Ahojte. Ja, súc poznačený dvomi semestrami nebeskej mechaniky, som dostal nápad, ako riešiť túto úlohu. Lopta sa bude hýbať po parabole a my túto parabolu vyjadríme dvomi spôsobmi – pomocou geometrie a pomocou fyziky, a potom tieto dve vyjadrenia porovnáme (v nebeskej mechanike sa takto dvomi spôsobmi opisujú kužeľosečky, najčastejšie elipsy).

Čo potrebujeme poznať, aby sme jednoznačne určili parabolu? No predsa tri body ležiace na parabole, lebo v jej predpise sú tri koeficienty. My vieme, že lopta ide z Patrikových rúk do koša. To sú dva body. Ale my nepotrebujeme nutne poznať tri body. Stačí nám poznať dva a sklon dotyčnice k parabole v jednom bode, teda deriváciu[^1]. Tento sklon zistíme z podmienky, že Patrik chce hodiť loptu pod čo najmenším uhlom. Patrik môže loptu hodiť veľmi vysoko, a vtedy lopta padne cez obruč skoro kolmo dole. Môže ju hodiť aj pod plytším uhlom (a menšou rýchlosťou), kvôli čomu lopta preletí cez kôš už nie až tak kolmo dole. No a najmenší uhol, pod ktorým Patrik môže hodiť loptu je taký, kde lopta len štrajchne prednú časť obruče zvrchu a zadnú zospodu.

Keďže kôš je oveľa menší ako vzdialenosť Patrika od koša, predpokladajme, že na malom úseku lopta prechádza obručou po priamke. To nám umožňuje určiť uhol (deriváciu), pod ktorým prejde obručou, čo je znázornené na obrázku 1.

obrázok 1: Lopta letiaca skrzevá obruč

Ak obruč má priemer $d$ a lopta $d/2$, tak jednoducho vyjadríme uhol $\alpha$ z pravouhlého trojuholníka ako $$ \sin\alpha = \frac{d/2}{d} = \frac{1}{2} \Implies \alpha = \ang{30}. \qquad{(1)}$$

Teraz si povedzme, že lopta opustí Patrikove ruky vo výške $h_0 = \SI{2}{\metre}$ a jeho vodorovná súradnica je nulová. Kôš nech je vzdialený $l = \SI{7}{\metre}$ od Patrika a je $h_1 = \SI{3}{\metre}$ vysoko. Lopta teda prechádza bodmi $[0, h_0]$ a $[l, h_1]$. Všeobecný predpis paraboly je $$ y = ax^2 + bx + c. $$ Po dosadení polohy Patrikových rúk do tohto predpisu dostávame, že $c = h_0$, lebo $$ h_0 = 0 + 0 + c \Implies h_0 = c. $$ Po dosadení druhého bodu máme $$ h_1 = al^2 + bl + h_0. \qquad{(2)}$$

Teraz zderivujme všeobecný predpis paraboly, čiže $$ \Drv{y}{x} = 2ax + b, $$ čo vyčíslené pre kôš ($x = l$) dáva $$ \DrvEval{y}{x}{l} = 2al + b. $$ Túto deriváciu my poznáme, pretože derivácia je tangens sklonu $\alpha$. Musíme však pridať aj mínusko, lebo derivácia je pri klesaní cez kôš záporná. Preto $$ 2al + b = -\tan\alpha \Implies b = -\tan\alpha - 2al. \qquad{(3)}$$ Toto vyjadrenie $b$ dosadíme do rovnice 2, čím dostávame $$ h_1 = al^2 + \left(-\tan\alpha - 2al\right) l + h_0 \Implies a = -\frac{\tan\alpha}{l} - \frac{h_1 - h_0}{l^2}. $$ Spätným dosadením tohto $a$ do rovnice 3 máme $$ b = 2\frac{h_1 - h_0}{l} + \tan\alpha. $$

Super, už sme vyjadrili parabolu z geometrických podmienok, čím sme dostali jej predpis $$ y = \left(-\frac{\tan\alpha}{l} - \frac{h_1 - h_0}{l^2}\right) x^2 + \left(2\frac{h_1 - h_0}{l} + \tan\alpha\right) x + h_0. \qquad{(4)}$$

