Medzi vedúcimi sa nenašiel nikto, kto by bol ochotný so mnou strácať čas, a tak si musíme moment zotrvačnosti trojuholníkového rámu zrátať sami. A keďže chceme mať istotu, že to máme zrátané dobre, urobíme to až na tri spôsoby. Začnime tým, že si ujasníme, čo to vlastne počítame.

Moment zotrvačnosti telesa okolo nejakej pevnej osi je daný ako súčet štvorcov vzdialeností všetkých elementíkov telesa od osi, vážený ich hmotnosťami, $$ J=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}\textrm{,} $$ pričom elementíky môžu byť podľa potreby makroskopické i infinitezimálne. Kľúčom k vyriešeniu úlohy je teda správne si trojuholník rozdeliť a spočítať príspevky od jednotlivých častí (prípadne ho doplniť na niečo, čoho moment zotrvačnosti vieme nájsť jednoduchšie).

Takže hor sa do počítania!

1. spôsob - vyskladanie z

paličiek

Jednou možnosťou je rozdeliť si trojuholník na 3 paličky. Moment zotrvačnosti paličky s hmotnosťou $\mu$ a dĺžkou $l$ okolo jej stredu buď poznáme – $J_{|}=\frac{1}{12}\mu l^{2}$ – alebo ho nájdeme integrovaním alebo kombináciou škálovania a použitia Steinerovej vety[^1].

Trojuholník pozostáva z jednej paličky kolmej na os otáčania, ktorého moment zotrvačnosti je triviálne $J_{-}=\frac{1}{12}\frac{m}{3}\ell^{2}$, a z dvoch šikmých paličiek. Uvedomme si ale, že moment zotrvačnosti závisí len od kolmej vzdialenosti, preto moment zotrvačnosti naklonenej paličky (alebo ľubovoľne zalomenej paličky, ktorá má v každej vzdialenosti od osi rovnakú hmotnosť) je rovnaký ako moment zotrvačnosti kolmej paličky siahajúcej do takej istej vzdialenosti od osi ako naklonená palička a s rovnakou hmotnosťou, teda $J_{/\backslash}=\frac{1}{12}\frac{2}{3}m\ell^{2}=\frac{1}{18}m\ell^{2}.$ Celkový moment zotrvačnosti trojuholníkového rámu okolo ťažnice je teda $$ J_{\vartriangle}=J_{|}+J_{/\backslash}=\frac{1}{36}m\ell^{2}+\frac{1}{18}m\ell^{2}=\frac{1}{12}m\ell^{2}\textrm{.} $$

Toto ale nie je vôbec žiadne prekvapenie. Stačí, že si uvedomíme, že rovnostranný trojuholník má tú vlastnosť, že v každej vzdialenosti od osi otáčania (teda ťažnice) má rovnakú hmotnosť – presne ako palička. Preto aj jeho moment zotrvačnosti bude rovnaký ako moment zotrvačnosti paličky okolo stredu s rovnakou hmotnosťou a dĺžkou rovnou dĺžke strany trojuholníka.

2.

spôsob – vyskladaním veľkého trojuholníka z troch malých

Uvažujme, že hľadaný moment zotrvačnosti bude výraz tvaru $J_{\vartriangle}=km\ell^{2}$, kde $k$ je nejaká bezrozmerná konštanta. Zoberme tri identické trojuholníky a vyskladajme ich tak, že z nich vytvoríme jeden veľký trojuholník so stranou $2\ell$ rozdelený strednými priečkami. Moment zotrvačnosti takéhoto trojuholníka nájdeme ako súčet momentov zotrvačnosti jednotlivých trojuholníkov.

Využijeme pri tom Steinerovu vetu, ktorá hovorí, že ak moment zotrvačnosti nejakého telesa okolo osi prechádzajúcej jej ťažiskom je $J_{0}$, tak moment zotrvačnosti okolo osi rovnobežnej s touto osou, ktorá je vo vzdialenosti $d$, je $J=J_{0}+md^{2}$.

Takže moment zotrvačnosti zloženého trojuholníka je $$ J_{3\vartriangle}=J_{\vartriangle}+2\left(J_{\vartriangle}+m\left(\frac{\ell}{2}\right)^{2}\right) =3km\ell^{2}+m\frac{\ell^{2}}{2}\textrm{.} $$

Zároveň ale možno uvažovaný zložený trojuholník považovať za útvar zložený z jedného veľkého trojuholníka so stranou $2\ell$ a hmotnosťou $2m$ a jedného na vrchol postaveného malého trojuholníka. Moment zotrvačnosti v takom prípade vyjadríme ako $$ J_{\vartriangle\triangledown}=k2m\left(2\ell\right)^{2}+km\ell^{2}=9km\ell^{2}\textrm{.} $$

Tieto dva momenty sa musia rovnať, čiže $$ 3km\ell^{2}+m\frac{\ell^{2}}{2}\stackrel{!}{=}9km\ell^{2}\quad\implies\quad k=\frac{1}{12}\textrm{,} $$ teda hľadaný moment zotrvačnosti trojuholníka je $J_{\vartriangle}=\frac{1}{12}m\ell^{2}$.

3. spôsob – pomocou plného

trojuholníka

Tentokrát začnime tým, že budeme uvažovať plný trojuholník so stranou $\ell$ a plošnou hustotou $\sigma$. Moment zotrvačnosti takéhoto trojuholníka budeme opäť hľadať v tvare $J_{\blacktriangle}=KM\ell^{2}$, kde $M=\sigma\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^{2}$ je hmotnosť tohto trojuholníka.

