Skôr, ako sa pustíme do riešenia úlohy, tipnime si riešenie. Určite predpokladáme, že nejaká rovnovážna poloha bude v najvyššom bode obruče (a pravdepodobne bude labilná). Ďalej by mohla byť nejaká rovnovážna poloha v najnižšom bode obruče (tá bude asi stabilná[^1]). Bude rovnovážna poloha aj niekde inde? Ešte by možno mohla byť niekde medzi a asi bude najzaujímavejšia časť úlohy spočítať, či a aká to je rovnovážna poloha a kde presne je.

Na celú situáciu sa budeme pozerať z pohľadu pozorovateľa, ktorý sa otáča spolu s obručou. Tento pozorovateľ vidí obruč ako statickú. Cena za to je, že hmotný bod bude vnímať odstredivú silu.

Na náš hmotný bod tak pôsobia v podstate tri sily – tiažová, odstredivá a nejaká sila od obruče. Sila od obruče je však len nejaká taká sila, ktorá spôsobuje, že hmotný bod bude stále pripevnený k obruči. To zariadi tak, že akonáhle by na hmotný bod mala pôsobiť nejaká sila v radiálnom smere (t. j. do stredu alebo od stredu obruče), obruč bude na bod pôsobiť tak, aby sa táto sila vyrušila. Preto nás z tiažovej a odstredivej sily budú zaujímať iba ich zložky v smere dotyčnice ku kružnici tvorenej obručou.

Tieto zložky nie je náročné vypočítať pomocou elementárnej geometrie. Trochu krajšie to však ide analytickou geometriou. Zaveďme súradnice tak, aby stred obruče bol v bode $(0, 0)$ a smer tiažového zrýchlenia bol klasicky $(0, -g)$. Potom bod, ktorý zodpovedá uhlu $\alpha$, bude mať súradnice $\vec{r} = (r \cos\alpha, r \sin\alpha)$, kde $r$ je polomer obruče. Jednotkový dotyčnicový vektor v tomto bode potom bude $\vec{n} = (- \sin\alpha, \cos\alpha)$. Celú situáciu nám stačí vyriešiť pre $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, pre druhú polovicu obruče to bude platiť rovnako.

Na hmotný bod s hmotnosťou $m$ pôsobí tiažová sila $\vec{F_g} = (0, - m g)$ a ak sa hmotný bod nachádza v bode $(r \cos\alpha, r \sin\alpha)$, zložku tiažovej sily v smere dotyčnice spočítame pomocou skalárneho súčinu $$ \vec{F_{g_t}} = (\vec{F_g} \cdot \vec{n}) \vec{n} = -m g \cos(\alpha) \vec{n}. $$

Táto sila tak má veľkosť $m g \cos\alpha$ a pôsobí v smere[^2] $-\vec{n}$.

Pokračujme odstredivou silou. Bod s polohovým vektorom $\vec{r}$ sa z pohľadu nerotujúceho pozorovateľa pohybuje po kružnici s polomerom $r \cos\alpha$. Odstredivá sila pôsobiaca v tomto bode je preto $\vec{F_o} = (m \omega^2 r \cos\alpha, 0)$. Jej zložka v smere $\vec{n}$ je $$ \vec{F_{o_t}} = (\vec{F_o} \cdot \vec{n}) \vec{n} = - m \omega^2 r \cos(\alpha) \sin(\alpha) \vec{n}. $$

Táto sila má teda veľkosť[^3] $m \omega^2 r \cos\alpha \left|\sin\alpha\right|$.

Aby bol hmotný bod v rovnovážnej polohe, musí platiť $\vec{F_{g_t}} + \vec{F_{o_t}} = 0$. Upravujme túto podmienku

$$ \begin{aligned} -m g \cos(\alpha) \vec{n} - m \omega^2 r \cos(\alpha) \sin(\alpha) \vec{n} &= 0, \ -m \cos\alpha (g + \omega^2 r \sin\alpha) \vec{n} &= 0. \end{aligned} $$

Označme $\vec{F}$ vektor na ľavej strane poslednej rovnice. Ten je nulový, ak platí $\cos\alpha = 0$, alebo ak $g + \omega^2 r \sin\alpha = 0$. Prvý vzťah má na uvažovanom intervale riešenia $\alpha = \pm \frac{\pi}{2}$.

Uhol $\alpha = \frac{\pi}{2}$ zodpovedá bodu hore na obruči. Toto je v zhode s očakávaniami o rovnovážnej polohe. Aby sme zistili, či je stabilná, pozrime sa na vektor $\vec{F}$ pre uhly blízke $\frac{\pi}{2}$. Pre uhol $\frac{\pi}{2} - \epsilon$ má vektor $\vec{F}$ tvar $\vec{F} = - k \vec{n}$ pre nejakú kladnú konštantu $k$. Takže na bod, ktorý mierne vychýlime z rovnovážnej polohy, pôsobí sila v smere opačnom ako $\vec{n}$, čo je smerom z rovnovážnej polohy. Rovnako bude hmotný bod utekať od rovnovážnej polohy aj pri vychýlení na uhol $\frac{\pi}{2} + \epsilon$. Takže táto rovnovážna poloha je labilná.

Podobné úvahy môžeme spraviť aj pre $\alpha = - \frac{\pi}{2}$, čo je ďalší bod, kde sme očakávali rovnovážnu polohu. Tu si už ale musíme uvedomiť, že pre veľké hodnoty $\omega$ môže už byť zátvorka $(g + \omega^2 r \sin\alpha)$ záporná. Uhly vieme voliť dostatočne blízke $- \frac{\pi}{2}$, čiže vieme spraviť $\sin\alpha$ ľubovoľne blízke $-1$. Hraničná podmienka preto bude $g - \omega^2 r = 0$. Takže ak $g \geq \omega^2 r$, bude toto stabilná poloha. V opačnom prípade to bude labilná poloha[^4].

