Musíme si najprv fyzikálne vysvetliť, čo sa s chatou Prietos deje. Majme teda chatku, do ktorej ohrievač pridáva tepelnú energiu. Nakoľko chatka nie je dokonale izolovaná, časť tepla konštantne uniká von.

Ľahké by bolo zostaviť riešenie, kde by sme počítali, že únik tepla je po celý čas konštantný. Ale napriek tomu, že riešenie takéhoto modelu je veľmi blízko reálnemu riešeniu, tak veľa bodov sa zaň dostať nedá.

Poďme si to ale správne vyriešiť, a to tak, že vieme, že únik tepla sa lineárne zväčšuje s narastajúcou teplotou, inak nazývané Newtonov zákon ochladzovania.

V každom okamihu platí, že dodaný výkon ohrievača \(P\) sa delí na výkon, ktorý zvyšuje vnútornú energiu chaty, a výkon, ktorý uniká do okolia. Rovnica teda vyzerá takto: \[ P = \text{výkon ohrevu} = \text{výkon spotrebovaný na ohrev} + \text{výkon stratený únikom} = C \Derivative{T}{t} + k(T - T_\mathrm{out}), \] kde \(k\) reprezentuje koeficient strát (tepelná vodivosť sústavy). Pre menej náročných je to konštanta, ktorá určuje, ako veľmi je chata “deravá”.

1. Výpočet koeficientu strát

Tento koeficient vieme spočítať cez vzťah pre výkon strát v okamihu, keď sa teplota v chate ustáli na maximálnej hodnote \(T_{\mathrm{max}} = \SI{23}{\celsius}\). Vtedy sa už chata neohrieva (\(\Derivative{T}{t} = 0\)) a všetok výkon ohrievača len kompenzuje úniky \[ P = k \left(T_{\mathrm{max}} - T_{\mathrm{out}}\right). \]

Takže keď dosadíme známe hodnoty

dozvieme sa, že \[ \SI{1000}{\watt} = k \left(\SI{23}{\celsius} - \SI{0}{\celsius}\right) \qquad\Rightarrow\qquad k \approx \SI{41.478}{\watt\per\kelvin}. \qquad{(1)}\]

2. Výpočet tepelnej kapacity

Vychádzame zo vzťahu \[ P = C \Derivative{T}{t} + k(T - T_\mathrm{out}). \qquad{(2)}\]

Po úprave (a využití \(T_\mathrm{max} = T_\mathrm{out} + \frac{P}{k}\)) dostaneme \[ \Derivative{T}{t} = -\frac{k}{C}(T - T_\mathrm{max}). \qquad{(3)}\]

Táto rovnica nám hovorí, ako rýchlo sa v čase mení teplota. Podobne nám rýchlosť hovorí ako rýchlo sa v čase mení poloha. O rýchlosti vieme, že pre ňu platí \(\FDiff x = v \FDiff t\). Respektíve slovami povedané, že ak ideme čas \(\FDiff t\) rýchlosťou \(v\), tak poloha sa zmení o \(\FDiff x\). Čo ak ale nejdeme ceý čas rovnakou rýchlosťou? Vtedy už \(v\) nie je len číslo, ale nejaká funkcia času. Ak sa ale pozrieme na veľmi malý časový interval \(\UDiff t\), na túto nepríjemnosť môžeme zabudnúť, lebo rýchlosť sa na tomto intervale zmení len nepatrne a môžeme znova využiť pekný vzťah \(\UDiff x = v \UDiff t\).

Nás ale zaujíma daná veličina po nejakom veľkom čase \(\FDiff t\). Ako to teda obísť? Jednoducho. Vieme, že nemôžeme urobiť jeden veľký časový krok (ako sme vysvetlili v predchádzajúcom odseku). Nič nám ale nebráni urobiť veľa menších.

