Najskôr si poďme rozobrať situáciu. Na elektróny bude pôsobiť Lorentzova sila $$ \vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v}\times\vec{B}. $$ Prvý člen bude nulový, lebo elektrické pole je nulové. Druhý člen už nebude nulový, musíme však zistiť jeho smer. Pre výpočet vektorového súčinu môžeme využiť pravidlo pravej ruky. Preto, ak by sme si zaviedli súradnicový systém tak, že rýchlosti elektrónov sú v smere osi $x$ a $B$ je v smere osi $z$, tak vektor $\vec{v}\times\vec{B}$ bude v smere $-y$. Sila teda bude v smere $y$, keďže elektróny majú záporný náboj.

Aký pohyb budú ale elektróny vykonávať? Z vektorového súčinu vidno, že sila $F$ bude vždy kolmá na aktuálnu rýchlosť a vždy bude mať nulovú komponentu v smere osi $z$. Keďže je vždy kolmá, tak nebude na elektróne konať prácu, a teda veľkosť rýchlosti elektrónu bude stále rovnaká. Zároveň bude elektrón stáčaný konštantnou silou, teda dostredivou silou. Polomer a uhlovú frekvenciu vieme vypočítať ako $$ \frac{mv^2}{r} = evB \qquad\rightarrow\qquad r = \frac{m}{eB}v \qquad\text{a}\qquad \omega = \frac{v}{r} = \frac{eB}{m}. $$ Využili sme pri tom, že veľkosť $\vec{v}\times\vec{B} = vB\sin\alpha$ kde $\alpha$ je uhol medzi vektormi $v$ a $B$. Dôležité zistenie je, že polomer kružnice budú mať elektróny rôzny, no uhlová rýchlosť bude rovnaká. Dráhy budú teda vyzerať tak ako na obrázku 1.

Stačí zistiť ako sa bude meniť ich vzájomná vzdialenosť. Na to si parametricky vyjadríme ich polohy ako $$ \begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \end{pmatrix} = r_1 \begin{pmatrix} \sin{\omega t} \ 1-\cos{\omega t} \end{pmatrix}, \qquad\qquad \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \end{pmatrix} = r_2 \begin{pmatrix} \sin{\omega t} \ 1 - \cos{\omega t} \end{pmatrix}. $$ Vzájomnú vzdialenosť dostaneme ako veľkosť rozdielu polohových vektorov $$ \begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = (r_2 - r_1)\sqrt{\sin^2\omega t + (1 - \cos{\omega t})^2}\ &= \frac{m(v_2 - v_1)}{eB}\sqrt{\sin^2\omega t + \cos^2\omega t + 1 - 2\cos{\omega t}} = \frac{2m(v_2 - v_1)}{eB}\left|\sin\left(\frac{eB}{2m}t\right)\right. \end{aligned} $$ Využili sme pri tom trigonometrickú identitu $2\sin^2\alpha = 1 - \cos{2\alpha}$.

obrázok 1: Pohľad na dráhy elektrónov v rovine $xy$