Zrkadlo je dostatočne hladká plocha odrážajúca väčšinu dopadajúceho svetla v súlade so zákonom odrazu, pričom dopadajúci svetelný zväzok rozptyľuje len minimálne. Odrážajúcou plochou je zvyčajne vyleštený materiál – najčastejšie kov. Podľa polohy odrazivej plochy existujú dva typy zrkadiel – zrkadlá s prednou odrazivou plochou a zrkadlá so zadnou odrazivou plochou.

Zrkadlo s prednou odrazivou plochou vyrobíme tak, že len vyleštíme povrch materiálu a k odrazu dochádza od tohto povrchu. Ak sa predmetom dotkneme takéhoto zrkadla, budú sa predmet a jeho odraz dotýkať v mieste kontaktu predmetu so zrkadlom.

Zjavnou nevýhodou zrkadiel s prednou odrazivou plochou je, že odrazivý povrch je vystavený okoliu, takže sa veľmi ľahko poškodí či už mechanicky (napr. poškriabanie) alebo chemicky (napr. oxidácia). Preto sa bežne stretneme skôr s druhým typom zrkadiel – so zrkadlami so zadnou odrazivou plochou. Najčastejšie ide o tenkú sklenenú (prípadne inú priehľadnú) platňu s tenkou kovovou (alebo inou) vrstvičkou na zadnej strane. Pri tomto type zrkadla nedochádza k odrazu na prednej strane,[^1] teda na skle, ale až na kovovej vrstvičke na zadnej strane. Môžeme sa o tom ľahko presvedčiť tak, že priložíme hrot pera na povrch zrkadla a pozrieme sa naň pod uhlom. Uvidíme, že hrot sa nedotýka svojho obrazu, ale je medzi nimi medzera.[^2] Veľkosť tejto medzery zrejme závisí od uhla, pod ktorým sa pozeráme, a od hrúbky skla zrkadla.

To je ale návod na vyriešenie tejto úlohy. Ak sa nám podarí nájsť vzťah medzi vzdialenosťou hrotu od jeho obrazu a hrúbkou zrkadla, tak meraním tejto vzdialenosti dokážeme určiť hrúbku zrkadla.[^3]

Ako vzniká medzera medzi hrotom a jeho obrazom, je zjavné z obrázka 1. Lúč odrazený z hrotu nám dopadá do oka priamo. Zároveň nám ale do oka dopadá aj lúč, ktorý po odraze z hrotu prechádza do skla, pričom sa láme podľa Snellovho zákona, dopadá na zadnú plochu, od ktorej sa odráža, a vychádza zo zrkadla cez jeho prednú plochu, opäť v súlade so Snellovým zákonom. Veľkosť medzery medzi hrotom a obrazom je vlastne kolmá vzdialenosť týchto dvoch lúčov. Z praktického hľadiska je ale jednoduchšie merať horizontálnu vzdialenosť týchto dvoch lúčov, teda vzdialenosť hrotu od miesta na povrchu zrkadla, z ktorého vychádza odrazený lúč.

Ak sme od zrkadla dostatočne ďaleko, priamy lúč a lúč odrážajúci sa od zrkadla môžeme považovať za rovnobežné. V takom prípade je hľadanie vzťahu medzi veľkosťou medzery a hrúbkou zrkadla len vecou jednoduchej geometrie.

obrázok 1: Priamy a odrazený lúč dopadajúci do oka (objektívu).

Označme si hrúbku zrkadla $h$ a horizontálnu vzdialenosť lúčov $d$. Ďalej nech uhol medzi lúčom vo vzduchu a povrchom zrkadla je $\alpha$ a v skle $\alpha’$. Index lomu skla je $n$ a vzduchu $1$.

Podľa Snellovho zákona platí

$$ \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha’} = n \qquad{(1)}$$

Zároveň z pravouhlého trojuholníka určeného lúčom v skle, povrchom zrkadla a normálou v mieste odrazu vidíme, že

$$ \frac{h}{\frac{d}{2}}=\tan\alpha’. \qquad{(2)}$$

Vylúčením uhla $\alpha’$ dostávame[^4]

$$ \frac{2h}{d}=\frac{\sqrt{n^{2}-\cos^{2}\alpha}}{\cos\alpha}\textrm{.} \qquad{(3)}$$

Uhol lúča sa bude merať dosť neprakticky. Čo vieme ale zmerať pomerne jednoducho, je výška a horizontálna vzdialenosť, z ktorej sa pozeráme. Ak označíme výšku $H$ a horizontálnu vzdialenosť $D$, potom

$$ \cos\alpha=\frac{D}{\sqrt{H^{2}+D^{2}}} \qquad{(4)}$$ a konečne $$ h=\frac{d}{2}\frac{\sqrt{\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}-D^{2}}}{D}\textrm{.} \qquad{(5)}$$ Pre potreby spracovávania dát tento vzťah ešte napíšeme v tvare $$ d=\frac{2hD}{\sqrt{\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}-D^{2}}}\textrm{.} \qquad{(6)}$$

obrázok 2: Ukážka z priebehu merania a jedna z vyhotovených snímok, z ktorých sa odčítavali dáta.

