Posádka lode Bludný Holanďan vie, ako dostať svoju loď pod vodu: jednoducho donesie na palubu obrovské závažie, vďaka ktorému má Holanďan väčšiu hustotu ako voda (voda má hustotu $\rho_v$). To spravili aj teraz, a kvôli tomu loď klesla na dno, a to tak, že špička sťažňa1 sa nachádzala v hĺbke $h$ pod hladinou vody. Teraz sa chce Holanďan opäť vynoriť, preto posádka odhodí závažie, čím spôsobí, že Holanďan má zrazu priemernú hustotu $\rho_T < \rho_v$. Keďže Holanďan sa chce ďalej plaviť smerom na sever, veslári nestrácajú čas a v tom istom momente ako sa loď zbaví závažia, začnú veslovať smerom na sever, čím spôsobia, že v horizontálnom smere loď ihneď naberie konštantnú rýchlosť $v_x$ smerom na sever. Akú celkovú dráhu prejde Bludný Holanďan do momentu, kým sa špička sťažňa nezačne vynárať nad hladinu? Bludný Holanďan je celkom odporný sám osebe, preto už ďalší odpor uvažovať nemusíte (napríklad odpor lode pri vynáraní). Zároveň je však pomerne zázračný, a preto uvažujte, že do neho nezateká ani keď je ponorený pod vodou (teda jeho hustota sa naozaj mení len nabratím či vyhodením závažia).
Najvyššie položená časť lode. ↩
Ako prvé by sme sa chceli ospravedlniť za chybnú formuláciu úlohy. Zadanie sa totiž pýta, akú dráhu Holanďan prešiel, teda sa pýta na dĺžku parabolickej dráhy. Aby sme ju zistili, bolo by treba použiť integrovanie. To samozrejme nebolo naším cieľom, miesto toho sme sa chceli spýtať len na vzdialenosť, ktorú Holanďan prejde, t. j. na jeho posunutie od začiatočnej pozície. Mnohí z vás úlohu riešili takto, a teda vám bola opravená, ako keby v zadaní bolo naozaj miesto slova “dráha” slovo “vzdialenosť”. Tí z vás, ktorí ste sa pokúšali zrátať dĺžku parabolickej dráhy (integrálom) ste dostali 9 bodov, ak ste v postupe riešenia úlohy do začiatku integrovania nespravili žiadnu chybu, a teda ste správne zrátali celý zvyšok úlohy. Ak vám boli strhnuté body, boli strhnuté za chyby spravené v tej časti postupu, ktorý bolo treba spraviť bez ohľadu na to, či počítame dráhu alebo vzdialenosť. Ospravedlňujeme sa za spôsobené nepríjemnosti.
Poďme už teraz na samotné riešenie úlohy. Aby sme zistili, o akú vzdialenosť sa Holanďan posunul, potrebujeme vedieť, akú vzdialenosť prešiel vo vertikálnom a akú vzdialenosť prešiel v horizontálnom smere. Vo vertikálnom je to jednoduché – kým sa sťažeň nezačal vynárať, posunul sa o vzdialenosť $h$. No aby sme zistili, o koľko sa posunul v horizontálnom smere, potrebujeme vedieť okrem toho, akou rýchlosťou sa hýbal (to vieme, to je $v_x$) aj čas, ako dlho sa pohyboval.
