Na riešenie tejto úlohy využijeme zákon zachovania momentu hybnosti. Na jeho aplikáciu je potrebné poznať aj koncept momentu zotrvačnosti. Ak ste o ňom doteraz nepočuli, príklady na jeho použitie nájdete napríklad v tomto materiáli českej fyzikálnej olympiády.

Zákon zachovania momentu hybnosti má v tejto úlohe tvar \[ \left(I_\mathrm{Zem} + I_\mathrm{LT}\right)\omega_0 = \left(I_\mathrm{Zem} + I_\mathrm{ST}\right)\omega_1, \] kde \(I_mathrm{Zem}\) je moment zotrvačnosti Zeme, \(I_mathrm{LT}\) je moment zotrvačnosti ležiacich tigrov a \(I_\mathrm{ST}\) je moment zotrvačnosti stojacich tigrov. Uhlová rýchlosť \(\omega_0\) je pôvodná rýchlosť rotácie Zeme a \(\omega_1\) je nová uhlová rýchlosť po tom, čo sa tigre postavia.

Moment zotrvačnosti Zeme vypočítame zo známeho vzťahu pre moment zotrvačnosti homogénnej gule \(I = \frac{2}{5}M R^2\). Takéto vzťahy pre známe telesá sa dajú bežne nájsť. Ich odvodenie si vyžaduje integrovanie, takže ho tu vynecháme.¹.

Ak dosadíme tabuľkové hodnoty:

• hmotnosť Zeme \(M_\mathrm{Zem} = \SI{5.972e24}{\kilo\gram}\),
• polomer Zeme \(R_\mathrm{Zem} = \SI{6371}{\kilo\meter} = \SI{6.371e6}{\meter}\),

dostaneme moment zotrvačnosti \[ I_\mathrm{Zem} \approx \SI{9.696e37}{\kilo\gram\meter\squared}. \]

Ležiacich aj stojacich tigrov aproximujeme ako hmotné body. Môžeme to urobiť preto, že ich rozmery sú v porovnaní s polomerom Zeme úplne zanedbateľné. Moment zotrvačnosti tigrov budeme počítať ako súčet momentov zotrvačností jednotlivých tigrov, ktorých je \(N = \num{4.e9}\). Ak \(h\) označíme vzdialenosť ťažiska tigra od povrchu Zeme, potom platí \[ I_\mathrm{T} = N M_T (R_\mathrm{Zem} + h)^2 \\ \]

Priemerný bengálsky tiger má dĺžku \(\SI{2}{\meter}\) a hmotnosť \(M_T = \SI{200}{\kilo\gram}\). Keď leží (s výškou tela zhruba \(\SI{0.4}{\meter}\)), ťažisko má vo výške \(h_L = \SI{0.2}{\meter}\) od povrchu Zeme. Keď sa postaví na zadné, ťažisko sa presunie do výšky asi \(h_S = \SI{1}{\meter}\).

Pre dané hodnoty dostávame obrovské čísla s minimálnym relatívnym rozdielom² \[ \begin{aligned} I_\mathrm{LT} = 4 \cdot 10^9 \cdot 200 \cdot (6371000.2)^2 \approx 3.247 \cdot \SI{3.247e25}{\kilo\gram\meter\squared}, \\ I_\mathrm{ST} = 4 \cdot 10^9 \cdot 200 \cdot (6371001.0)^2 \approx 3.247 \cdot \SI{3.247e25}{\kilo\gram\meter\squared}. \end{aligned} \]

Môžeme si všimnúť, že rozdiel v momentoch zotrvačnosti je minimálny, a to obzvlášť oproti momentu zotrvačnosti samotnej Zeme (\(I_{Zem}\) je o viac ako 12 rádov väčšie). Ak by sme sa pokúsili dosadiť tieto čísla priamo do vyjadrenia pre \(\omega_1\), narazili by sme na problém s numerickou presnosťou. Bežné programovacie jazyky (napríklad Python) pri práci s floating-point číslami nedokážu zachytiť takto mikroskopický rozdiel dvoch gigantických čísel – výsledok by zaokrúhlili a povedali by nám, že rýchlosť Zeme sa vôbec nezmenila.

Fyzikálne sa však rýchlosť zmení. Aby sme presne zistili o koľko, vyjadríme si z rovnice priamo zmenu uhlovej rýchlosti, teda \(\Delta \omega = \omega_1 - \omega_0\), \[ \Delta \omega = \frac{\left(I_\mathrm{Zem} + I_{LT}\right)\omega_0}{I_\mathrm{Zem} + I_\mathrm{ST}} - \omega_0 = \omega_0 \frac{I_\mathrm{LT} - I_{ST}}{I_\mathrm{Zem} + I_\mathrm{ST}}. \]

Keďže \(I_\mathrm{Zem} \gg I_\mathrm{ST}\), menovateľ zlomku môžeme prakticky bez straty presnosti aproximovať na \(I_\mathrm{Zem}\). V čitateli si pomôžeme vzorcom \(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\) \[ I_\mathrm{LT} - I_\mathrm{ST} = N M_T \left[ (R_\mathrm{Zem} + h_L)^2 - (R_\mathrm{Zem} + h_S)^2 \right] \approx N M_T \cdot 2 R_\mathrm{Zem} (h_L - h_S). \]

Vďaka tejto jednoduchej algebraickej úprave sa vyhneme strate presnosti a po dosadení do vzťahu pre zmenu uhlovej rýchlosti dostaneme \[ \Delta \omega \approx \omega_0 \frac{N M_T \cdot 2 R_\mathrm{Zem} (h_L - h_S)}{I_\mathrm{Zem}}. \]

Pôvodná uhlová rýchlosť \(\omega_0\) pre dĺžku dňa \(T_0 = \SI{24}{\hour} = \SI{86400}{\second}\) je \(\omega_0 = \frac{2\pi}{86400} \approx \SI{7.272e-5}{\radian\per\second}\). Môžeme dosadiť \[ \Delta \omega \approx \SI{-6.12e-24}{\radian\per\second}. \] Uhlová rýchlosť rotácie Zeme sa teda v momente, keď sa všetky tigre postavia, zmenší o \(\SI{6.12e-24}{\radian\per\second}\).

Čo to znamená v praxi pre dĺžku dňa? Zmena doby rotácie \(\Delta T\) sa dá vyjadriť ako \[ \Delta T \approx -T_0 \frac{\Delta \omega}{\omega_0} \approx \SI{7.27e-15}{\second}. \]

Tigre spôsobili, že jeden deň na Zemi sa predĺžil približne o \(\num{7.27}\) femtosekúnd. Tento rozdiel je taký malý, že je hlboko pod limitom akejkoľvek meracej techniky a nezbadal by ho ani Python – avšak z fyzikálneho hľadiska mali Jožkove mačky jasný (aj keď mikroskopický) spomaľujúci dopad.