Označme si rozmer Krtkovho obyváku \(a\) a svietivosť sviečky \(I_{0}\). Keďže zadanie nič nehovorí o preferovanom smere svietenia, môžeme predpokladať, že sviečka svieti rovnomerne do všetkých smerov. To znamená, že celkový svetelný tok sviečky je \[ \Phi_{0} = I_{0} \cdot \SI[parse-numbers=false]{4\pi}{\steradian} = \SI{1}{\candela} \cdot \SI[parse-numbers=false]{4\pi}{\steradian} = \SI[parse-numbers=false]{4\pi}{\lumen}. \]

Toto je svetelná energia, ktorú vyžiari sviečka každú sekundu vo viditeľnom spektre, váhovaná citlivosťou oka na jednotlivé vlnové dĺžky. Intenzita osvetlenia na protiľahlej stene je rovná svetelnému toku dopadajúcemu na jednotkovú plochu. Na sfére vo vzdialenosti \(a\) od sviečky je intenzita osvetlenia¹ všade rovná² \[ E_{0} = \frac{\Phi_{0}}{4\pi a^{2}} = \frac{I_{0}\cdot\SI{1}{\steradian}}{a^{2}} = \frac{\SI{1}{\lumen}}{\SI{4}{\metre\squared}} = \SI{0.25}{\lux}, \] a teda toto je intenzita osvetlenia kolmo na protiľahlej stene.

Čo sa stane, keď Krtko nainštaluje na zvislé steny svojho obyváku rovinné zrkadlá? Dve veci. Po prvé, zrkadlo na stene tesne pri sviečke spôsobí, že svetelný tok, ktorý pôvodne dopadal na stenu a bol ňou pohltený, sa teraz odráža, a teda efektívna svietivosť sviečky do vnútra obyváku je teraz \[ I = \frac{\Phi_{0}}{\SI[parse-numbers=false]{2\pi}{\steradian}} = 2I_{0}. \]

A po druhé, sviečka sa odráža od vzdialenejšieho zrkadla, jej odraz vo vzdialenejšom zrkadle sa odráža od bližšieho zrkadla, odraz v bližšom zrkadle odrazu vo vzdialenejšom zrkadle sa odráža opäť od vzdialenejšieho zrkadla, a tak ďalej… a každý tento odraz možno považovať za nový zdroj svetla so svietivosťou \(I\), pričom každý ďalší odraz je v čoraz väčšej vzdialenosti.

Poďme si spočítať intenzitu osvetlenia od tohto nekonečného množstva zdrojov. Po nakreslení prvých pár odrazov si rýchlo všimneme istý pattern (viď obrázok). Skutočná sviečka a jej priamy odraz sú vo vzdialenosti \(d_{0}=d_{1}=a\) od miesta, kde nás intenzita osvetlenia zaujíma. Odraz odrazu a odraz odrazu odrazu (ďalej len druhý a tretí odraz) sú vo vzdialenosti \(d_{2}=d_{3}=3a\). Štvrtý a piaty odraz sa objavia vo vzdialenosti \(5a\). Vidíme teda, že dvojice odrazov sú vždy v každom nepárnom násobku rozmeru Krtkovho obyváku.

Ako prispieva \(n\)-tý odraz vo vzdialenosti \(d_{n}\) k intenzite osvetlenia v mieste, ktoré nás zaujíma? Jednoducho – intenzita osvetlenia od tohto odrazu je³ \[ E_{n} = \frac{2I_{0}\cdot\delta\Omega}{\delta\Omega\cdot d_{n}^{2}} = \frac{2I_{0}\cdot\SI{1}{\steradian}}{d_{n}^{2}}. \]

Teraz nám už zostáva len sčítať príspevky od všetkých odrazov (vrátane nultého) a dostaneme celkovú intenzitu osvetlenia \[ E = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2I_{0}\cdot\SI{1}{\steradian}}{d_{n}^{2}}. \]

Keďže pre \(n = 2k\) a \(n = 2k + 1\) je \(d_{2k} = d_{2k + 1} = \left(2k + 1\right)a\), možno tento výraz prepísať ako

\[ E = 2I_{0}\cdot\SI{1}{\steradian}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left[\left(2k+1\right)a\right]^{2}} = \frac{2I_{0}\cdot\SI{1}{\steradian}}{a^{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2k+1\right)^{2}}. \]

Zadanie nám našepkáva, že sa nám môže zísť súčet radu

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}. \]

My však potrebujeme sčítať iba nepárne členy tohto radu. Rozbime si preto tento rad na dva:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2k+1\right)^{2}}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2k\right)^{2}}. \]

Prvá suma je nami hľadaný súčet – označme ho \(S\). Druhú sumu možno ľahko vyčísliť s pomocou hintu zo zadania:

\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(2k\right)^{2}} = \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^{2}}{6}=\frac{\pi^{2}}{24}. \]

Keď to všetko dáme dokopy, dostaneme

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = S+\frac{\pi^{2}}{24}\stackrel{!}{=} \frac{\pi^{2}}{6}\quad\implies\quad S = \frac{\pi^{2}}{8}. \]

Intenzita osvetlenia pri protiľahlej stene kolmo oproti sviečke je teda

\[ E = \frac{2I_{0}\cdot\SI{1}{\steradian}}{a^{2}}\cdot\frac{\pi^{2}}{8} = \frac{\pi^{2}I_{0}\cdot\SI{1}{\steradian}}{4a^{2}}=\frac{\pi^{2}\cdot\SI{1}{\candela}\cdot\SI{1}{\steradian}}{4\cdot\SI{4}{\metre\squared}} = {\frac{\pi^{2}}{16}}\si{\lux}, \]

čo je \(\frac{\pi^{2}}{4}\doteq\num{2.5}\)-krát väčšia intenzita osvetlenia než pred pridaním zrkadiel.

Kde sa vzala energia na tento nárast intenzity osvetlenia? Pridaním zrkadiel sme predsa žiadnu energiu nedodali.⁴ Kľúč k rozlúsknutiu tejto záhady spočíva v uvedomení si, čo sa dialo s energiou pred pridaním zrkadiel. Keď svetlo dopadlo na steny obyváku, bolo nimi pohltené, čím steny mierne zahrialo, a toto teplo sa odviedlo ďalej do pôdy. Keď sme pridali zrkadlá, zamedzili sme tomu. Miesto toho sa fotóny odrážajú od zrkadiel. Fotónom letiacim priamo zo sviečky trvá presne \(\frac{a}{c}\) sekúnd, kým dosiahnu protiľahlú stenu obyváku. Odrazeným fotónom to ale trvá viac, pretože musia uraziť väčšiu vzdialenosť. To znamená, že zatiaľ čo v prípade bez zrkadiel je intenzita osvetlenia dosiahnutá len s prispením “rovnako starých” fotónov, v prípade so zrkadlami sú za nárast intenzity zodpovedné fotóny pochádzajúce z väčšej minulosti, ktoré sú uviaznuté medzi zrkadlami, a len postupne sa z obyváku vytrácajú cez podlahu, strop alebo cez otvorené bočné konce. Zákon zachovania energie preto nie je porušený a celkové množstvo svetelnej energie vyprodukovanej sviečkou je v oboch prípadoch rovnaké – len v prípade so zrkadlami jej dlhšie trvá, kým z obyváku unikne, a preto v každom čase je jej v obyváku viac, a teda je väčšia intenzita osvetlenia.