Pre jednoduchosť budeme špeciálnu kvapalinu v celom riešení označovať aj nazývať voda. Najprv sa skúsme zamyslieť, čo sa v tejto úlohe vlastne deje.

Žiarovka postupne zohrieva vzduch a kvapalinu v miestnosti. Toto prebieha tak, že aj vzduch aj kvapalina majú stále rovnakú (len čím ďalej vyššiu) teplotu¹, keďže aj medzi nimi dochádza k tepelnej výmene. Takže potrebujeme, aby aj vzduch, aj kvapalina mali \(\SI{100}{\celsius}\). Potom sa všetko zvyšné teplo bude konať na kvapaline a bude spôsobovať odparovanie. Máme teda tri rôzne javy, ktoré spotrebovávajú teplo:

• zohriatie vzduchu z \(\SI{26}{\celsius}\) na \(\SI{100}{\celsius}\), označíme \(Q_{\mathrm{vz}}\)
• zohriatie vody z \(\SI{26}{\celsius}\) na \(\SI{100}{\celsius}\), označíme \(Q_{\mathrm{vo}}\)
• vyparovanie vody, označíme \(Q_{vy}\)

Ďalej budeme potrebovať nejaké hodnoty konštánt:

• hustota vzduchu pri \(\SI{20}{\celsius}\) (rozdiel oproti \(\SI{26}{\celsius}\) je minimálny) \(\rho_{\mathrm{vz}} = \SI{1.276}{\kilogram\per\meter\cubed}\)
• hustota vody \(\rho_{\mathrm{vo}} = \SI{998}{\kilogram\per\meter\cubed}\)
• merná tepelná kapacita vzduchu pri \(\SI{15}{\celsius}\) (rozdiel oproti \(\SI{26}{\celsius}\) je minimálny) \(c_{\mathrm{vz}} = \SI{1.005}{\kilo\joule\per\kilogram\per\kelvin}\)
• merná tepelná kapacita vody \(c_{\mathrm{vo}} = \SI{4.18}{\kilo\joule\per\kilogram\per\kelvin}\)
• merné teplo vyparovania \(l_{vy} = \SI{2257}{\kilo\joule\per\kilogram}\)

Konštanty máme z Matematických, fyzikálnych a chemických tabuliek pre stredné školy, rok vydania 1992.

V tomto momente treba poznamenať, že dané veličiny (najmä hustoty) sú závislé od teploty komplikovanými (často empirickými) vzťahmi a nie sú konštantné. Je to jedno z mnohých zanedbaní, ktoré v tejto úlohe robíme.

Ešte predtým, ako vypočítame jednotlivé teplá, by sa hodilo vyjadriť si hmotnosti vzduchu a vody \[ \begin{aligned} m_{\mathrm{vo}} &= \rho_{\mathrm{vo}} V_{\mathrm{vo}} = \SI{998}{\kilogram\per\meter\cubed} \cdot \SI{0.005}{\meter\cubed} \approx \SI{5}{\kilogram},\\ m_{\mathrm{vz}} &= \rho_{\mathrm{vz}} V_{\mathrm{vz}} = \SI{1.276}{\kilogram\per\meter\cubed} \cdot \SI{1}{\meter} \cdot \SI{2}{\meter} \cdot \SI{2.5}{\meter} \approx \SI{6.4}{\kilogram}. \end{aligned} \]

Poďme teraz vypočítať jednotlivé teplá. Použijeme známy vzorec \(Q = m c \Delta t\) a \(Q_{vy} = m l_{vy}\). Ak ich nepoznáte, odporúčam vám prestať čítať a opýtať sa AI :D.

Takže platí \[ \begin{aligned} Q_{\mathrm{vo}} &= m_{\mathrm{vo}} c_{\mathrm{vo}} \Delta t \approx \SI{5}{\kilogram} \cdot \SI{4180}{\kilo\joule\per\kilogram\per\kelvin} \cdot \SI{74}{\kelvin} \approx \SI{1.55}{\mega\joule},\\ Q_{\mathrm{vz}} &= m_{\mathrm{vz}} c_{\mathrm{vz}} \Delta t \approx \SI{6.4}{\kilogram} \cdot \SI{1005}{\kilo\joule\per\kilogram\per\kelvin} \cdot \SI{74}{\kelvin} \approx \SI{0.46}{\mega\joule}. \end{aligned} \]

Pri teple potrebnom na vyparovanie berieme polovičnú hmotnosť vody, \[ Q_{vy} = l_{vy} \frac{m_{\mathrm{vo}}}{2} = \SI{2257000}{\kilo\joule\per\kilogram} \cdot \frac{\SI{5}{\kilogram}}{2} \approx \SI{5.64}{\mega\joule}. \]