Vybavení touto teóriou, môžeme pristúpiť k meraniu. Našu aparatúru je vidieť na priloženej fotografii (obrázok 2).

1. Zrkadlo umiestnime na vodorovnú zem.

2. V jeho blízkosti si vytýčime zvislicu a vyznačíme si na nej výšky, z ktorých budeme merať veľkosť medzery medzi hrotom a obrazom. V našom prípade je touto zvislicou whiteboard, ktorý sme nastavili do zvislého smeru vodováhou. Na určovanie výšok nám slúži meter, ktorý sme pripevnili k okraju. Merania budeme robiť z výšok odstupňovaných po $\SI{5}{\centi\metre}$ v rozpätí $\SI{10}{\centi\metre}$ až $\SI{1}{\metre}$.

3. Na zrkadlo priložíme hrot, ktorý by mal byť čo najtenší. Z toho dôvodu použijeme hrot ihly. Ako stojan použijeme gumené prasa, do ktorého ihlu zapichneme.

4. Zmeriame vzdialenosť hrotu ihly od zvislice, z ktorej vykonávame merania.

5. Vedľa hrotu ihly umiestnime milimetrový papier, pomocou ktorého budeme merať horizontálnu veľkosť medzery.

6. Z vybraných výšok na zvislici odfotografujeme medzeru a z fotografie odčítame počet štvorčekov milimetrového papiera medzi hrotom a jeho obrazom.

Vzdialenosť zvislice od hrotu ihly bola $D=\SI{32}{\centi\metre}$. A hoci vieme vzdialenosť teoreticky merať s presnosťou na milimetre, chybu merania odhadneme na $\pm \SI{1}{\centi\metre}$, pretože nevieme zaručiť, že objektív fotoaparátu bol počas fotenia presne na zvislici, a nevieme ani povedať, kde presne sa vo fotoaparáte tvorí obraz. Podobne aj pri určovaní výšky budeme uvažovať chybu $\pm \SI{1}{\centi\metre}$. Pri určovaní šírky medzery budeme uvažovať chybu $\pm \SI{1}{\milli\metre}$, pretože musíme uvažovať chybu pol milimetra pri určovaní polohy hrotu a taktiež pol milimetra pri určovaní polohy obrazu.

obrázok 3: Namerané dáta a vykreslené teoretické závislosti pre niekoľko hrúbok skla.

Namerané dvojice dát $\left[H;d\right]$ sú zobrazené ako body na prvom grafe (obrázok 3). Už nám zostáva len určiť zodpovedajúcu hrúbku skla.

Keďže poznáme teoretickú závislosť $d\left(H\right)$ (rovnica (6)), mohli by sme použiť metódu najmenších štvorcov. Tá spočíva v tom, že zo sady kriviek podľa rovnice (6) pre rôzne $h$ vyberie tú, pre ktorú je suma kvadrátov rozdielov medzi nameranými dátami a predpovedanými hodnotami pre dané $h$ čo najmenšia.[^5] Nakoľko je ale táto metóda pomerne matematicky náročná, nejdeme si ju bližšie vysvetľovať – možno niekedy nabudúce. Ak ale máte dobrý štatistický program, môžete ju nechať zbehnúť pre vaše dáta a počítač vám vypľuje hrúbku skla, pre ktorú dostanete najlepší fit medzi dátami a teoretickou predpoveďou. Len pre zaujímavosť, pre naše dáta dostávame najlepší fit pre $h\doteq\SI{2.3486}{\milli\metre}$ s koeficientom determinácie $R^{2}=\num{0.8983}$.[^6]

My si ukážeme metódu, ktorá síce dáva menej presný odhad, ale napriek tomu je veľmi poučná. Najskôr si podľa vzťahu (5) pre každú nameranú dvojicu $\left[H_{i};d_{i}\right]$ dopočítame príslušnú hrúbku skla $h_{i}$. Ak máme $N$ nameraných dvojíc, dostaneme $N$ hrúbok skla. Toto je priamočiare. Komplikáciou je, že jednotlivé veličiny, z ktorých hrúbku skla počítame, sú zaťažené chybou, a my potrebujeme odhadnúť, akú veľkú chybu to znamená pre vypočítané hrúbky skla. Na to si potrebujeme povedať, ako sa šíria chyby merania.