Zostáva prípad $g + \omega^2 r \sin\alpha = 0$, čiže $\sin\alpha = - \frac{g}{\omega^2 r}$. Ľavá strana je sínus niečoho, takže môže byť len z intervalu $\left[-1, 1\right]$. Vzhľadom na to, že pravá strana je určite záporná, musí platiť $- \frac{g}{\omega^2 r} \geq -1$, alebo po prenásobení $-1$ máme $\frac{g}{\omega^2 r} \leq 1$. Opäť sa tak dostáva do hry podmienka $g \leq \omega^2 r$. V tomto prípade máme novú rovnovážnu polohu v bode zodpovedajúcom uhlu $\alpha = \arcsin\left(- \frac{g}{\omega^2 r}\right)$. V prípade $g = \omega^2 r$ sa toto redukuje na rovnovážnu polohu z predošlého odseku. Predpokladajme preto $g < \omega^2 r$. Keďže robíme arkussínus z niečoho záporného, dostaneme uhol medzi $0$ a $-\frac{\pi}{2}$. To ale nič nezmení na tom, že kosínus z tohto uhla bude kladný a rovnakým hrajkaním sa ako doteraz zistíme, že táto rovnovážna poloha je stabilná.

Aby sme to zhrnuli, rovnovážne polohy vyzerajú takto:

• Poloha navrchu $\left(\alpha = \frac{\pi}{2}\right)$ je vždy labilná rovnovážna poloha.

• Ak $g \geq \omega^2 r$, poloha naspodku $\left(\alpha = - \frac{\pi}{2}\right)$ je stabilná rovnovážna poloha.

• Ak $g < \omega^2 r$, poloha naspodku $\left(\alpha = - \frac{\pi}{2}\right)$ je labilná rovnovážna poloha a stabilná rovnovážna poloha je pre $\alpha = \arcsin\left(- \frac{g}{\omega^2 r}\right)$.

Pokročilejšie riešenie

Naznačíme ešte jedno riešenie, ktoré využíva derivácie. No aj ak si sa s nimi nestretol/-a, môže byť základná myšlienka poučná. Je založená na tom, že ak sme v statickej situácii, rovnovážne polohy sú v bodoch, kde potenciál[^5] nadobúda extrémy – v minime je stabilná poloha, v maxime labilná poloha.

Ak sa na našu úlohu pozeráme vo vzťažnej sústave spojenej s obručou (ako sme to robili aj v predošlom riešení), sme skutočne v statickej situácii. Daň za to je v tomto prípade komplikovanejší potenciál. Tak ho poďme spočítať. Potenciál za gravitačnú silu je klasicky $V_g = g y$, kde $y$ je zvislá súradnica, čiže v danom bode $\vec{r} = (r \cos\alpha, r \sin\alpha)$ má veľkosť $V_g (\alpha) = g r \sin\alpha$.

S potenciálom od odstredivej sily to bude možno trochu komplikovanejšie. Typický riešiteľ sa s ním totiž ešte asi nestretol. Tak ho skúsime uhádnuť. Spomeňme si, že odstredivá sila má veľkosť $F_o = m \omega^2 x$. To je podozrivo podobný tvar ako tvar sily od pružiny, ktorá je $F = - k x$ a ktorej potenciál je $V = \frac{1}{2} \frac{k}{m} x^2$. Jediný rozdiel s našou odstredivou silou je, že v našom prípade je $k = - m \omega^2$. Takže potenciál odstredivej sily je[^6] $V_o = - \frac{1}{2} \omega^2 x^2$. Pre daný bod $\vec{r}$ je teda $V_o (\alpha) = - \frac{1}{2} \omega^2 (r \cos\alpha)^2$.

Pracujeme tak s potenciálom $$ V(\alpha) = V_g (\alpha) + V_o (\alpha) = g r \sin\alpha - \frac{1}{2} \omega^2 (r \cos\alpha)^2. $$

Hľadáme extrémy potenciálu ako funkcie uhla $\alpha$, a tak derivujme $V(\alpha)$ a položme ho rovné nule $$ V’(\alpha) = g r \cos\alpha + \omega^2 r^2 \cos\alpha \sin\alpha \overset{!}{=} 0 $$

Po úprave to je rovnaká podmienka na polohu rovnovážnej polohy ako v predošlom riešení.

Aby sme zistili, kedy ide o stabilnú a kedy o labilnú polohu, spočítajme ešte druhú deriváciu $V(\alpha)$ a zisťujme znamienko v bodoch, kde boda prvá derivácia nulová $$ V’‘(\alpha) = - g r \sin\alpha + \omega^2 r^2 (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha). $$ Postupne dostávame

• $V’‘\left(\frac{\pi}{2}\right) = - g r - \omega^2 r^2 < 0$, takže pre $\alpha = \frac{\pi}{2}$ nadobúda $V$ lokálne maximum, a teda je táto poloha labilná.

• $V’‘\left(-\frac{\pi}{2}\right) = r (g - \omega^2 r)$ vedie na rovnakú podmienku stability ako v predošlom riešení.

• $V’‘\left(\arcsin\left(-\frac{g}{\omega^2 r}\right)\right) = \frac{(\omega^2 r + g)(\omega^2 r - g)}{\omega^2}$, čo je vzhľadom na podmienku $g < \omega^2 r$ vždy (keď je toto vôbec rovnovážna poloha) kladné číslo, takže táto poloha je vždy stabilná.

Tým sme dostali rovnaký výsledok ako v predošlom riešení.