Šimon má pingpongovú a volejbalovú loptičku. Pustí ich z výšky \(\SI{1}{\meter}\). Padajú dolu, volejbalová sa odrazí od zeme a narazí do pingpongovej, ktorú takto vystrelí dohora. Našou úlohou je zistiť, do akej najvyššej výšky sa môže odraziť pingpongová loptička. Vypočítajme preto rýchlosť po odraze a z nej potom dopočítame výšku.

Pozrime sa, akú situáciu máme tesne pred odrazom. Pingpongová loptička padá dolu rýchlosťou \(v\), volejbalová sa odrazila od zeme a smeruje dohora rýchlosťou tiež \(v\) (lebo obe padajú z výšky jedného metra, teda majú aj rovnakú rýchlosť). Túto rýchlosť vieme vypočítať, keďže to je jednoducho voľný pád z výšky \(\SI{1}{\meter}\). \[ s = \frac{1}{2}gh^2 \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}, \] \[ v = gt = g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2hg} \approx \SI{4.43}{\meter\per\second}. \]

Teraz vieme presne, akú situáciu máme. Volejbalová lopta ide rýchlosťou \(v\) smerom hore, pingpongová lopta rýchlosťou \(v\) smerom dole. Zo zadania vieme, že sa jedná o pružnú zrážku. To znamená, že sa zachováva aj energia aj hybnosť. Poďme pre ne zostaviť rovnice. Označme si \(m_\mathrm{v}, m_\mathrm{p}\) hmotnosti volejbalovej a pingpongovej loptičky. Zo zákonu zachovania energie dostávame, že kinetická energia pred zrážkou je rovnaká ako kinetická energia po zrážke. Potenciálna energia tu nevystupuje, nakoľko sa pozeráme na dva okamihy tesne pred a tesne po zrážke. Potenciálna energia v oboch prípadoch je rovnaká a nemusíme ju tam uvádzať. \[ \frac{1}{2}\left( m_\mathrm{v} + m_\mathrm{p} \right)v^2 = \frac{1}{2}m_\mathrm{v}v_\mathrm{v}^2+\frac{1}{2}m_\mathrm{p}v_\mathrm{p}^2. \]

Rovnako si vieme napísať rovnosť hybností pred a po zrážke. Tu však musíme pamätať na to, že jedna rýchlosť smeruje hore a druhá dole. Nech je smer dohora kladný. Rýchlosť volejbalky je pred zrážkou v kladnom smere, rýchlosť pingpongovej loptičky v zápornom, čiže \[ \left(m_\mathrm{v} - m_\mathrm{p}\right)v = m_\mathrm{v}v_\mathrm{v}+m_\mathrm{p}v_\mathrm{p}. \]

Máme dve rovnice o dvoch neznámych – rýchlostiach lôpt po zrážke. Tak poďme na to. Z rovnice pre hybnosť si vyjadríme \(v\_\mathrm{v}\) \[ v_\mathrm{v} = \frac{(m_\mathrm{v} - m_\mathrm{p})v-m_\mathrm{p}v_\mathrm{p}}{m_\mathrm{v}}. \]

To teraz dosadíme do rovnice pre zachovanie energie, \[ \left( m_\mathrm{v}+m_\mathrm{p} \right) v^2 = m_\mathrm{v} \left( \frac{(m_\mathrm{v}-m_\mathrm{p})v-m_\mathrm{p}v_\mathrm{p}}{m_\mathrm{v}} \right) ^ 2 + m_\mathrm{p}v_\mathrm{p}^2. \]

Tu nám ostala jediná neznáma \(v_\mathrm{p}\). Keďže je to kvadratická rovnica, vieme nájsť jej riešenia. Najprv si ju zapíšme do krajšieho tvaru, nech to naozaj vidíme: \[ v_\mathrm{p}^2 \left(m_\mathrm{p}+\frac{m_\mathrm{p}^2}{m_\mathrm{v}}\right) - v_\mathrm{p} \left(2\frac{m_\mathrm{p}(m_\mathrm{v}-m_\mathrm{p})v}{m_\mathrm{v}}\right) + \frac{\left(m_\mathrm{v}-m_\mathrm{p}\right) ^2v^2}{m_\mathrm{v}}-(m_\mathrm{v}+m_\mathrm{p})v^2 = 0. \]

Teraz vyjadríme \(v_\mathrm{p}\) \[ v_\mathrm{p} = \frac{ \left( 2\frac{m_\mathrm{p}(m_\mathrm{v}-m_\mathrm{p})v}{m_\mathrm{v}} \right) \pm \sqrt{ \left(-\frac{2m_{\mathrm{p}}(m_{\mathrm{v}} - m_{\mathrm{p}})v}{m_{\mathrm{v}}} \right)^2 - 4 \left(m_{\mathrm{p}} + \frac{m_{\mathrm{p}}^2}{m_{\mathrm{v}}} \right) \left( \frac{ (m_{\mathrm{v}} - m_{\mathrm{p}})^2 v^2 }{ m_{\mathrm{v}} } - (m_{\mathrm{v}} + m_{\mathrm{p}})v^2 \right) } }{ 2\left(m_\mathrm{p}+\frac{m_\mathrm{p}^2}{m_\mathrm{v}}\right) }. \]

Nevyzerá to bohvieako pekne, ale našťastie sú všetky veličiny známe. Po dosadení \(v\approx \SI{4.43}{\meter\per\second}\), \(m_\mathrm{v} \approx \SI{0.27}{\kilogram}\), \(m_\mathrm{p} \approx \SI{0.0027}{\kilogram}\) dostaneme \(v_\mathrm{p} \approx \SI{13.11}{\meter\per\second}\) ako jedno riešenie a druhé ako \(v_\mathrm{p}=-v\). Druhé riešenie zjavne zodpovedá prípadu, keď lopty do seba nenarazia a pokračujú vo svojich letoch, zatiaľ, čo prvé riešenie opisuje situáciu po zrážke. Pingpongovú loptičku teda volejbalová vystrelí dohora rýchlosťou približne \(\SI{13}{\meter\per\second}\).

Teraz už len potrebujeme zistiť výšku, do akej vyletí. Na to nám stačí upraviť úvodný vzťah \[ v = \sqrt{2hg} \implies h = \frac{v^2}{2g} \approx \SI{8.76}{\meter}. \]

Teda pingpongová loptička po zrážke s volejbalovou vyletí do výšky \(\SI{8.76}{\meter}\).