Označme si tento čas $t$. Vieme, že sa hýbal presne tak dlho, ako dlhu mu trvalo, aby sa jeho sťažeň začal vynárať. To, ako dlho mu to trvalo je samozrejme ovplyvňované tým, aká sila naňho pôsobí smerom nahor. Poďme si teda túto silu vyrátať. Vieme, že smerom nadol na Holanďana pôsobí tiažová sila, zatiaľ čo smerom nahor naňho pôsobí vztlaková. Výsledná sila smerom nahor teda bude $$ F = F_{vz} - F_g. $$ Dosaďme si za obe sily hodnoty zo zadania, pričom si označme objem Holanďana, ktorý nepoznáme, $V_T$ a jeho hmotnosť $m_T$. Potom máme $$ \begin{aligned} F &= V_T \cdot \rho_v \cdot g - m_T \cdot g, \ F &= V_T \cdot \rho_v \cdot g - V_T \cdot \rho_T \cdot g, \ F &= V_T \cdot g \cdot (\rho_V - \rho_T). \end{aligned} $$
Teraz nás zaujíma, aké zrýchlenie táto sila spôsobí. To určíme z druhého Newtonovho zákona ako $a = F/m$, čiže $$ \begin{aligned} a &= \frac{F}{m_T}, \ a &= \frac{V_T \cdot g \cdot (\rho_V - \rho_T)}{V_T \cdot \rho_T}, \ a &= \frac{g \cdot (\rho_V - \rho_T)}{\rho_T}. \end{aligned} $$ Je super, že sa nám vykrátil objem Holanďana, keďže ten ani nemáme zadaný. Teraz už nám len stačí pomocou tohto zrýchlenia zistiť, ako dlho bude Holanďanovi trvať, než sa začne vynárať. Na to použijeme vzorec na rovnomerne zrýchlený pohyb (pamätajme, že sa teraz pozeráme len na vertikálny smer). Označme si čas, kým sa Holanďan začne vynárať $t_1$, čo znamená, že $$ \begin{aligned} h &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot t_1^2, \ t_1 &= \sqrt{\frac{2 \cdot h}{a}}, \ t_1 &= \sqrt{\frac{2 \cdot h}{\frac{g \cdot (\rho_V - \rho_T)}{\rho_T}}}, \ t_1 &= \sqrt{\frac{2 \cdot h \cdot \rho_T}{g \cdot (\rho_V - \rho_T)}}. \end{aligned} $$
Keď už poznáme čas, vieme si určiť, ako dlho sa Holanďan pohyboval v horizontálnom smere. Vzdialenosť $s_x$ bude proste $s_x = v_x \cdot t$, teda $$ \begin{aligned} s_x &= v_x \cdot t_1, \ s_x &= v_x \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h \cdot \rho_T}{g \cdot (\rho_V - \rho_T)}}. \end{aligned} $$
Teraz už máme vyjadrenú vzdialenosť aj vo vertikálnom smere ($h$), aj v horizontálnom ($s_x$). Celkovú vzdialenosť, o ktorú sa Holanďan posunie si teraz vieme vypočítať pomocou Pytagorovej vety ako preponu v trojuholníku so stranami $h$ a $s_x$. Označme si túto vzdialenosť $d$, ktorá je rovná $$ \begin{aligned} d &= \sqrt{h^2 + s_x^2}, \ d &= \sqrt{h^2 + \left({v_x \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h \cdot \rho_T}{g \cdot (\rho_V - \rho_T)}}}\right)^2}, \ d &= \sqrt{h^2 + v_x^2 \cdot {\frac{2 \cdot h \cdot \rho_T}{g \cdot (\rho_V - \rho_T)}}}. \end{aligned} $$
To je teda vzdialenosť, o ktorú sa Holanďan posunie.
Dodatok: Poďme si ešte doplniť aj to, ako by riešenie vyzeralo, keby sa pýtame na dráhu. Vtedy by sme si najprv potrebovali vyjadriť rýchlosť, ktorou sa Holanďan hýbe v každom momente. V horizontálnom smere sa Holanďan hýbe rýchlosťou $v_x$, vo vertikálnom si jeho rýchlosť v akomkoľvek čase $t$ vieme vyjadriť ako $v_y = a \cdot t$. Jeho celkovú rýchlosť v čase $t$ teda vyrátame pomocou Pytagorovej vety ako $$ \begin{aligned} v &= \sqrt{v_x^2 + (at)^2}, \ v &= \sqrt{v_x^2 + a^2 \cdot t^2}. \end{aligned} $$ Teraz už len stačí zintegrovať túto rýchlosť podľa času od začiatku pohybu Holanďa až do času $t_1$ $$ s = \Int[0][t_1]{\sqrt{v_x^2 + a^2 \cdot t^2}}{t}. $$ Zintegrovanie tohto výrazu (čím by bolo treba zakončiť riešenie, keby sme počítali dráhu) nie je tak úplne krátky proces, preto ho v záujme dĺžky tohto vzoráku necháme na čitateľovi.