Katka dostala na narodeniny pohár na kávu. Nie je to len taký obyčajný pohár! Je špeciálny v tom, že jeho steny sú z dvojitého skla, medzi ktorými je vzduch. Hneď po tom, ako si doň spravila kávu, dala sa na jeho skúmanie. Zaujímalo by ju, či je dvojité sklo len marketingový ťah. Hrá úlohu vôbec vzduchová vrstva? Nezávisí to len od hrúbky skla, respektíve hrúbky celej steny aj so vzduchovou vrstvou?
Zrátajte, koľkokrát lepšie oproti normálnemu poháru s hrúbkou skla $h$ izoluje pohár
s dvojitým sklom, medzi ktorým je vzduch, pričom každé sklo aj vzduchová vrstva sú hrubé $h$,
z obyčajného skla hrúbky $2h$,
z obyčajného skla hrúbky $3h$.
Straty cez vrch pohára neuvažujte, nakoľko Katka má rada kávu s napeneným mliekom, ktoré vieme považovať za veľmi dobrý izolant. Hrúbka $h$ je voči rozmerom pohára zanedbateľná.
Koeficienty tepelnej vodivosti skla a vzduchu si vyhľadajte.
Vedenie tepla opisuje Fourierov zákon $$ j = \frac{\lambda}{d}\Delta T, \qquad{(1)}$$ kde $j$ je plošná hustota toku tepla, $\lambda$ súčiniteľ tepelnej vodivodsti opisujúci schopnosť materiálu viesť teplo, $d$ je hrúbka materiálu a $\Delta T$ je rozdiel teplôt na koncoch materiálu.
Najskôr si poďme vysvetliť, ako tento zákon vlastne máme chápať. Predstavme si, že máme stenu hrúbky $d$ s tepelnou vodivosťou $\lambda$. Rozdiel teplôt na jednej a druhej strane steny je $\Delta T$. Potom vieme vypočítať, aká je plošná hustota toku tepla, ktorá nám hovorí, koľko joulov tepla “pretečie”[^1] jednotkou plochy za jednotku času.
To, ako dobre hrnček izoluje, je dané tým, aká je hustota tepelného toku na jednotku rozdielu teploty. Preto nás zaujíma vlastne len koeficient úmernosti $\frac{\lambda}{d}$ z Fourierovho zákona 1, ktorý sa nazýva aj tepelná vodivosť daného objektu. Tento koeficient vieme jednoducho vypočítať len dosadením hodnôt, ktoré si vyhľadáme na internete pre prípady b) a c).
Poďme sa teraz pozrieť, ako sa mení tento koeficient, ak dáme k sebe dve vrstvy, prvú s $\lambda_1$ a $d_1$ a druhú s $\lambda_2$ a $d_2$, pričom teplota na jednej strane je $T_1$ a na druhej $T_2>T_1$. Vieme, že musí platiť rovnica $$ \frac{\lambda_1}{d_1}(T - T_1) = \frac{\lambda_2}{d_2} (T_2 - T), \qquad{(2)}$$ kde $T$ je teplota medzi dvomi vrstvami. Platnosť tejto rovnice vidíme napríklad z toho, že ak by plošná hustota tepelného toku medzi vrstvami nebola rovnaká, na ich rozhraní by sa zbieralo teplo, a teda by tam rástla teplota. Zo skúsenosti ale vieme, že nič také sa nedeje. Úpravou rovnice 2 dostávame $$ \begin{aligned} T \left(\frac{\lambda_1}{d_1} + \frac{\lambda_2}{d_2}\right) &= T_1\frac{\lambda_1}{d_1} + T_2\frac{\lambda_2}{d_2}, \ T &= \frac{T_1\frac{\lambda_1}{d_1} + T_2\frac{\lambda_2}{d_2}} {\frac{\lambda_1}{d_1} + \frac{\lambda_2}{d_2}}. \end{aligned} \qquad{(3)}$$
Na to, aby sme zistili hustotu toku cez jednu z vrstiev (a tým vlastne tok cez obe vstvy) nám teraz stačí dosadiť za $T$ napríklad do ľavej strany rovnice 2. Tým dostávame $$ j = \frac{\lambda_1}{d_1}(T - T_1) = \frac{\frac{\lambda_1}{d_1}\frac{\lambda_2}{d_2}} {\frac{\lambda_1}{d_1} + \frac{\lambda_2}{d_2}}(T_2 - T_1). \qquad{(4)}$$
Vidíme, že dávaním viacerých vrstiev za seba sa ich tepelná vodivosť skladá rovnako, ako sa skladá odpor paralelného zapojenia rezistorov. Ďalšie pozorovnanie je, že výsledná tepelná vodivosť nezávisí na poradí vrstiev. Preto v prípade a) si vieme ušetriť rátanie a zmeniť situáciu z pohára s dvojitým sklom na pohár so sklom hrúbky $2h$ a následnou vrstvičkou vzduchu $h$.
Koeficient tepelnej vodivosti štandardného skla sa pohybuje medzi $\SIrange{0.9}{1.2}{\watt\per\metre\per\kelvin}$ a pre vzduch s teplotou okolo $\SI{60}{\celsius}$ je približne $\SI{0.03}{\watt\per\metre\per\kelvin}$. Izbovú teplotu neuvažujeme preto, lebo vzduch medzi sklami bude mať približne teplotu, ktorá je priemerom tej vonkajšej a teploty kávy[^2].
S týmito informáciami vieme už vypočítať približnú tepelnú vodivosť pre všetky typy zadaných pohárov, (pre jednoduchosť počítame s koeficientom tepelnej vodivosti skla $\SI{1}{\watt\per\metre\per\kelvin}$)
približne $\frac{1}{h} \cdot \SI{0.028}{\watt\per\metre\per\kelvin}$,
približne $\frac{1}{h} \cdot \SI{0.5}{\watt\per\metre\per\kelvin}$,
približne $\frac{1}{h} \cdot \SI{0.33}{\watt\per\metre\per\kelvin}$,
a pre obyčajný pohár $\frac{1}{h} \cdot \SI{1}{\watt\per\metre\per\kelvin}$.
Pohár so sklom dvojitej (resp. trojitej) hrúbky preto vedie teplo dvakrát (resp. trikrát) horšie než obyčajný pohár. Katkin nový pohár s dvojitým sklom ale vedie teplo tridsaťpäťkrát horšie ako obyčajný pohár. Preto pohár s dvojitým sklom nie je len marketingový ťah, ale reálne udrží nápoj o dosť dlhšie teplý (ak neuvažujeme straty cez vrch). Pre zaujímavosť, na rovnakom princípe fungujú aj termosky a tam je výsledok naozaj citeľný.