Teraz si vyjadrime parabolu vediac, že za jej tvar môže gravitačné zrýchlenie. Ak Patrik hodí loptu rýchlosťou $v_0$ pod uhlom $\beta$ voči vodorovnému smeru, jej výška sa bude v čase $t$ meniť ako $$ y = -\frac{1}{2} g t^2 + v_0 t \sin\beta + h_0. \qquad{(5)}$$ Čas $t$ musíme prerobiť na vodorovnú vzdialenosť $x$, aby sme to vedeli porovnať s rovnicou 4. Keďže vodorovná zložka rýchlosti sa nemení, celý čas je rovná $v_0 \cos\beta$, preto vzdialenosť $x$ prejde za čas $t = x/(v_0 \cos\beta)$. Preto sa z rovnice 5 stane $$ y = -\frac{gx^2}{2 v_0^2 \cos^2 \beta} + x \tan\beta + h_0. \qquad{(6)}$$

Bingo! Už len porovnáme koeficienty pri $x$ v rovniciach 4 a 6, odkiaľ máme pre hodnoty zo zadania $$ \tan\beta = \frac{2}{l} (h_1 - h_0) + \tan\alpha = \frac{2}{7} + \frac{1}{\sqrt{3}} \Implies \beta = \ang{40.80}. $$ Patrik teda musí hodiť loptu minimálne pod uhlom $\ang{40.80}$, aby trafil čistý kôš. Ak by sme chceli zistiť aj rýchlosť $v_0$, porovnáme koeficienty pri $x^2$ v rovniciach 4 a 6.

Ak nevieš derivovať

Ak nevieš derivovať, stále vieš zistiť, že lopta musí prejsť košom pod uhlom $\alpha = \ang{30}$. V takom prípade pre pomer vodorovnej rýchlosti $v_x$ a zvislej rýchlosti $v_y$ lopty platí $$ \tan\alpha = \frac{|v_y|}{|v_x|}. $$ Ak Patrik hodí loptu rýchlosťou $v_0$ pod uhlom $\beta$ voči vodorovnému smeru, tak $v_x = v_0 \cos\beta$. Cesta do koša jej preto trvá $t = l/(v_0 \cos\beta)$, kde $l = \SI{7}{\metre}$ je vodorovná vzdialenosť od Patrika ku košu. A keďže pre zvislú zložku rýchlosti platí $v_y = v_0 \sin\beta - gt$, tak po dosadení $t$ dostávame, že po prejdení vodorovnej dráhy $l$ je $$ \tan\alpha = \frac{|v_0 \sin\beta - gt|}{|v_0 \cos\beta|} = \frac{gt - v_0 \sin\beta}{v_0 \cos\beta} = \frac{g \frac{l}{(v_0 \cos\beta)} - v_0 \sin\beta}{v_0 \cos\beta}. $$

Zatiaľ máme jednu rovnicu pre dve neznáme $v_0$ a $\beta$, potrebovali by sme preto ešte jednu. Zvislá zložka rýchlosti sa v čase mení ako $v_y = v_0 \sin\beta - gt$. Na vrchole paraboly je $v_y = 0$, a preto lopte trvá vystúpať do maximálnej výšky čas $t = v_0 \sin\beta / g$. A ak od celkového času odčítame čas stúpania, zistíme, že v druhej časti paraboly lopta klesala čas $l/(v_0 \cos\beta) - v_0 \sin\beta / g$. Teraz si len treba uvedomiť, kôš je o meter vyššie ako Patrikove ruky, teda lopta nastúpala o meter viac ako klesla. To rovnicou zapíšeme ako $$ \frac{1}{2} g \left(\frac{v_0 \sin\beta}{g}\right)^2 - \frac{1}{2} g \left(\frac{l}{(v_0 \cos\beta)} - \frac{v_0 \sin\beta}{g}\right)^2 = \SI{1}{\metre}. $$

Tak už máme dve rovnice, z ktorých vieme (asi?) vyjadriť $v_0$ a $\beta$. Najjednoduchšie je spoľahnúť sa na Wolfram Alpha, odkiaľ máme výsledok $\beta = \ang{40.80}$.