Uvažujme veličiny $a$ a $b$. Predpokladajme, že ich poznáme len s nejakou nepresnosťou. Táto nepresnosť je ich absolútnou chybou merania – budeme ju značiť $\mathrm{AE}a$, resp. $\mathrm{AE}b$. Relatívna chyba merania je potom $\mathrm{RE}a=\frac{\mathrm{AE}a}{a}$, resp. $\mathrm{RE}b=\frac{\mathrm{AE}b}{b}$. Pre šírenie chýb platia nasledujúce vzťahy.

• Ak $c=a\pm b$, tak $\mathrm{AE}c=\mathrm{AE}a+\mathrm{AE}b$ – absolútna chyba súčtu/rozdielu je súčtom absolútnych chýb.

• Ak $c=a\cdot b$ alebo $c=\frac{a}{b}$, tak $\mathrm{RE}c=\mathrm{RE}a+\mathrm{RE}b$ – relatívna chyba súčinu/podielu je súčtom relatívnych chýb.

• Ak $c=a^{r},\,r\in\mathbb{R}$, tak $\mathrm{RE}c=r\cdot\mathrm{RE}a$ – relatívna chyba $r$-tej mocniny je $r$-násobkom relatívnej chyby základu mocniny. Keďže $r$ je ľubovoľné reálne číslo, tak to implikuje, že relatívna chyba $p$-tej odmocniny je $p$-krát menšia než relatívna chyba základu.

Aplikujme tieto pravidlá na vzťah (5). Začnime zvnútra. Relatívna chyba $H^{2}$ je

$$ \mathrm{RE}H^{2}=2\mathrm{RE}H $$ a absolútna chyba $H^{2}$ je $$ \mathrm{AE}H^{2}=\mathrm{RE}H^{2}\cdot H^{2}=2\mathrm{RE}H\cdot H^{2}\textrm{.} $$ Podobne $$ \mathrm{AE}D^{2}=2\mathrm{RE}D\cdot D^{2}\textrm{.} $$ Absolútna chyba výrazu v zátvorke je teda $$ \mathrm{AE}\left(H^{2}+D^{2}\right)=2\left(\mathrm{RE}H\cdot H^{2}+\mathrm{RE}D\cdot D^{2}\right) $$ a relatívna chyba $$ \mathrm{RE}\left(H^{2}+D^{2}\right)=\frac{2\left(\mathrm{RE}H\cdot H^{2}+\mathrm{RE}D\cdot D^{2}\right)}{H^{2}+D^{2}}\textrm{.} $$ Ďalej relatívna chyba $$ \mathrm{RE}\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}=\frac{2\left(\mathrm{RE}H\cdot H^{2}+\mathrm{RE}D\cdot D^{2}\right)}{H^{2}+D^{2}}+2\mathrm{RE}n $$ a absolútna chyba $$ \mathrm{AE}\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}=2\left(\mathrm{RE}H\cdot H^{2}+\mathrm{RE}D\cdot D^{2}\right)n^{2}+2\mathrm{RE}n\cdot\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}\textrm{.} $$ Potom absolútna chyba výrazu pod odmocninou je $$ \mathrm{AE}\left[\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}-D^{2}\right]=2\left(\mathrm{RE}H\cdot H^{2}+\mathrm{RE}D\cdot D^{2}\right)n^{2}+2\mathrm{RE}n\cdot\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}+2\mathrm{RE}D\cdot D^{2} $$ a jeho relatívna chyba je $$ \mathrm{RE}\left[\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}-D^{2}\right]=2\frac{\left(\mathrm{RE}H\cdot H^{2}+\mathrm{RE}D\cdot D^{2}\right)n^{2}+\mathrm{RE}n\cdot\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}+\mathrm{RE}D\cdot D^{2}}{\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}-D^{2}}\textrm{.} $$ Konečne relatívna chyba $h$ je $$ \mathrm{RE}h=\mathrm{RE}d+\frac{\left(\mathrm{RE}H\cdot H^{2}+\mathrm{RE}D\cdot D^{2}\right)n^{2}+\mathrm{RE}n\cdot\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}+\mathrm{RE}D\cdot D^{2}}{\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}-D^{2}}+\mathrm{RE}D $$ a absolútna chyba $$ mathrm{AE}h=\mathrm{RE}h\cdot\frac{d}{2}\frac{\sqrt{\left(H^{2}+D^{2}\right)n^{2}-D^{2}}}{D}\textrm{.} \qquad{(7)}$$

Už odvodiť tento vzťah je peklo, preto v záujme zachovania vlastného duševného zdravia odporúčame pri výpočte chýb použiť počítač.

