V prvom rade sa pozrime na to, ako vyzerá profil trate. Sklon $\SI{10}{\permille}$ znamená, že $\SI{1000}{\metre}$ horizontálnej dĺžky vystúpa o $\SI{10}{\metre}$, rovnako $\SI{20}{\permille}$ klesanie znamená $\SI{-20}{\metre}$ na $\SI{1}{\kilo\metre}$. Označme si dĺžku, na ktorej vlak stúpa ako $L$, celá trať má $\SI{6}{\kilo\metre}$. Vieme, že vlak musí nastúpať rovnako veľa ako potom klesne, takže $$ \begin{aligned} L \cdot \SI{10}{\metre} &= (\SI{6}{\kilo\metre} - L) \cdot \SI{20}{\metre}, \ \Rightarrow \quad L &= \SI{4}{\kilo\metre} \end{aligned} $$

Na dráhe $\SI{4}{\kilo\metre}$ vlak nastúpa $4 \cdot \SI{10}{\metre} = \SI{40}{\metre}$.

Skôr než sa pustíme do riešenia, spravíme zopár aproximácií. Uvažujeme, že výška[^1] a šírka vlaku neovplyvnia trajektóriu, a preto berieme vlak ako úsečku dlhú $\SI{500}{\metre}$. Zároveň uvažujeme, že vlak je dokonale ohybný, teda nemá vagóny, ktoré by nedovoľovali ohyb. V úlohe celý čas pracujeme s veľmi malými sklonmi ($< \ang{5}$), a preto spravíme aproximáciu $\sin x \approx x$, $\cos x \approx 1$ a $\tan x \approx x$ pre $x$ v radiánoch. Schválne! Hoďte si to do kalkulačky a zistite, o koľko sa približná hodnota líši od tej skutočnej! Toto nám veľmi pomôže, lebo $x$-ovú súradnicu vlaku v kopci nemusíme uvažovať ako $\cos\alpha \cdot x$ ale iba $x$[^2].

Teraz sa už pozrime na trajektóriu ťažiska vlaku. Čaro tejto úlohy úlohy spočíva práve v tom, ako sa bude správať ťažisko, keď vlak bude prechádzať cez vrchol kopca alebo bude na úpätí. Ak totiž vlak bude ležať na jednej priamke, tak ťažisko je, samozrejme, uprostred vlaku. Predstavme si ale situáciu, keď nastáva nejaký zlom. Časť vlaku už prešla vrcholom kopca a časť ešte nie. Kde bude ťažisko? Intuitívne niekde pod vrcholom.

Spočítať, kde presne je ťažisko, môžeme pomocou váženého priemeru ťažísk jednotlivých jeho častí. Hmotnosť je priamo úmerná dĺžke, lebo máme homogénny vlak. Označme časť prednú časť 1 a zadnú 2, hmotnosť celého vlaku $M$, dĺžku vlaku $l$ a dĺžku časti vlaku za zlomom $d$. Pre hmotnosti platí $$ \begin{aligned} M_1 &= M \frac{d}{l}, \ M_2 &= M \frac{l - d}{l}. \end{aligned} $$ Ťažiská týchto rovných častí ležia presne uprostred. Keď zlom je v bode $[x_0, y_0]$ a sklon kopca za zlomom je $\alpha$ a pred zlomom $\beta$, tak jednotlivé ťažiská sú v bodoch $$ \begin{aligned} T_{1x} &= x_0 + \frac{d}{2}, \ T_{1y} &= y_0 + \frac{d}{2} \sin\alpha \approx y_0 + \frac{d}{2} \alpha, \ T_{2x} &= x_0 - \frac{l-d}{2}, \ T_{2y} &= y_0 - \frac{l-d}{2} \sin\beta \approx y_0 - \frac{l-d}{2} \beta. \end{aligned} $$

Vážený priemer, a teda polohu ťažiska $[T_x, T_y]$ spočítame ako $$ \begin{aligned} T_x &= \frac{M_1 T_{1x} + M_2 T_{2x}}{M}, \ &= \frac{M \frac{d}{l} (x_0 + \frac{d}{2}) + M \frac{l-d}{l} (x_0 - \frac{l-d}{2})}{M}, \ &= \frac{d (x_0 + \frac{d}{2}) + (l-d) (x_0 - \frac{l-d}{2})}{l}, \ &= x_0 + \frac{d^2 - (l-d)^2}{2l} = x_0 + d - \frac{l}{2}. \end{aligned} $$ Rovnako pre $T_y$ $$ \begin{aligned} T_y &= \frac{M_1 T_{1y} + M_2 T_{2y}}{M}, \ &= \frac{M \frac{d}{l} (y_0 + \alpha\frac{d}{2}) + M \frac{l-d}{l} (y_0 - \beta\frac{l-d}{2})}{M}, \ &= \frac{d (y_0 + \alpha\frac{d}{2}) + (l-d) (y_0 - \beta\frac{l-d}{2})}{l}, \ &= y_0 + \frac{d^2 \alpha - (l-d)^2 \beta}{2l}. \end{aligned} $$

Dostali sme teda vyjadrenie polohy ťažiska v závislosti od $d$, teda časti ktorá už prešla bod zlomu.

Odteraz budeme všetky dĺžky a súradnice dosádzať v metroch. Na našej trajektórii máme tri zlomové body, konkrétne $[0, 0]$, $[4000, 40]$ a $[6000, 0]$. Pre začiatok vlaku $x$ v intervale $[0, 500]$ je $$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad \alpha = 0.01, \quad \beta = 0, \quad d = x, $$ čiže $$ T_x = 0 + x - 250 \qquad\text{a}\qquad T_y = 0 + \frac{0.01 x^2}{1000}. $$

Pre začiatok vlaku $x$ v intervale $[500, 4000]$ ide ťažisko vlaku po priamke $y = \alpha x = 0.01x$, aby priamka prechádzala bodmi $[0, 0]$ a $[4000, 40]$.

Pre začiatok vlaku $x$ v intervale $[4000, 4500]$ je $$ x_0 = 4000, \quad y_0 = 40, \quad \alpha = -0.02, \quad \beta = 0.01, \quad d = x - 4000, $$ čiže $$ T_x = x - 250 \qquad\text{a}\qquad T_y = 40 + \frac{-0.02 (x-4000)^2 - 0.01 (500-(x-4000))^2}{1000}. $$

Pre začiatok vlaku $x$ v intervale $[4500, 6000]$ ide ťažisko vlaku ide po priamke $y = 120 - 0.02x$, aby priamka prechádzala bodmi $[4000, 40]$ a $[6000, 0]$.

Pre začiatok vlaku v intervale $[6000, 6500]$ je $$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad \alpha = 0, \quad \beta = -0.02, \quad d = x - 6000, $$ čiže $$ T_x = x - 250 \qquad\text{a}\qquad T_y = 0 + \frac{0.02 (500-(x-6000))^2}{1000}. $$

Trajektória ťažiska je zobrazená na obrázku 1.

obrázok 1: Trajektória ťažiska vlaku

Môžeme si teda všimnúť to čaro, že v zlomových bodoch je trajektória parabolická, teda pekne hladko sa zmení.