Pre jednoduchosť budeme špeciálnu kvapalinu v celom riešení označovať aj nazývať voda. Najprv sa skúsme zamyslieť, čo sa v tejto úlohe vlastne deje.

Žiarovka postupne zohrieva vzduch a kvapalinu v miestnosti. Toto prebieha tak, že aj vzduch aj kvapalina majú stále rovnakú (len čím ďalej vyššiu) teplotu¹, keďže aj medzi nimi dochádza k tepelnej výmene. Takže potrebujeme, aby aj vzduch, aj kvapalina mali MATH_STASH_0_ENDSTASH. Potom sa všetko zvyšné teplo bude konať na kvapaline a bude spôsobovať odparovanie. Máme teda tri rôzne javy, ktoré spotrebovávajú teplo:

• zohriatie vzduchu z MATH_STASH_1_ENDSTASH na MATH_STASH_2_ENDSTASH, označíme MATH_STASH_3_ENDSTASH
• zohriatie vody z MATH_STASH_4_ENDSTASH na MATH_STASH_5_ENDSTASH, označíme MATH_STASH_6_ENDSTASH
• vyparovanie vody, označíme MATH_STASH_7_ENDSTASH

Ďalej budeme potrebovať nejaké hodnoty konštánt:

• hustota vzduchu pri MATH_STASH_8_ENDSTASH (rozdiel oproti MATH_STASH_9_ENDSTASH je minimálny) MATH_STASH_10_ENDSTASH
• hustota vody MATH_STASH_11_ENDSTASH
• merná tepelná kapacita vzduchu pri MATH_STASH_12_ENDSTASH (rozdiel oproti MATH_STASH_13_ENDSTASH je minimálny) MATH_STASH_14_ENDSTASH
• merná tepelná kapacita vody MATH_STASH_15_ENDSTASH
• merné teplo vyparovania MATH_STASH_16_ENDSTASH

Konštanty máme z Matematických, fyzikálnych a chemických tabuliek pre stredné školy, rok vydania 1992.

V tomto momente treba poznamenať, že dané veličiny (najmä hustoty) sú závislé od teploty komplikovanými (často empirickými) vzťahmi a nie sú konštantné. Je to jedno z mnohých zanedbaní, ktoré v tejto úlohe robíme.

Ešte predtým, ako vypočítame jednotlivé teplá, by sa hodilo vyjadriť si hmotnosti vzduchu a vody MATH_STASH_17_ENDSTASH

Poďme teraz vypočítať jednotlivé teplá. Použijeme známy vzorec MATH_STASH_18_ENDSTASH a MATH_STASH_19_ENDSTASH. Ak ich nepoznáte, odporúčam vám prestať čítať a opýtať sa AI :D.

Takže platí MATH_STASH_20_ENDSTASH

Pri teple potrebnom na vyparovanie berieme polovičnú hmotnosť vody, MATH_STASH_21_ENDSTASH

Všimnime si, že teplá potrebné na zohrievanie vzduchu a vody sú oveľa nižšie ako tie, ktoré sú potrebné na vyparovanie. Pre celkové teplo MATH_STASH_22_ENDSTASH platí MATH_STASH_23_ENDSTASH

Zadanie sa teda vlastne pýta, ako dlho bude žiarovke s príkonom MATH_STASH_24_ENDSTASH trvať, kým vyprodukuje teplo MATH_STASH_25_ENDSTASH. Keďže sú steny dokonale odrazivé, všetok príkon žiarovky sa zmení na teplo.

Počítajme čas MATH_STASH_26_ENDSTASH. Čiže Kai sa musí vrátiť asi o deň a pol.

Poznámka o energii elektromagnetického poľa

Zamýšľali ste sa niekedy nad tým, akým mechanizmom sa voda v záchode zahrieva? Nie je to vedením, ani prúdením, ale žiarením. Voda by sa zohriala, aj keby v miestnosti bolo vákuum. To ale znamená, že potrebujeme niečo, čo túto energiu prenáša. A to niečo je elektromagnetické (EM) pole (svetlo, infračervené a ultrafialové žiarenie). Keď zažneme žiarovku, v miestnosti sa vytvorí EM pole a celý dodaný výkon sa vyžiari v podobe energie tohto poľa. Keďže steny miestnosti sú dokonale odrazivé, EM pole nemá ako uniknúť a pri interakcii s hmotou sa jeho energia využíva na jej zahrievanie.

Poďme odhadnúť, akú energiu má EM pole v miestnosti. Keďže väčšinu energie nakoniec absorbuje voda v záchode, pre jednoduchosť úvah vzduch teraz neuvažujme. Ak je príkon žiarovky MATH_STASH_27_ENDSTASH, znamená to, že každú sekundu vyžiari do miestnosti energiu MATH_STASH_28_ENDSTASH. Môžeme predpokladať, že energia je v miestnosti viac-menej rovnomerne rozložená. Za sekundu totiž fotón prejde vzdialenosť MATH_STASH_29_ENDSTASH. Keďže rozmery miestnosti sú rádovo meter, za sekundu sa odrazí niekoľkostomiliónkrát, čo bohate stačí na to, aby bola hustota fotónov v celej miestnosti konštantná. Keď však fotón doputuje do záchodovej misy, okamžite zinteraguje s vodou, čím ju zahreje.

Pre jednoduchosť predpokladajme, že každý fotón, ktorý sa odrazí do vody, je ňou pohltený. To znamená, že fotóny sú jednak nepretržite do miestnosti dodávané žiarovkou, ako i pohlcované vodou. Rovnováha nastane, keď je za sekundu do miestnosti vyžiarené rovnaké množstvo fotónov aké je pohltené vodou. Vtedy sa množstvo energie EM poľa v miestnosti už nemení.

Nech je hustota energie EM poľa v miestnosti MATH_STASH_30_ENDSTASH a nech je povrch vody v mise, cez ktorý do nej vnikajú fotóny, MATH_STASH_31_ENDSTASH. Potom za krátky časový interval MATH_STASH_32_ENDSTASH fotóny preniknú do objemu MATH_STASH_33_ENDSTASH, a teda vo vode sa pohltí energia MATH_STASH_34_ENDSTASH, kde MATH_STASH_35_ENDSTASH je rýchlosť svetla. V stave rovnováhy je za rovnaký čas žiarovkou dodané rovnaké množstvo energie MATH_STASH_36_ENDSTASH. Na základe toho pre hustotu energie EM poľa v miestnosti dostávame

MATH_STASH_37_ENDSTASH

Keďže objem miestnosti sú rádovo jednotky metrov kubických, energia v podobe EM poľa je v miestnosti zanedbateľná.² Toto množstvo energie sa žiarovkou vyžiari za zhruba MATH_STASH_38_ENDSTASH. To je stále dosť času na to, aby sa fotón stihol poodrážať pred tým, než je pohltený, v priemere desiatkykrát. Fotóny budú preto v miestnosti naozaj pomerne dobre rozptýlené.