No dobre, našli sme $N$ hrúbok skla a $N$ chýb. Čo s tým? Najprirodzenejšie by bolo hrúbky skla jednoducho spriemerovať. Aj to je možnosť, ale dá sa to aj lepšie. Všimnime si, že hrúbky skla vyplynuté z jednotlivých meraní sú zaťažené rôznou chybou merania. Je prirodzené požadovať, aby menej presné dáta ovplyvnili priemer menej. A toto sa dá dosiahnuť použitím váženého priemeru, kde ako váhu použijeme prevrátenú hodnotu absolútnej chyby hrúbky skla (7)

$$ w_{i}=\frac{1}{\mathrm{AE}h_{i}}\textrm{.} \qquad{(8)}$$

Všimnime si, že čím je chyba väčšia, tým je váha tejto hodnoty menšia. Vážený priemer potom vyzerá nasledovne[^7]

$$ \bar{h}{w}=\frac{\sum \qquad{(9)}$$}^{N}w_{i}h_{i}}{\sum_{i=1}^{N}w_{i}}\textrm{.

Suma v menovateli slúži na nanormovanie váh na jednotku, aby nijako neovplyvnili priemer.[^8]

Určiť priemer, samozrejme, nestačí. Musíme ešte odhadnúť, v akom intervale okolo tohto priemeru leží skutočná hrúbka zrkadla. Inými slovami, musíme určiť nepresnosť (chybu) merania. Hlavným zdrojom chýb v našom prípade je nepresnosť merania daná limitáciou meracích prístrojov (ako bolo diskutované vyššie), resp. nepresnosť znalosti indexu lomu – ten sme odhadli na $n=\num{1.5}\pm\num{0.05}$ – vyplývajúca z našej neznalosti presného zloženia skla a jeho závislosti na vlnovej dĺžke svetla.

obrázok 4: Vypočítané hrúbky skla s príslušnými nepresnosťami.

Vypočítaná chyba jednotlivých meraní hrúbky skla podľa už diskutovaných pravidiel pre šírenie chýb je na grafe vyznačená errorbarmi (obrázok 4). Ak chceme priemeru priradiť jednu chybu, tak najjednoduchšia vec, čo môžeme urobiť, je priradiť mu jednoducho priemernú chybu z týchto meraní. Ale to nestačí, pretože sme tým nepokryli náhodné chyby, ktorých sme sa mohli dopustiť pri meraní. Na to treba vyčísliť ešte rozptyl, resp. štandardnú (smerodajnú) odchýlku.

Snáď každý softvér na prácu s dátami má vstavanú funkciu na počítanie štandardnej odchýlky, takže toto by sme mohli odbaviť rýchlo. Avšak, ak ste sa niekedy pozreli do dokumentácie, ako je táto štandardná odchýlka zadefinovaná, mohli ste naraziť na zdanlivú nekonzistentnosť medzi jednotlivými softvérmi, resp. na rôzne typy štandardných odchýlok. Preto teraz bude nasledovať trochu dlhšie pojednanie o tom, ako štandardnú odchýlku vypočítať, resp. ktorú z nich použiť.

Základným vzťahom na výpočet štandardnej odchýlky $\sigma$, ktorý ste už zrejme videli, je

$$ \sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left(h_{i}-h\right)^{2}\textrm{,} \qquad{(10)}$$

kde $h$ je skutočná hodnota hrúbky zrkadla, ktorú na výpočet tejto štandardnej odchýlky potrebujeme poznať. No ale, ak by sme ju poznali, načo by sme potom robili toto meranie, že? Namiesto nej sa teda používa tzv. výberová štandardná odchýlka $s$, ktorá sa počíta ako

$$ s^{2}=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}\left(h_{i}-\bar{h}\right)^{2}\textrm{.} \qquad{(11)}$$

Tu sme nahradili neznámu skutočnú hrúbku zrkadla $h$ jej odhadom pomocou aritmetického priemeru $\bar{h}$. Daňou za to ale je, že ju musíme mierne nadhodnotiť, preto delíme $N-1$ a nie $N$. To vyplýva z toho, že ak použijeme priemer, zmenšíme tým počet stupňov voľnosti o 1.[^9]

