nechať počítač vypočítať teplotu po dvoch hodinách pre konkrétnu hodnotu MATH_STASH_37_ENDSTASH. Vieme teda skúšaním hľadať vhodnú hodnotu MATH_STASH_38_ENDSTASH, aby bola teplota po dvoch hodinách práve MATH_STASH_39_ENDSTASH. Po chvíľke hľadania dôjdeme k záveru, že MATH_STASH_40_ENDSTASH.

3. Alternatívny prístup

Alternatívne vieme úlohu vyriešiť tým, že analyticky nájdeme riešenie diferenciálnej rovnice 3. Vieme odhadnúť, že riešením takejto rovnice je exponenciálna funkcia tvaru¹ MATH_STASH_41_ENDSTASH

Určenie konštanty z podmienok

Máme dve známe podmienky:

• v čase MATH_STASH_42_ENDSTASH je MATH_STASH_43_ENDSTASH,
• v čase MATH_STASH_44_ENDSTASH je MATH_STASH_45_ENDSTASH.

Dosadením prvej podmienky dostávame MATH_STASH_46_ENDSTASH

Druhá podmienka je automaticky splnená tvarom, v akom riešenie hľadáme. Finálny vzťah teda dostaneme v tvare MATH_STASH_47_ENDSTASH

Tepelná kapacita MATH_STASH_48_ENDSTASH je stále neznáma, no teraz môžeme dosadiť Jarove meranie po 2 hodinách (MATH_STASH_49_ENDSTASH), kedy nameral teplotu MATH_STASH_50_ENDSTASH. V takom prípade vieme z predchádzajúcej rovnice vyjadriť MATH_STASH_51_ENDSTASH, čo je jediná neznáma. Dostávame preto priamo výpočtom MATH_STASH_52_ENDSTASH.

Pre vizualizáciu prikladáme nasimulovaný graf, ako teplota v chate narastá v čase: