Ach tie preklepy. Alebo žeby nie?

Zadanie nám hovorí, že Matúš je tak vytrénovaný, že si pri prechode do protiľahlého rohu parčíka zvolí vždy optimálnu trajektóriu – teda takú, po ktorej mu to bude trvať čo najkratšie. Ale presne tak sa správa aj svetlo. Hovorí o tom Fermatov princíp[^1]. Ďalej vieme, že Matúš sa cez parčík pohybuje $n$-krát pomalšie ako po chodníku po obvode. Parameter $n$ tu teda funguje presne ako index lomu v optike. Úlohu teda možno transformovať na hľadanie lúčov v optike.

Rozoberme si najskôr extrémne prípady:

• Ak je “index lomu” rovný jednej, tak neexistujú žiadne rozhrania a najrýchlejšia je, pochopiteľne, priama trajektória do protiľahlého rohu parčíka.

• Ak je “index lomu” dostatočne veľký, teda ak sa Matúš cez parčík pohybuje veľmi pomaly, je pre neho výhodnejšie ísť po jeho obvode.

Niekde medzi tým bude zrejme existovať prípad, že Matúš prejde čiastočne po chodníku a čiastočne si to strihne krížom cez park. Teraz sa budeme podrobnejšie venovať tejto situácii.

Z optiky vieme, že svetlo sa v homogénnom prostredí šíri priamočiaro a na optických rozhraniach sa láme, dodržujúc pritom Snellov zákon $$ \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2} = \frac{n_2}{n_1}, \qquad{(1)}$$ kde $\alpha_1$, $\alpha_2$ sú uhly dopadu lúčov voči kolmici na rozhranie. V našom prípade $n_1 = 1$, $n_2 = n$ a $\alpha_1 = \ang{90}$. Ak si označíme $\alpha$ uhol, pod ktorým vchádza Matúš do parku, tak $\alpha = \ang{90} - \alpha_2$, teda $$ \cos\alpha = \frac{1}{n}. \qquad{(2)}$$

Je zrejmé, že Matúš môže do parčíka vstúpiť i vystúpiť z neho len pod uhlom spĺňajúcim túto podmienku.

Okamžite vidíme, že ak Matúš spĺňa podmienku pri vstupe, automaticky ju spĺňa aj pri výstupe cez protiľahlú stranu.

Možné triedy trajektórií prechádzajúcich čiastočne cez parčík

Poďme si teraz zrátať, ako dlho mu bude takýto prechod cez parčík trvať (zelená trajektória). Pre jednoduchosť uvažujme, že $a = 1$ a Matúš sa po chodníku tiež pohybuje rýchlosťou $1$[^2]. Potom čas pochodu chodníkom bude rovný dĺžke úseku chôdze po chodníku a čas pochodu cez parčík bude $n$ krát dĺžka úseku chôdze cez parčík. S použitím jednoduchej trigonometrie dostaneme $$ \tau = \underbrace{\frac{n}{\sin\alpha}}{\textrm{cez parčík}} + \underbrace{2 - \cot\alpha}. \qquad{(3)}$$ Po dosadení podmienky pre vstupný uhol 2 a následnej úprave dostávame $$ \tau = 2 + \sqrt{n^2 - 1}. \qquad{(4)}$$}

Ešte potrebujeme určiť, za akých okolností tento vzťah platí.

V prvom rade musíme zabezpečiť, aby Matúš, nasledujúc Snellov zákon, vyšiel cez protiľahlú stranu parčíku. K tomu dôjde, len ak priemet vzdialenosti na stranu parčíka, cez ktorú vošiel dnu, bude nanajvýš rovný dĺžke tejto strany, čiže $$ \cot\alpha \leq 2. \qquad{(5)}$$ Odtiaľ po dosadení podmienky 2 dostávame $$ \frac{1}{\sqrt{n^2 - 1}} \leq 2 \quad\Rightarrow\quad n \geq \frac{\sqrt{5}}{2}. \qquad{(6)}$$ Ak táto podmienka nie je splnená, najvýhodnejšia trasa je prechod priamo naprieč parkom do protiľahlého rohu, ktorá trvá $\sqrt{5}n$.