Uvedené dva vzťahy popisujú, ako veľmi sú rozptýlené jednotlivé dáta od skutočnej hodnoty, resp. od aritmetického priemeru. Preto sa tieto štandardné odchýlky nazývajú aj štandardnými odchýlkami jedného merania – popisujú, ako ďaleko v priemere leží každé jedno meranie od skutočnej hodnoty / aritmetického priemeru. Nás ale toto až tak nezaujíma. Nás zaujíma, ako ďaleko leží priemer od skutočnej hodnoty, resp. ako ďaleko leží skutočná hodnota od jej odhadu, t.,j. priemeru.

Predstavte si, že mám dáta rozmiestnené rovnomerne v intervale $\left\langle 1;3\right\rangle$. Stredná hodnota je potom 2 a keď si ich vyznačím na číselnej osi, čiarky budú rozmiestnené rovnomerne v celom intervale. Teraz si ale predstavte, že vyberiete napríklad 5 náhodných hodnôt z tohto intervalu – t.,j. realizujete meranie – a vypočítate ich aritmetický priemer. Je jasné, že tento priemer bude ležať taktiež v intervale $\left\langle 1;3\right\rangle$, ale je pravdepodobnejšie, že bude ležať niekde v strede tohto intervalu než niekde na jeho okraji.[^10] Keď si priemery rôznych pätíc (rôznych realizácií meraní) vyznačíte na číselnej osi, budú sa zhlukovať viac okolo dvojky – t.,j. budú mať menší rozptyl, teda štandardná odchýlka aritmetického priemeru bude menšia než štandardná odchýlka jedného merania. Dá sa ukázať, že štandardná odchýlka aritmetického priemeru klesá ako $\frac{1}{\sqrt{N}}$, teda

$$ \sigma_{\bar{h}} =\frac{1}{\sqrt{N}}\sigma=\left[\frac{1}{N^{2}}\sum_{i=1}^{N}\left(h_{i}-h\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\textrm{,} \qquad{(12)}$$ $$ s_{\bar{h}} =\frac{1}{\sqrt{N}}s=\left[\frac{1}{N\left(N-1\right)}\sum_{i=1}^{N}\left(h_{i}-\bar{h}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\textrm{.} \qquad{(13)}$$

V našom prípade potrebujeme určiť, ako veľmi sa môže líšiť nami vypočítaný priemer od skutočnej hodnoty, preto nás zaujíma štandardná odchýlka priemeru. Zároveň ale skutočnú hodnotu nepoznáme, preto použijeme výberovú odchýlku $s_{\bar{h}}$. Nepoužijeme ale vzťah (12), pretože nezabúdajme, že sme používali vážený priemer namiesto klasického aritmetického. Preto potrebujeme použiť váženú verziu vzťahu (13), ktorá vyzerá takto:

$$ s_{\bar{h}{w}}=\left[\frac{\sum}^{N}w_{i}\left(h_{i}-\bar{h{w}\right)^{2}}{\left(N-1\right)\sum \qquad{(14)}$$}^{N}w_{i}}\right]^{\frac{1}{2}}\textrm{.

Ak ste sa dočítali až sem, gratulujem. Môžete si vydýchnuť. To najťažšie už máte za sebou.[^11] Zostáva nám už len uviesť hodnoty, ktoré sme dostali a interpretovať si vyčíslené chyby. Takže poďme pekne po poriadku.

Hrúbka zrkadla vypočítaná podľa vzťahu (9) nám vyšla $\bar{h}{w}=\SI{2.324}{\milli\metre}$. Na grafe 4 je vyznačená plnou oranžovou čiarou. Smerodajná odchýlka vyšla $s$. Ako túto hodnotu interpretovať? Tak, že do istého násobku tejto vzdialenosti od priemernej hodnoty s istou pravdepodobnosťou leží skutočná hrúbka zrkadla. Aký je ten násobok a aká je tá pravdepodobnosť, o tom hovorí Studentovo $t$-rozdelenie. Presnejšie povedané, pravdepodobnosť si zvolím ja – povedzme, že napr. $\SI{99}{\percent}$. Otvorím si tabuľky a zistím, aký násobok zodpovedá tejto pravdepodobnosti. Pri Studentovom rozdelení treba zobrať koeficient pre správny počet stupňov voľnosti. Čo sú stupne voľnosti, to sme si už vysvetlili. Máme 19 meraní, takže je 18 stupňov voľnosti. Pre 18 stupňov voľnosti a pravdepodobnosť $\SI{99}{\percent}$ vyčítame koeficient $\num{2.878}$. Teraz už len týmto koeficientom prenásobíme smerodajnú odchýlku, a tým dostaneme tzv. krajnú chybu pre 99-percentný interval spoľahlivosti. Na grafe je vyznačený oranžovou čiarkovanou čiarou.[^12] Bodkovanou čiarou je potom vymedzený interval zväčšený o priemernú absolútnu chybu hrúbky skla (t. j. o priemernú veľkosť errorbaru), ktorá je $\SI{1.544}{\milli\metre}$.[^13]}_{w}}=\SI{0.090}{\milli\metre

