Cyklista ide rýchlosťou $v$. Pri pohľade na svoje koleso vidí, že každý bod na jeho povrchu sa pohybuje touto rýchlosťou, a tak usúdi, že každý bod na povrchu kolesa pociťuje rovnako veľkú odstredivú silu. Okolostojaci pozorovateľ však vidí, že bod kolesa v kontakte s asfaltom sa nehýbe, zatiaľ čo najvrchnejší bod sa pohybuje rýchlosťou $2v$, a tak usúdi, že najvrchnejší bod cíti najväčšiu odstredivú silu. Kto z tejto dvojice má pravdu?
Ukážte, že ak sa urobia výpočty poriadne, v oboch vzťažných sústavách dostaneme vzájomne konzistentné výsledky.
Táto úloha je zložitejšia, než sa na prvý pohľad zdá. Zadanie nebolo úplne jasné, avšak vyžadovalo nie len
správny výsledok,
správne odôvodnenie tohto výsledku, ale aj
odôvodnenie, prečo pozorovatelia nesúhlasia a jeden z nich nemá pravdu.
Pozorovatelia diskutujú o odstredivej sile, čo je zdanlivá sila, a teda závisí od vzťažnej sústavy, v ktorej sa počíta. Avšak keďže sa pýtame, akú odstredivú silu pociťujú body na kolese, špecifikujeme vzťažnú sústavu kolesa. Teda je to rovnaké, ako keby sa na kolese držala blcha a pýtali by sme sa, aká odstredivá sila ju odtláča, resp. akou silou sa musí pridržiavať.
Z tohto vyplýva, že odpoveď je len jedna a pozorovatelia nemôžu (racionálne) nesúhlasiť. Prv si ukážeme, prečo pozorovatelia aj tak nesúhlasia a v čom robia chybu.
Obaja pozorovatelia používajú vzorec $a = v^2 / r$ na výpočet odstredivého zrýchlenia. Vo vzorci je $r$ polomer krivosti trajektórie bodu, zatiaľ čo $v$ je rýchlosť kolmá na tento polomer. Obe veličiny sa počítajú v nejakej inerciálnej vzťažnej sústave. Cyklista určil tieto hodnoty správne pre oba body kolesa – polomer je $r$ a rýchlosť $v$. Okolostojaci chodec vidí pohyb ako cykloidu[^1]. Bohužiaľ, neuhádol jej polomer krivosti v hornom bode, ktorý nie je rovný polomeru kolesa, ale jeho štvornásobku, čo by mu dalo rovnaký výsledok ako cyklistovi.
Spodný bod je pre chodca ešte zaujímavejší v tom, že tu môže $r$ byť ľubovoľné (nenulové), ale chodec vidí $v = 0$, a teda odstredivé zrýchlenie $a = 0$. Problém je, že to, čo sa v sústave blchy javí ako odstredivá sila, sa môže javiť v inej sústave ako ľubovoľná iná zdanlivá sila, v tomto prípade nie odstredivá ale zotrvačná[^2]. Vskutku, ak by si chodec vypočítal zotrvačnú silu pôsobiacu na spodný bod a zarátal ju, dospel by k rovnakému záveru ako cyklista.
Dosť bolo diskusie, poďme na výpočty, ale aj tie si skrátime diskusiou. Poloha bodu kolesa sa dá rozpísať v oboch vzťažných sústavach po zložkách. V sústave cyklistu napríklad ako $(r\sin\phi, r - r\cos\phi)$, čiže pohyb po kružnici, kde $y \in (0, 2r)$. Potom si človek všimne, že medzi sústavami sa táto poloha líši len v tom, že v sústave chodca je v $x$-ovej zložke navyše aj lineárny člen $vt$ kvôli pohybu cyklistu. To znamená, že po dvoch deriváciách je tento lineárny člen nulový, a že zrýchlenie bodu kolesa je konštantné na celom kolese a rovnaké v oboch sústavách.