Tibor má auto, ktoré na rovine počas bezvetria nadobúda najvyššiu rýchlosť \(\SI{101}{\kilo\meter\per\hour}\). Našou úlohou je zistiť, ako rýchlo pôjde, ak chytí pod Tatrami čelný vietor s rýchlosťou \(\SI{12}{\meter\per\second}\), ak stále ide na plný výkon.

To, že auto ide konštantnou rýchlosťou, nám hovorí, že výslednica síl, ktoré naň pôsobia, je nulová. Pre jednoduchosť môžeme uvažovať len silu, ktorá tlačí auto dopredu \(F_\mathrm{ťah}\) a silu odporovú \(F_\mathrm{odpor}\). Tieto dve sily majú v ustálenom stave rovnakú veľkosť a opačný smer.

Vieme, že výkon motora je konštantný, teda práca za čas je stále rovnaká. Keď si to vhodne prepíšeme, dostaneme pre nás užitočnejší tvar

\[ P = \frac{W}{t} = \frac{F \cdot s}{t} = F \cdot v, \]

kde \(F\) je ťahová sila. Keďže je však rovnako veľká ako odporová sila, rovnaký výkon dostaneme aj pri nej. Ako odporovú silu uvažujme iba odpor vzduchu, keďže ten je pri vysokých rýchlostiach výraznejší ako ostatné sily. Vyjadriť ju vieme ako

\[ F_\mathrm{odpor} = \frac{1}{2} C \rho S v_\mathrm{vzduch}^2, \]

kde \(C\) je konštanta odporu, \(\rho\) je hustota vzduchu, \(S\) je plocha auta spredu a \(v_\mathrm{vzduch}\) je rýchlosť auta vzhľadom na vzduch. Pre jednoduchosť, môžeme ju zapísať aj ako

\[ F_\mathrm{odpor} = k \cdot v_{vzduch}^2. \]

Z toho dostaneme, že výkon auta je

\[ P = k \cdot v_\mathrm{vzduch}^2 \cdot v. \]

Pri bezvetrí je \(v\) — rýchlosť auta vzhľadom na cestu aj \(v_\mathrm{vzduch}\) rovnaká, takže máme

\[ P = k \cdot v^3. \]

Teraz uvažujme, čo sa stane v druhej situácii. Začne fúkať čelný vietor rýchlosťou \(w = \SI{12}{\meter\per\second}\). Čo sa zmení oproti bezveternej situácii je, že rýchlosť v sile odporu vzduchu už nebude rovnaká ako rýchlosť auta vzhľadom na cestu. Ponovom to bude \(v_\mathrm{vzduch} = u + w\), kde \(u\) je rýchlosť auta vzhľadom na cestu. Náš vzťah pre výkon sa zmení na

\[ P = k \cdot v_\mathrm{vzduch}^2 \cdot u = k \cdot (u + w)^2 \cdot u. \]

Keďže výkon je rovnaký ako bol, môžeme dať túto rovnosť do rovnosti s výkonom auta za bezvetria a z toho vyjadriť \(u\)

\[ P = k \cdot v^3 = k \cdot u \cdot (u + w)^2 = k \cdot u \cdot (u^2 + 2uw + w^2). \]

Vidíme, že konštanta \(k\) nám vypadne a teda

\[ v^3 = u^3 + 2u^2w + uw^2. \]

Dostali kubickú rovnicu, ktorej riešenie vôbec nie je pekné. Preto radšej použijeme výpočtový softvér, nech to urobí za nás, napríklad WolframAlpha. Po dosadení našich vstupných hodnôt dostaneme jediné reálne riešenie a to

\[ u \approx \SI{20.7}{\meter\per\second} \approx \SI{74.4}{\kilo\meter\per\hour}. \]