Pri odhadovaní chýb musíme počítať s najhorším scenárom, preto musíme krajnú chybu s priemernou absolútnou chybou sčítať, a tým dostaneme finálnu chybu merania. Zistili sme, že hrúbka zrkadla je $\num{2.324}\pm\SI{1.802}{\milli\metre}$. To predstavuje relatívnu chybu $\SI{77.54}{\percent}$. Naše meranie teda bolo veľmi nepresné. Takáto veľká chyba je však pochopiteľná. Hlavným príspevkom je nepresnosť merania vzdialenosti hrotu od jeho obrazu, pretože tá je pri veľkých uhloch (pozorovacích výškach) len okolo jedného milimetra a samotná neistota merania je $\SI{1}{\milli\metre}$, takže sa dalo očakávať, že dostaneme podobne veľkú chybu. Takáto vysoká chyba je spôsobená zlým dizajnom experimentu a opakovaním meraní by sa ju znížiť nepodarilo.[^14] Potrebujeme teda prísť s iným návrhom experimentu.

Ešte pred tým si ale vykreslime teoretickú závislosť pre nami nameranú hrúbku skla (viď obrázok 3). Čiernou plnou čiarou je zobrazená závislosť pre hrúbku skla $\bar{h}_{w}$. Pre porovnanie čiernou prerušovanou čiarou je zobrazená závislosť pre hrúbku skla vypočítanú ako obyčajný aritmetický priemer a sivou plnou čiarou je závislosť pre hrúbku skla určenú metódou najmenších štvorcov. Vidíme, že všetky tri závislosti ležia tesne pri sebe. Zelenou čiarou je pre porovnanie vykreslená závislosť pre skutočnú hrúbku zrkadla zmeranú priamym kontaktným meraním, ktorá je $h=\num{2.2}\pm\SI{0.1}{\milli\metre}$.

Teraz sa môžeme pokúsiť navrhnúť nový experiment, ktorým by sme sa dopracovali k hrúbke zrkadla zaťaženej menšou chybou. Keďže sa nám podarilo identifikovať hlavný zdroj chýb, musíme sa zamyslieť, ako ho eliminovať.

Možným riešením by bolo nahradiť zobrazovanie hrotu ihly odrážaním úzkeho zväzku svetla. Ak vrchný povrch zrkadla odráža časť svetla, tak potom na tienidle by sme mali pozorovať dva body – jeden prislúchajúci lúču odrazenému od horného povrchu zrkadla a druhý lúču odrazenému od zadnej odrazivej plochy. Nakláňaním tienidla by sme vedeli osvetlené body na tienidle od seba vzdialiť tak, aby ich vzájomná vzdialenosť bola väčšia než nepresnosť merania tejto vzdialenosti.

Prvotné pokusy s týmto konceptom však ukázali dieru v našej stratégii. Tým, že náš zväzok svetla nebol dostatočne tenký, tak nakláňaním tienidla sa proporčne zväčšovali aj osvetlené body na tienidle, takže s ich vzájomnou vzdialenosťou rástla priamo úmerne aj nepresnosť merania tejto vzdialenosti.

Pri vykonávaní prvotných pokusov sme si však všimli iný jav, ktorý by sme mohli využiť. Na tienidle sa neobjavili len dva body, ale celý rad ekvidištančných bodov, ktorých jas postupne klesal. Ďalšie body v rade zodpovedali viacnásobne odrazeným lúčom medzi horným a zadným povrchom zrkadla (viď obrázok 5). Nám stačí odmerať vzdialenosť medzi prvým a posledným zreteľne viditeľným bodom. Tým zväčšíme vzdialenosti, ktoré meriame, a nijako výrazne tým neznížime presnosť merania.

obrázok 5: Záber z merania pomocou lasera a detail na osvetlené body na stene.

obrázok 6: Geometria odrazených lúčov od zrkadla.

