Táto úloha sa dá riešiť viacerými spôsobmi. Najjednoduchšie je pozrieť sa na problém cez energie. Vieme, že súčet kinetickej a potenciálnej energie musí byť počas celého deja konštantný, pričom v polohe jedna na obrázku má srdce maximálnu kinetickú energiu a v polohe dva maximálnu potenciálnu energiu.

Srdce zvona

Srdce zvona má v polohe $2$ (teda pre $\alpha= \SI{5}{\degree}$) voči polohe $1$ potenciálnu energiu väčšiu o $\Delta E_p= mgl\left(1-\cos{\alpha} \right)$. Využijeme to, že celková potenciálna energia v krajnom bode je vlastne celková kinetická energia v najnižšom bode (kam sme kvôli jednoduchosti posadili nulovú hodnotu $E_p$).

Teraz energie odložíme a pozrieme sa na to, o čom nám hovorí impulz sily. V prípade, že nepoznáme vzťah $\vec{I}=\vec{F}\Delta t$, vieme si dopomôcť jednotkovou analýzou (impulz sily má jednotku $\SI{1}{\newton\second}$). Trocha si tento vzťah rozpíšme

$$ I=F \Delta t=m a \Delta t=m \frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta t=m \Delta v=\Delta p $$

Impulz sily teda hovorí o zmene hybnosti.

Vyjadrime si teraz, akú rýchlosť musí mať srdce na spodku svojej dráhy. Využijeme to, že celková kinetická energia na spodku dráhy sa premení na celkovú potenciálnu energiu v krajnom bode

$$ \begin{aligned} E_{p_{max}}&=E_{k_{max}}\ mgl\left(1-\cos{\alpha}\right)&=\frac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v=\sqrt{2gl\left(1-\cos{\alpha}\right)} \end{aligned} $$

Každý Jonkin úder udelí srdcu zvona rovnakú rýchlosť $v=\frac{I}{m}$. Jednoducho predelíme potrebnú výslednú rýchlosť rýchlosťou udelenou každým úderom

$$ \begin{aligned} n&=\frac{m\sqrt{2gl\left(1-\cos{\alpha}\right)}}{I}\ &=\frac{\SI{1000}{\kilo\gram} \sqrt{\SI{9.81}{\metre\per\second\squared}\, \SI{10}{\metre} \, \left(1-\cos{\SI{5}{\degree}} \right)}}{\SI{200}{\newton\second}}\approx 3.055 \end{aligned} $$

Na rozhojdanie zvonu teda budu potrebné $4$ údery. Vieme, že počas každého kyvu stíha udeliť len jeden úder. Taktiež vieme, že dĺžka periódy závisí jedine od dĺžky závesu. Pomocou vzťahu

$$ T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $$

už jednoducho dopočítame, ako dlho bude trvať rozhojdanie srdca. Do jednej periódy, teda jedného kmitu, sa zmestia dva kyvy. A teraz si predstavme, čo sa deje: zvon stojí. Jonka doňho udrie prvý raz. Ubehne pol periódy, udrie druhý raz. Po ďalšej polperióde udrie tretí raz. A po ďalšej polperióde štvrtý raz. Srdce sa ale teraz nachádza v najnižšom bode svojej trajektórie a kým sa dotkne plášťa zvona a rozozvučí ho, musí vykonať ešte polovicu kyvu, teda štvrtinu kmitu. Rozozvučať zvon bude Jonke dokopy trvať

$$ (3\cdot \num{0.5}+\num{0.25})T=\num{1.75}\cdot 2\pi \sqrt{\frac{\SI{5}{\metre}}{\SI{9.81}{\metre\per\second\squared}}} \approx \SI{7.85}{\second} $$