Vzťah 2 nám hovorí, že čím je index lomu väčší, tým je väčší aj vstupný uhol. Pre veľmi veľký “index lomu” je vstupný uhol skoro pravý. To znamená, že Matúš v takom prípade musí prejsť skoro pozdĺž celej jednej strany po chodníku a o niečo viac ako dĺžku druhej strany cez parčík. V takom prípade okamžite vieme povedať, že by bolo efektívnejšie, ak by šiel po obvode, pretože prejde takmer takú istú vzdialenosť, ale väčšou rýchlosťou. Preto môžeme tvrdiť, že od istej veľkosti “indexu lomu” je pre neho výhodnejšie ísť po obvode. Nájsť tento medzný uhol nie je problém. Vieme, že po obvode mu bude trvať prejsť do protiľahlého rohu čas 3. Preto cez parčík pôjde len v takom prípade, ak čas prechodu 4 nebude dlhší, teda $$ 2 + \sqrt{n^2 - 1} \leq 3 \quad\Rightarrow\quad n \leq \sqrt{2}. \qquad{(7)}$$

Konečne si to môžeme všetko zhrnúť. Pre čas prechodu v závislosti od “indexu lomu” platí $$ \tau\left(n\right) = \begin{cases} \sqrt{5}n, &\quad\text{ak}\quad n < \frac{\sqrt{5}}{2}, \ 2 + \sqrt{n^2 - 1}, &\quad\text{ak}\quad n\in\left\langle \frac{\sqrt{5}}{2}; \sqrt{2}\right\rangle, \ 3, &\quad\text{ak}\quad n > \sqrt{2}. \end{cases} \qquad{(8)}$$

Doteraz sme uvažovali, že Matúš vyjde cez protiľahlú stranu parčíka. Nemohol by ale vyjsť cez susednú? – Mohol, ale… Aby platil Snellov zákon pri vstupe do parčíka i pri výstupe z nehu, musel by do parčíka vstupovať i vystupovať pod uhlom $\ang{45}$ (modrá trajektória). To je ale možné len pre $n = \sqrt{2}$.

Pripusťme na chvíľu túto možnosť a povedzme, že si Matúš skrátil cestu tak, že urezal z rohu vzdialenosť $x$. V takom prípade by mu cesta trvala $$ \tau_x = \left.3 - 2x + \sqrt{2}xn\right|_{n = \sqrt{2}} = 3. \qquad{(9)}$$ To je ale presne toľko, koľko by mu cesta trvala po obvode i cez protiľahlú stranu, čo vidíme zo vzťahu 4 po dosadení $n = \sqrt{2}$, takže vtedy je úplne jedno, ktorú z množiny týchto trajektórií si vyberie.

Ešte by sme sa mohli pýtať, že či je nutné, aby pri urezaní rohu platil Snellov zákon pri vstupe do parčíka i pri výstupe z neho. A odpoveď je, že áno. Snellov zákon je dôsledok Fermatovho princípu, takže ak neplatí Snellov zákon pri vstupe i pri výstupe, určite existuje susedná trajektória, ktorá je rýchlejšia. Ak by sme sa rozhodli iteratívne prechádzať na susednú, rýchlejšiu, trajektóriu, postupne by sme dokonvergovali na niektorú z trajektórií spĺňajúcich Snellov zákon – teda takú, ktorú sme už našli.

Na záver ešte pre úplnosť uveďme, že sme uvažovali chôdzu po chodníku pozdĺž dlhšej strany parčíka a krosovali sme ho v smere, v ktorom je užší. Toto už intuitívne dáva zmysel – chcem prejsť viac tadiaľ, kde som rýchlejší a menej tadiaľ, kde som pomalší. Pre tých, čo neveria, uvedieme aj výsledok pre prípad, že by sme parčík krosovali cez väčšiu hrúbku (červená trajektória), ale už ho nebudeme podrobne vysvetľovať, pretože výpočet je úplne analogický, $$ \tau\left(n\right) = \begin{cases} \sqrt{5}n, &\quad\text{ak}\quad n < \sqrt{5}, \ 1 + 2\sqrt{n^2 - 1}, &\quad\text{ak}\quad n\in\left\langle \sqrt{5}; \sqrt{2}\right\rangle, \ 3, &\quad\text{ak}\quad n > \sqrt{2}. \end{cases} \qquad{(10)}$$ Okamžite vidíme, že mód prechodu cez protiľahlé kratšie strany nikdy nenastane, pretože ak má platiť Snellov zákon, môže k nemu dôjsť až pre “index lomu” $n \geq \sqrt{5}$, ale už od “indexu lomu” $n = \sqrt{2}$ je výhodnejšie ísť naokolo.

Trvanie prechodu po optimálnej trajektórii v závislosti od “indexu lomu” je zobrazené na obrázku 1.

obrázok 1: Čas prechodu po ideálnej trajektórii v závislosti od “indexu lomu”. Pre “index lomu” $n < \frac{\sqrt{5}}{2}$ je optimálna trajektória priama do protiľahlého rohu, pre “index lomu” $n\in\left\langle \frac{\sqrt{5}}{2}; \sqrt{2}\right\rangle$ prechádza krížom cez park cez dlhšie strany a pre “index lomu” $n > \sqrt{2}$ vedie po obvode parku.