Poďme si pre takéto meranie odvodiť príslušné vzťahy. Označme si vzdialenosť stredov dvoch susedných osvetlených bodov na tienidle $\varDelta$. Vzťah medzi uhlom lúča, hrúbkou zrkadla a horizontálnou vzdialenosťou medzi dvoma susednými lúčmi sme si už odvodili – viď rovnica (3). Teraz nám už len z lichobežníka daného dvomi susednými lúčmi, povrchom zrkadla a tienidlom stačí prepočítať horizontálnu vzdialenosť lúčov $d$ na vzdialenosť stredov osvetlených bodov $\varDelta$. Tento lichobežník si možno rozdeliť na rovnobežník a pravouhlý trojuholník – viď obrázok 6. Z pravouhlého trojuholníka okamžite vidíme, že

$$ \tan\alpha=\frac{\varDelta}{d}\textrm{.} \qquad{(15)}$$ Dosadiac za $d$ do (3), dostávame $$ \frac{2h}{\varDelta}=\frac{\sqrt{n^{2}-\cos^{2}\alpha}}{\sin\alpha}\textrm{.} \qquad{(16)}$$

Pre potreby spracovávania dát tento vzťah ešte uvedieme v tvaroch

$$ h =\frac{\varDelta}{2}\frac{\sqrt{n^{2}-\cos^{2}\alpha}}{\sin\alpha} \qquad{(17)}$$

$$ \textrm{a }\varDelta =\frac{2h\sin\alpha}{\sqrt{n^{2}-\cos^{2}\alpha}}\textrm{.} \qquad{(18)}$$

Uhol svietenia laserom sa dá kontrolovať pomerne dobre, preto teraz nemusíme prevádzať uhol na výšku, z ktorej svietime.

Vyzbrojení teóriou môžeme opäť pristúpiť k meraniu.

1. Z kartónu si vyrežeme uhly v rozpätí $\ang{15}$ až $\ang{75}$ odstupňované po $\ang{5}$. Pomocou nich budeme kontrolovať uhol svietenia.

2. Zrkadlo položíme na vodorovnú podlahu k stene. Vodorovnosť zrkadla a zvislosť steny overíme vodováhou.

3. Zoberieme laser, priložíme ho ku kartónovému trojuholníku, pomocou ktorého zabezpečíme požadovaný uhol medzi podlahou a lúčom.

4. Pomocou pravítka odmeriame vzdialenosť stredov prvého a posledného zreteľného, osvetleného bodu na stene a spočítame počet medzier medzi týmito dvomi bodmi. $\varDelta$ je potom podiel nameranej vzdialenosti a počtu medzier.

Namerané dvojice dát $\left[\alpha;\varDelta\right]$ sú zobrazené na grafe 7. Nepresnosť uhla odhadneme na $\ang{2}$ z dôvodu nepresnosti vystrihovania uhlov z kartóna a nepresnosti pri prikladaní lasera k povrchu kartóna pri svietení. Nepresnosť merania vzdialenosti osvetlených bodov odhadneme na $\SI{2}{\milli\metre}$ z dôvodu nepresnosti určenia stredov osvetlených bodov a ich pohybu v dôsledku trasenia rúk. Zdôraznime ale, že toto je chyba merania vzdialenosti krajných bodov. Ak je medzi nimi $m$ medzier, tak chyba merania vzdialenosti dvoch susedných bodov je $\frac{2}{m}\si{\milli\metre}$.

obrázok 7: Namerané hrúbky skla a vykreslené teoretické závislosti pre niekoľko hrúbok skla.

Pri spracovávaní dát budeme postupovať analogicky ako pri predchádzajúcom meraní. Z dvojíc dát $\left[\alpha_{i};\varDelta_{i}\right]$ opäť dopočítame hrúbky skla $h_{i}$ a pre každú z nich podľa pravidiel šírenia chýb určíme absolútnu chybu. Jej prevrátenú hodnotu následne použijeme ako váhu do váženého priemeru. Nakoniec dopočítame váženú výberovú smerodajnú odchýlku priemernej hrúbky skla podľa vzťahu (14).

