K problému pristúpime postupne, a teda kvalitatívne si rozoberieme, čo sa udeje. Ako je povedané v zadaní, úlomky raketky sa rozleteli do všetkých smerov. Tie, čo leteli priamo od Zeme, tesne unikli a nikdy sa už nevrátili, pričom slovo „tesne“ chcelo naznačiť, že mali práve toľko energie, aby sa im toto podarilo a ani o kúsok viac.

Samozrejme, kúsky, ktoré vyleteli smerom priamo na Zem, sa po priamke na Zem aj dostali. Otázne je, čo urobili kúsky, ktoré vyleteli pod nejakým netriviálnym uhlom $\alpha$ voči spojnici raketky so Zemou. Pripomeňme si, že všetky kúsky vyleteli rovnakou počiatočnou rýchlosťou $v_0$. Keďže kúsok letiaci priamo preč „tesne“ unikol, každý kúsok letel po parabolickej trajektórii.¹ Táto znalosť je síce príjemná a zrejme by sa dala dotiahnuť aj do kompletného riešenia, existuje však aj jednoduchší prístup.

V momente výbuchu raketky je celková energia každého úlomku $$ E = \frac{1}{2}mv_0^2 - G\frac{Mm}{d}. \qquad(1)$$ Podľa zákona zachovania energie sa energia každého úlomku v čase nemení. Pozrime sa teda na úlomky, ktoré „tesne“ unikli. To sú tie, ktoré prišli do nekonečna ($1 / r = 0$) a na to museli využiť všetku svoju kinetickú energiu ($v = 0$). Preto mali tieto úlomky celkovú energiu $E = 0$. No keďže všetky úlomky majú rovnakú celkovú energiu, tak pre každý platí, že $$ 0 = \frac{1}{2} mv_0^2 - G\frac{mM}{d}. \qquad(2)$$ Vyjadrením $v_0$ rovno zistíme, že $v_0 = \sqrt{\frac{2GM}{d}}$.

Ako druhý použijeme zákon zachovania momentu hybnosti. Gravitačná sila smeruje do stredu Zeme, takže moment sily vzhľadom na tento stred musí byť nulový. Preto $$ |L| = |m \vec{v} \times \vec{r}| = mv_0 d |\sin\alpha|, \qquad(3)$$ kde „$\times$“ značí vektorový súčin. Vtedy platí $\left|\vec{v}\times\vec{r}\right| = \left|\vec{v}\right|\left|\vec{r}\right| \left|\sin{\theta}\right|$, kde $\theta \in (\ang{0}, \ang{180})$ je uhol medzi vektormi $\vec{v}$ a $\vec{r}$, pričom $\vec{r}$ smeruje zo stredu Zeme do úlomku.

Úlomky rakety na parabolických dráhach

Počas svojho letu sa niekedy úlomok dostane k Zemi najbližšie, povedzme do vzdialenosti $r_m$ od stredu. Nás zaujíma, či $r_m < R$ a úlomok narazí do Zeme; alebo či $r_M > R$ a úlomok uletí.² V tomto bode bude samozrejme vektor rýchlosti $\vec{v}$ kolmý na $\vec{r}$, inak by sa úlomok od stredu vzďaľoval alebo k nemu približoval, a teda by nemohol byť najbližšie. Z toho nám vyjde, že v tomto bode $$ v_m r_m = v_0 d |\sin\alpha|. \qquad(4)$$

Dosadením do zákona zachovania energie $$ \frac{1}{2}mv_m^2 = G\frac{Mm}{r_m} \qquad(5)$$ za $v_m$ a vyjadrením $r_m$ dostaneme $$ r_m = \frac{v_0^2 d^2 \sin^2 \alpha}{2GM} = d \sin^2 \alpha. \qquad(6)$$

Inými slovami, pre hraničný prípad $\alpha = \alpha_h$, kedy $r_m = R$ a úlomok sa tesne dotkne Zeme, platí $$ \sin\alpha_h = \sqrt{\frac{R}{d}}. \qquad(7)$$

Teraz už nám stačí vypočítať priestorový uhol $\Omega$ pripadajúci tomuto planárnemu. Ak si to nepamätáme, po troche googlenia zistíme, že táto závislosť je $$ \Omega = 2\pi(1-\cos\alpha_h). \qquad(8)$$

Celý priestorový uhol je $4\pi$, a tak na Zem dopadne podiel $p$ úlomkov $$ p = \frac{\Omega}{4\pi} = \frac{1 - \sqrt{1 - R/d}}{2}. \qquad(9)$$