Všimnime si, že teplá potrebné na zohrievanie vzduchu a vody sú oveľa nižšie ako tie, ktoré sú potrebné na vyparovanie. Pre celkové teplo \(Q\) platí \[ Q = Q_{\mathrm{vo}} + Q_{\mathrm{vz}} + Q_{vy} \approx \SI{1.55}{\mega\joule} + \SI{0.46}{\mega\joule} + \SI{5.64}{\mega\joule} = \SI{7.65}{\mega\joule}. \]

Zadanie sa teda vlastne pýta, ako dlho bude žiarovke s príkonom \(\SI{60}{\watt}\) trvať, kým vyprodukuje teplo \(Q\). Keďže sú steny dokonale odrazivé, všetok príkon žiarovky sa zmení na teplo.

Počítajme čas \(t = \frac{Q}{P} \approx \frac{\SI{7.65}{\mega\joule}}{\SI{60}{\watt}} \approx \SI{35.4}{\hour}\). Čiže Kai sa musí vrátiť asi o deň a pol.

Poznámka o energii elektromagnetického poľa

Zamýšľali ste sa niekedy nad tým, akým mechanizmom sa voda v záchode zahrieva? Nie je to vedením, ani prúdením, ale žiarením. Voda by sa zohriala, aj keby v miestnosti bolo vákuum. To ale znamená, že potrebujeme niečo, čo túto energiu prenáša. A to niečo je elektromagnetické (EM) pole (svetlo, infračervené a ultrafialové žiarenie). Keď zažneme žiarovku, v miestnosti sa vytvorí EM pole a celý dodaný výkon sa vyžiari v podobe energie tohto poľa. Keďže steny miestnosti sú dokonale odrazivé, EM pole nemá ako uniknúť a pri interakcii s hmotou sa jeho energia využíva na jej zahrievanie.

Poďme odhadnúť, akú energiu má EM pole v miestnosti. Keďže väčšinu energie nakoniec absorbuje voda v záchode, pre jednoduchosť úvah vzduch teraz neuvažujme. Ak je príkon žiarovky \(\SI{60}{\watt}\), znamená to, že každú sekundu vyžiari do miestnosti energiu \(\SI{60}{\joule}\). Môžeme predpokladať, že energia je v miestnosti viac-menej rovnomerne rozložená. Za sekundu totiž fotón prejde vzdialenosť \(\SI{300000}{\kilo\metre}\). Keďže rozmery miestnosti sú rádovo meter, za sekundu sa odrazí niekoľkostomiliónkrát, čo bohate stačí na to, aby bola hustota fotónov v celej miestnosti konštantná. Keď však fotón doputuje do záchodovej misy, okamžite zinteraguje s vodou, čím ju zahreje.

Pre jednoduchosť predpokladajme, že každý fotón, ktorý sa odrazí do vody, je ňou pohltený. To znamená, že fotóny sú jednak nepretržite do miestnosti dodávané žiarovkou, ako i pohlcované vodou. Rovnováha nastane, keď je za sekundu do miestnosti vyžiarené rovnaké množstvo fotónov aké je pohltené vodou. Vtedy sa množstvo energie EM poľa v miestnosti už nemení.

Nech je hustota energie EM poľa v miestnosti \(u\) a nech je povrch vody v mise, cez ktorý do nej vnikajú fotóny, \(S\). Potom za krátky časový interval \(\mathop{}\!\mathrm{d}{t}\) fotóny preniknú do objemu \(Sc\mathop{}\!\mathrm{d}{t}\), a teda vo vode sa pohltí energia \(uSc\mathop{}\!\mathrm{d}{t}\), kde \(c\) je rýchlosť svetla. V stave rovnováhy je za rovnaký čas žiarovkou dodané rovnaké množstvo energie \(P\mathop{}\!\mathrm{d}{t}\). Na základe toho pre hustotu energie EM poľa v miestnosti dostávame

\[ uSc\mathop{}\!\mathrm{d}{t} \stackrel{!}{=} P\mathop{}\!\mathrm{d}{t} \quad\implies\quad u=\frac{P}{Sc} \sim \SI{1.e-6}{\joule\per\metre\cubed}. \]

Keďže objem miestnosti sú rádovo jednotky metrov kubických, energia v podobe EM poľa je v miestnosti zanedbateľná.² Toto množstvo energie sa žiarovkou vyžiari za zhruba \(\SI{1.e-7}{\second}\). To je stále dosť času na to, aby sa fotón stihol poodrážať pred tým, než je pohltený, v priemere desiatkykrát. Fotóny budú preto v miestnosti naozaj pomerne dobre rozptýlené.