Hrúbku skla pre jednotlivé dvojice nameraných dát počítame podľa vzťahu (17). K tomuto vzťahu potrebujeme odvodiť príslušný vzťah na šírenie chýb. Oproti predchádzajúcemu prípadu je tu však jedna komplikácia – nemáme tu len jednoduché sčitovanie/odčitovanie, násobenie/delenie a umocňovanie/odmocňovanie, ale uhol nám vystupuje ako argument funkcií sínus a kosínus. Bez dôkazu uvedieme, že ak je uhol zaťažený absolútnou chybou $\mathrm{AE}\alpha$, sínus je zaťažený chybou $\mathrm{AE}\left(\sin\alpha\right)=\left|\cos\alpha\right|\mathrm{AE}\alpha$ a kosínus chybou $\mathrm{AE}\left(\cos\alpha\right)=\left|\sin\alpha\right|\mathrm{AE}\alpha$.[^15] Pri ďalšom odvádzaní vypustíme absolútnu hodnotu, pretože vieme, že narábame len s uhlami z prvého kvadrantu, pre ktoré sú sínus i kosínus kladné. Absolútna chyba $n^{2}$ je

$$ \mathrm{AE}n^{2}=2n\mathrm{AE}n $$ a absolútna chyba $\cos^{2}\alpha$ je $$ \mathrm{AE}\left(\cos^{2}\alpha\right)=2\sin\alpha\cos\alpha\mathrm{AE}\alpha\textrm{.} $$ Absolútna chyba výrazu pod odmocninou je potom $$ \mathrm{AE}\left(n^{2}-\cos^{2}\alpha\right)=2\left(n\mathrm{AE}n+\sin\alpha\cos\alpha\mathrm{AE}\alpha\right) $$ a jeho relatívna chyba $$ \mathrm{RE}\left(n^{2}-\cos^{2}\alpha\right)=\frac{2\left(n\mathrm{AE}n+\sin\alpha\cos\alpha\mathrm{AE}\alpha\right)}{n^{2}-\cos^{2}\alpha}\textrm{.} $$ Relatívna chyba hrúbky skla je konečne $$ \mathrm{RE}h=\mathrm{RE}\varDelta+\frac{n\mathrm{AE}n+\sin\alpha\cos\alpha\mathrm{AE}\alpha}{n^{2}-\cos^{2}\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\mathrm{AE}\alpha $$ a absolútna chyba $$ \mathrm{AE}h=\mathrm{RE}h\cdot\frac{\varDelta}{2}\frac{\sqrt{n^{2}-\cos^{2}\alpha}}{\sin\alpha}\textrm{.} \qquad{(19)}$$

Tak a poďme k výsledkom (obrázok 8). Hrúbka skla vypočítaná váženým priemerom (9) nám vyšla $\bar{h}{w}=\SI{2.422}{\milli\metre}$. Priemerná veľkosť absolútnej chyby je $\overline{\mathrm{AE}h}$. Smerodajná odchýlka hrúbok je $s_{\bar{h}_{w}}=\SI{0.045}{\milli\metre}$. Namerali sme 13 hrúbok skiel. Príslušný Studentov koeficient pre 12 stupňov voľnosti pre 99-percentný interval spoľahlivosti je $\num{3.055}$, a teda krajná chyba nám vyšla $\SI{0.1361}{\milli\metre}$. Už len sčítame krajnú chybu s priemernou veľkosťou absolútnej chyby, aby sme odhadli chybu pre najhorší možný scenár. Dostaneme, že hrúbka skla je $\num{2.422}\pm\num{0.8510}\si{\milli\metre}$, čo predstavuje relatívnu chybu $\SI{35.13}{\percent}$, čo predstavuje výrazné zlepšenie oproti predchádzajúcemu meraniu.}=\SI{0.7148}{\milli\metre

obrázok 8: Vypočítané hrúbky skla s príslušnými nepresnosťami.

Len pre porovnanie uveďme, že metódou najmenších štvorcov by sme dostali hrúbku skla $\SI{2.401}{\milli\metre}$. Teoretické závislosti (18) pre hrúbky skla určené jednotlivými spôsobmi (vážený priemer, aritmetický priemer, najmenšie štvorce, priame meranie) sú zobrazené na grafe 7.

Dvomi nezávislými meraniami sa nám podarilo určiť hrúbku skla zrkadla. Tieto hrúbky v rámci medzí presnosti medzi sebou súhlasia a súhlasia aj s priamo nameranou hrúbkou zrkadla, aj keď ju mierne nadhodnocujú, ale stále je to v rámci medzí presnosti merania. Poznamenajme ale, že sme namerali hrúbku skla zrkadla a nie celého zrkadla, keďže zrkadlo má na zadnej strane ešte tenkú odrazivú vrstvu, ktorej hrúbku nie je možné optickou metódou zmerať. Táto vrstvička je však oproti hrúbke skla zanedbateľne tenká a v rámci presnosti merania nespraví rozdiel.