Uvažujme teraz dvakrát taký veľký plný trojuholník. Jeho hmotnosť bude štvornásobná a jeho moment zotrvačnosti teda bude $$ J_{B\blacktriangle}=K4M\left(2\ell\right)^{2}=16KM\ell^{2}\textrm{.} $$

Zároveň možno ale tento trojuholník vyskladať zo štyroch malých plných trojuholníkov, takže možno jeho moment zotrvačnosti vyjadriť ako $$ J_{\blacklozenge+\blacktriangle\blacktriangle}=2KM\ell^{2}+2\left(KM\ell^{2}+M\left(\frac{\ell}{2}\right)^{2}\right) =4KM\ell^{2}+M\frac{\ell^{2}}{2}\textrm{.} $$

Z rovnosti uvedených dvoch výrazov dostávame $$ 16KM\ell^{2}\stackrel{!}{=}4KM\ell^{2}+M\frac{\ell^{2}}{2}\quad\implies\quad K=\frac{1}{24}\textrm{.} $$ Moment zotrvačnosti plného trojuholníka je teda $J_{\blacktriangle}=\frac{1}{24}M\ell^{2}$, alebo vyjadrené pomocou plošnej hustoty $J_{\blacktriangle}=\frac{\sqrt{3}}{96}\sigma\ell^{4}$.

Moment zotrvačnosti prázdneho trojuholníka potom dostaneme ako prírastok momentu zotrvačnosti plného trojuholníka, keď jeho hranu predĺžime o $\Delta\ell$, čiže $$ J_{\vartriangle}=\frac{\sqrt{3}}{96}\sigma\left(\ell+\Delta\ell\right)^{4}-\frac{\sqrt{3}}{96}\sigma\ell^{4} \approx\frac{\sqrt{3}}{24}\sigma\ell^{3}\Delta\ell\textrm{.} $$

Problém s týmto vyjadrením je, že v ňom vystupuje plošná hustota plného trojuholníka. Náš dutý trojuholník však nič také ako plošná hustota nemá. Potrebujeme ju teda prepočítať na dĺžkovú hustotu dutého trojuholníka.

To urobíme tak, že uvážime, ako sa zmení hmotnosť plného trojuholníka, keď ho zväčšíme. Dostaneme $$ \Delta M=\sigma\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\ell+\Delta\ell\right)^{2}-\sigma\frac{\sqrt{3}}{4}\ell^{2} \approx\frac{\sqrt{3}}{2}\sigma\ell\Delta\ell\textrm{.} $$ Tento prírastok hmotnosti ale musí zodpovedať hmotnosti prázdneho trojuholníka $m=\lambda3\ell$, čiže $$ \frac{\sqrt{3}}{2}\sigma\ell\Delta\ell\stackrel{!}{=}3\lambda\ell\quad\implies\quad\sigma\Delta\ell =2\sqrt{3}\lambda\textrm{.} $$

Moment zotrvačnosti prázdneho trojuholníka je teda $$ J_{\vartriangle}=\frac{1}{4}\lambda\ell^{3}=\frac{1}{12}m\ell^{2}\textrm{.} $$

Bonus – integrovanie

Ďalším spôsobom, ako nájsť moment zotrvačnosti prázdneho trojuholníka, je ho priamo zintegrovať. Keďže ale naším cieľom nie je učiť vás integrovať, tak tu uvedieme tento výpočet bez komentára pre tých, ktorí integrovať vedia a pokúšali sa to riešiť týmto spôsobom: $$\begin{aligned} J_{\vartriangle} & =\int_{\vartriangle}r^{2}\mathrm{d}m=\ & =\int_{-}r^{2}\mathrm{d}m+\int_{/}r^{2}\mathrm{d}m+\int_{\backslash}r^{2}\mathrm{d}m=\ & =\int_{-\nicefrac{\ell}{2}}^{\nicefrac{\ell}{2}}x^{2}\lambda\mathrm{d}x+\int_{-\nicefrac{\ell}{2}}^{0}x^{2}\frac{\lambda}{\cos\frac{\pi}{3}}\mathrm{d}x+\int_{0}^{\nicefrac{\ell}{2}}x^{2}\frac{\lambda}{\cos\frac{\pi}{3}}\mathrm{d}x=\ & =\left[\lambda\frac{x^{3}}{3}\right]{-\nicefrac{\ell}{2}}^{\nicefrac{\ell}{2}}+\left[\frac{\lambda}{\cos\frac{\pi}{3}}\frac{x^{3}}{3}\right]=\ & =\left[\lambda\frac{\left(\nicefrac{\ell}{2}\right)^{3}}{3}-\lambda\frac{\left(-\nicefrac{\ell}{2}\right)^{3}}{3}\right]+\left[\frac{\lambda}{\cos\frac{\pi}{3}}\frac{0^{3}}{3}-\frac{\lambda}{\cos\frac{\pi}{3}}\frac{\left(-\nicefrac{\ell}{2}\right)^{3}}{3}\right]+\left[\frac{\lambda}{\cos\frac{\pi}{3}}\frac{\left(\nicefrac{\ell}{2}\right)^{3}}{3}-\frac{\lambda}{\cos\frac{\pi}{3}}\frac{0^{3}}{3}\right]=\ & =\frac{1}{4}\lambda\ell^{3}=\frac{1}{12}m\ell^{2}\textrm{.} \end{aligned}$$}{2}}^{0}+\left[\frac{\lambda}{\cos\frac{\pi}{3}}\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\nicefrac{\ell}{2}