“Zadajme úlohu s kruhovým dejom!” “Myslíš cyklickým dejom?” “Môžeme zadať dej v tvare kruhu…”
Majme kruhový termodynamický dej s ideálnym plynom taký, že jeho diagram má tvar ľubovoľnej kružnice (nie bodu) na:
$p$-$V$ diagrame,
$p$-$T$ diagrame,
$V$-$T$ diagrame.
Pre každú z týchto situácií prekreslite dej do ostatných dvoch diagramov (teda finálne očakávame šesť diagramov). A čo nás bude najviac zaujímať pri hodnotení? No predsa postup prekresľovania a jeho fyzikálne odôvodnenie.
Pri riešení budeme potrebovať stavovú rovnicu ideálneho plynu. V tomto prípade nás nebudú zaujímať číselné výsledky, ale len kvalitatívne. Preto pre zjednodušenie budeme robiť úvahy s plynom, pre ktorý platí $Nk_B = 1$. Stavová rovnica bude mať tvar $$ pV = Nk_BT = T. \qquad(1)$$
Ako druhé budeme potrebovať nejako zapísať, že ide o kruhový dej. Ak si zoberieme napríklad kruhový dej v $p$-$V$ diagrame, tak všetky body, cez ktoré bude prechádzať, musia mať rovnakú vzdialenosť od nejakého vybraného bodu (stredu kružnice). Tento fakt vieme matematicky zapísať ako rovnicu kružnice $$ (p - p_0)^2 + (V - V_0)^2 = R^2, \qquad(2)$$ kde bod $(p_0, V_0)$ je stred kružnice a $R$ je jej polomer. Tento výraz sa nám ako fyzikom nemusí pozdávať, lebo vyzerá, že sčítavame tlak s objemom a dostaneme niečo bezrozmerné, čo až kričí rozmerovým problémom. V tomto prípade to ale nie je problém, lebo v tejto rovnici chápeme $p$ a $V$ čisto matematicky ako súradnice.1
Ako prekreslíme dej, ktorého body spĺňajú rovnicu 2? Pozrime sa najskôr, čo nám tá rovnica hovorí. Dáva nám podmienku, ktorá musí platiť pre body $(p, V)$. Ako ale vieme, tieto body opisujú rôzne stavy, v ktorých sa plyn bude počas deja nachádzať. Preto tá istá podmienka musí platiť aj pre body $(p, T)$ a $(V, T)$. Aby sme ich ale vedeli nakresliť, musíme rovnicu 2 prepísať do premenných $p$, $T$, resp. $V$, $T$. Na to nám poslúži stavová rovnica ideálneho plynu 1. Vieme si teda vyjadriť, že v $p$-$T$ diagrame budú body spĺňať rovnicu $$ (p - p_0)^2 + \left(\frac{T}{p} - V_0\right)^2 = R^2 $$ a vo $V$-$T$ diagrame $$ \left(\frac{T}{V} - p_0\right) + (V - V_0)^2 = R^2. $$
Na vykreslenie bodov, ktoré spĺňajú takúto rovnicu, vieme použiť grafický nástroj podľa preferencií.2 Pri prekresľovaní by sme sa mali ešte zamyslieť nad smerom, v ktorom dej prebieha. Na to nám stačí zaznačiť, kam sa prekreslia $4$ konkrétne body, a tie nám už určia, či sa zmenila orientácia. Z diagramov vidíme, že orientácia sa mení vždy pri $V$-$T$ diagrame.3
Pri vykresľovaní musíme ešte nastaviť parametre $p_0$, $V_0$ a $R$. My sme pre jednoduchosť položili $p_0 = 2$, $V_0 = 3$ ($T_0 = 6$) a $R = 1$. Aby sme ešte boli v zhode s konvenciou, na $y$-ovú os dávame veličinu, ktorá je prvá v názve diagramu. Na obrázkoch môžeme vidieť dej, ktorý je kruhový v $p$-$V$ diagrame prekreslený do zvyšných diagramov modrou.
Úplne analogicky skonštruujeme aj ostatné prekreslenia.
Premyslite si, že kvôli tomu by to nebola pre všetkých kružnica. Keby rovnaký dej niekto prekreslil v iných jednotkách (napríklad by len $\unit{\cubic\metre}$ zamenil za litre), nedostal by zrazu kružnicu, ale elipsu. ↩
Jednoduché na použitie sú napríklad Desmos alebo GeoGebra. ↩
Samozrejme, toto vieme odvodiť aj na základe úvah. Vyskúšajte si to. Pomocou týchto úvah vieme povedať, že k takémuto otočeniu bude dochádzať pri každom deji a nie len kruhovom. ↩