Označme si rozmer Krtkovho obyváku MATH_STASH_0_ENDSTASH a svietivosť sviečky MATH_STASH_1_ENDSTASH. Keďže zadanie nič nehovorí o preferovanom smere svietenia, môžeme predpokladať, že sviečka svieti rovnomerne do všetkých smerov. To znamená, že celkový svetelný tok sviečky je MATH_STASH_2_ENDSTASH

Toto je svetelná energia, ktorú vyžiari sviečka každú sekundu vo viditeľnom spektre, váhovaná citlivosťou oka na jednotlivé vlnové dĺžky. Intenzita osvetlenia na protiľahlej stene je rovná svetelnému toku dopadajúcemu na jednotkovú plochu. Na sfére vo vzdialenosti MATH_STASH_3_ENDSTASH od sviečky je intenzita osvetlenia¹ všade rovná² MATH_STASH_4_ENDSTASH a teda toto je intenzita osvetlenia kolmo na protiľahlej stene.

Čo sa stane, keď Krtko nainštaluje na zvislé steny svojho obyváku rovinné zrkadlá? Dve veci. Po prvé, zrkadlo na stene tesne pri sviečke spôsobí, že svetelný tok, ktorý pôvodne dopadal na stenu a bol ňou pohltený, sa teraz odráža, a teda efektívna svietivosť sviečky do vnútra obyváku je teraz MATH_STASH_5_ENDSTASH

A po druhé, sviečka sa odráža od vzdialenejšieho zrkadla, jej odraz vo vzdialenejšom zrkadle sa odráža od bližšieho zrkadla, odraz v bližšom zrkadle odrazu vo vzdialenejšom zrkadle sa odráža opäť od vzdialenejšieho zrkadla, a tak ďalej… a každý tento odraz možno považovať za nový zdroj svetla so svietivosťou MATH_STASH_6_ENDSTASH, pričom každý ďalší odraz je v čoraz väčšej vzdialenosti.

Poďme si spočítať intenzitu osvetlenia od tohto nekonečného množstva zdrojov. Po nakreslení prvých pár odrazov si rýchlo všimneme istý pattern (viď obrázok). Skutočná sviečka a jej priamy odraz sú vo vzdialenosti MATH_STASH_7_ENDSTASH od miesta, kde nás intenzita osvetlenia zaujíma. Odraz odrazu a odraz odrazu odrazu (ďalej len druhý a tretí odraz) sú vo vzdialenosti MATH_STASH_8_ENDSTASH. Štvrtý a piaty odraz sa objavia vo vzdialenosti MATH_STASH_9_ENDSTASH. Vidíme teda, že dvojice odrazov sú vždy v každom nepárnom násobku rozmeru Krtkovho obyváku.

Ako prispieva MATH_STASH_10_ENDSTASH-tý odraz vo vzdialenosti MATH_STASH_11_ENDSTASH k intenzite osvetlenia v mieste, ktoré nás zaujíma? Jednoducho – intenzita osvetlenia od tohto odrazu je³ MATH_STASH_12_ENDSTASH

Teraz nám už zostáva len sčítať príspevky od všetkých odrazov (vrátane nultého) a dostaneme celkovú intenzitu osvetlenia MATH_STASH_13_ENDSTASH

Keďže pre MATH_STASH_14_ENDSTASH a MATH_STASH_15_ENDSTASH je MATH_STASH_16_ENDSTASH, možno tento výraz prepísať ako

MATH_STASH_17_ENDSTASH

Zadanie nám našepkáva, že sa nám môže zísť súčet radu

MATH_STASH_18_ENDSTASH

My však potrebujeme sčítať iba nepárne členy tohto radu. Rozbime si preto tento rad na dva:

MATH_STASH_19_ENDSTASH

Prvá suma je nami hľadaný súčet – označme ho MATH_STASH_20_ENDSTASH. Druhú sumu možno ľahko vyčísliť s pomocou hintu zo zadania:

MATH_STASH_21_ENDSTASH

Keď to všetko dáme dokopy, dostaneme

MATH_STASH_22_ENDSTASH

Intenzita osvetlenia pri protiľahlej stene kolmo oproti sviečke je teda

MATH_STASH_23_ENDSTASH

čo je MATH_STASH_24_ENDSTASH-krát väčšia intenzita osvetlenia než pred pridaním zrkadiel.

Kde sa vzala energia na tento nárast intenzity osvetlenia? Pridaním zrkadiel sme predsa žiadnu energiu nedodali.⁴ Kľúč k rozlúsknutiu tejto záhady spočíva v uvedomení si, čo sa dialo s energiou pred pridaním zrkadiel. Keď svetlo dopadlo na steny obyváku, bolo nimi pohltené, čím steny mierne zahrialo, a toto teplo sa odviedlo ďalej do pôdy. Keď sme pridali zrkadlá, zamedzili sme tomu. Miesto toho sa fotóny odrážajú od zrkadiel. Fotónom letiacim priamo zo sviečky trvá presne MATH_STASH_25_ENDSTASH sekúnd, kým dosiahnu protiľahlú stenu obyváku. Odrazeným fotónom to ale trvá viac, pretože musia uraziť väčšiu vzdialenosť. To znamená, že zatiaľ čo v prípade bez zrkadiel je intenzita osvetlenia dosiahnutá len s prispením “rovnako starých” fotónov, v prípade so zrkadlami sú za nárast intenzity zodpovedné fotóny pochádzajúce z väčšej minulosti, ktoré sú uviaznuté medzi zrkadlami, a len postupne sa z obyváku vytrácajú cez podlahu, strop alebo cez otvorené bočné konce. Zákon zachovania energie preto nie je porušený a celkové množstvo svetelnej energie vyprodukovanej sviečkou je v oboch prípadoch rovnaké – len v prípade so zrkadlami jej dlhšie trvá, kým z obyváku unikne, a preto v každom čase je jej v obyváku viac, a teda je väčšia intenzita osvetlenia.