Ak teda máme počiatočnú teplotu \(T_\mathrm{out}\), o maličký čas \(\UDiff t\) budeme mať vnútri novú teplotu \[ T = T_\mathrm{out} + \Derivative{T}{t}\UDiff t, \] pričom vzťah pre deriváciu poznáme. Vystupuje v ňom však samotná teplota \(T\), za ktorú pri výpočte musíme niečo dosadiť. Čo ale? Veď práve \(T\) je to, čo sa v čase mení. Ako sme ale spomenuli, na takomto krátkom intervale sa mení zanedbatelne málo. Pre výpočet derivácie teda za \(T\) môžeme dosadiť napríklad teplotu chaty na začiatku tohto krátkeho intervalu a teda \(T_\mathrm{out}\).

Uvedomme si, že týmto jednoduchým výpočtom sme sa v čase posunuli o kúsok. Aby sme sa posunuli o viac, musíme akurát výpočet zopakovať veľakrát. Zakaždým pritom musíme vypočítať novú deriváciu, lebo tá závisí od vnútornej teploty a tá sa mení v čase.

Keďže by toho počítania bolo veľa, môžeme ho nechať na počítač. Skôr ako to spravíme, musíme však vyriešiť ešte jednu vec. Akú hodnotu zvoliť pre \(\UDiff t\)? Má to byť \(\SI{1}{\minute}\) alebo \(\SI{1}{\milli\second}\)? Z našich úvah je jasné, že čím menší časový interval zvolíme, tým by sme mali dostať presnejší výsledok, lebo teplota na ňom je konštantnejšia. Avšak čím menšie \(\UDiff t\), tým viac krokov musíme spraviť, aby sme dostali teplotu po nejakom veľkom časovom intervale \(\FDiff T\), a teda výpočet trvá dlhšie. Štandardne sa ho preto snažíme nastaviť tak, aby bol čo najväčší, no zároveň sa výsledok dostatočne zhodoval s výsledkom pre menší časový interval.

Keď už máme aj nastavené \(\UDiff t\), vieme nechať počítač vypočítať teplotu po dvoch hodinách pre konkrétnu hodnotu \(C\). Vieme teda skúšaním hľadať vhodnú hodnotu \(C\), aby bola teplota po dvoch hodinách práve \(\SI{16}{\celsius}\). Po chvíľke hľadania dôjdeme k záveru, že \(C \approx \SI{263}{\kilo\joule\per\kelvin}\).

3. Alternatívny prístup

Alternatívne vieme úlohu vyriešiť tým, že analyticky nájdeme riešenie diferenciálnej rovnice 3. Vieme odhadnúť, že riešením takejto rovnice je exponenciálna funkcia tvaru¹ \[ T(t) = T_\mathrm{max} + A e^{-\frac{k}{C}t}. \]

Určenie konštanty z podmienok

Máme dve známe podmienky:

• v čase \(t = 0\) je \(T(0) = T_\mathrm{out}\),
• v čase \(t \to \infty\) je \(T(t) \to T_\mathrm{max}\).

Dosadením prvej podmienky dostávame \[ T_\mathrm{out} = T_\mathrm{max} + A \qquad\Rightarrow\qquad A = T_\mathrm{out} - T_\mathrm{max}. \]

Druhá podmienka je automaticky splnená tvarom, v akom riešenie hľadáme. Finálny vzťah teda dostaneme v tvare \[ T(t) = T_\mathrm{max} + (T_\mathrm{out} - T_\mathrm{max}) e^{-\frac{k}{C}t} = T_{out} + (T_\mathrm{max} - T_\mathrm{out}) \left(1 - e^{-\frac{k}{C}t}\right). \]

Tepelná kapacita \(C\) je stále neznáma, no teraz môžeme dosadiť Jarove meranie po 2 hodinách (\(t = \SI{7200}{\second}\)), kedy nameral teplotu \(\SI{16}{\celsius}\). V takom prípade vieme z predchádzajúcej rovnice vyjadriť \(C\), čo je jediná neznáma. Dostávame preto priamo výpočtom \(C = \SI{263.149}{\kilo\joule\per\kelvin}\).

Pre vizualizáciu prikladáme nasimulovaný graf, ako teplota v chate narastá v čase: