Ako vzorové riešenie uvádzame veľmi pekné riešenie od Anny Oleárovej.

Aparatúra

• Špagát

• Nádoba

• Menšia nádoba

• Klinec

• Plastelína

• Vreckovky a ponožky (ako výstuž)

• Kovové ložiskové guľôčky (ako závažia)

• Šublera

obrázok 1: Pomôcky

Zostrojenie aparatúry

1. Do väčšej nádoby zvrchu vyvŕtam štyri diery a cez ne prepchám špagáty tak, aby som ich vedela potom spojiť a zaviazať na ich koncoch mimo nádoby.

2. Do tejto nádoby napchám na spodok plastelínu. (Medzi experimentami sa vždy vyberie a premieša, nech nie je čiastočne stlačená na miestach, kde bolo predtým závažie. Zároveň je to aj opatrenie potrebné pre čo najpodobnejšie začiatočné podmienky, lebo plastelína na vzduchu tvrdne. Takto zabezpečím, že bude vždy už mäkká a rovnako stlačiteľná, aby sme reálne mali nejaké výsledky na zmeranie.)

3. Do menšej nádoby vyvŕtam zospodu dierku, cez ktorú prepchám klinec tak, aby dno nádoby bolo “vo vzduchu” a nádoba postávala iba na tom klinci. (Toto opatrenie bolo potrebné, nakoľko pri väčšej ploche ako špička klinca nebolo možné zmerať hĺbku vzniknutej priehlbiny. Aj s klincom totiž nebola väčšinou väčšia ako $\SI{5}{\milli\metre}$.)

4. Do nádoby (na plastelínu) položím menšiu nádobku, do ktorej budem pokladať závažia. Táto nádobka sa opiera o výstuž vreckovkami vo väčšej nádobe dostatočne na to, aby udržala rovnováhu, ale zároveň jej výstuž nezabraňuje v poklese do plastelíny pod vplyvom tiažovej sily. Je dôležité, že všetky závažia pokladám do nádoby, ktorej sa nemení plocha dotyku s plastelínou (špička klinca) pri každom meraní (čo by sa dialo pri pokladaní čisto guľôčok). (Áno, klinec sa rozširuje po hrote, ale rozširuje sa rovnako veľa pri každom meraní.) Takto sa plocha meniť nebude a uvidím priamy vzťah medzi hmotnosťou guľôčky, resp. tiažovou silou, ktorou pôsobí na dno a hĺbkou vzniknutej priehlbiny.

obrázok 2: Nákres aparatúry

Postup

Najprv sa zameriam na už spomenuté meranie závislosti pôsobiacej sily a hĺbky priehlbiny. Túto závislosť som zmerala pokladaním rôzne ťažkých guľôčok do kolísky. Vždy som ich tam nechala po dobu asi desiatich sekúnd. (Kebyže sú tam dlhšie, tak by vplývali iné javy do experimentu, lebo by sa to tak postupne zabáralo hlbšie a hlbšie a zároveň by tvrdla plastelína. Keďže to potom chce byť analogické s rotačným pohybom, kde sa tieto javy sa vyskytujú iným spôsobom, napríklad aj kvôli rôznemu prúdeniu vzduchu, nechávala som silu pôsobiť iba v krátkom časovom rámci. Navyše, kebyže to mám točiť minútu vkuse v rovnakej značnej rýchlosti, asi by som dosť umrela.) Posuvné meradlo som zabárala do priehlbiny, ktorú predtým vytvoril klinec, a zmerala najväčšiu hĺbku. Silu, ktorá pôsobila na klinec, vypočítam jednoducho ako $F_g = m_g g$, kde $F_g$ je gravitačná sila, $m_g$ je hmotnosť guľôčky a nádob a $g$ je tiažové zrýchlenie. Každé meranie som opakovala trikrát. Vyšla mi takáto závislosť na nasledovnom grafe.

obrázok 3: Závislosť hĺbky priehlbiny od pôsobiacej sily

Vidíme, že s rastúcou hmotnosťou závažia lineárne stúpa aj hĺbka priehlbiny. Koeficient tohto rastu je $\kappa = \num{0.0013}$. Fitla som pomocou Excelu do grafu teda lineárnu funkciu, ktorá má $R^2 = \num{0.9887}$, čo je znak, že dosť dobre sedí. Nastavila som, že musí prechádzať bodom $[0, 0]$, pretože keď nepôsobíme na plastelínu žiadnou silou, logicky nevzniká jamka. Error bary sú výsledkom trojnásobného merania a odchýlky šublery ($\SI{0.05}{\milli\metre}$).

S týmto zistením sa môžeme presunúť do druhej časti. Ďalej máme za úlohu takúto kolísku roztočiť a zistiť maximálne dostredivé zrýchlenie, ktoré vieme dosiahnuť. Ako zistím toto dostredivé zrýchlenie? Zo vzťahu $$ F_D = m_g a_D. $$ Z nášho fitu sme zistili (po premene na základné jednotky), že $h = \kappa F$, pričom $h$ je hĺbka priehlbiny v metroch a $F$ je sila pôsobiaca na klinec. V prípade s rotáciou po kružnici sa táto sila bude rovnať odstredivej resp. dostredivej sile $$ \frac{h}{\num{0.0013}} = m_g a_D, $$ teda $$ a_D = \frac{h}{\num{0.0013} m_g}. $$ Hĺbku priehlbinky zmeriame a hmotnosť vieme. Tým pádom vieme zistiť želané zrýchlenie, aby sme zistili, aká presná je Péderova technika. Na základe základných vzorcov pre rovnomerný pohyb po kružnici (ktorý môžeme aplikovať v tomto prípade) $$ \begin{aligned} a_D &= \frac{v^2}{r} = \omega^2 r, \ F_D &= m_g \frac{v^2}{r}, \ v &= \frac{s}{t} = \frac{2\pi r}{T}, \end{aligned} $$ vieme merať rýchlosť točenia a z nej si overiť presnosť.

Otáčanie kolísky som točila na telefón a v Trackeri som si spomalene pozrela záznam a z toho zistila, ako dlho mi trvala jedna otočka (za aký dlhý čas sa kolíska vrátila na tie isté súradnice). Z toho vieme zistiť rýchlosť. (Samozrejme, že pohyb nie je dokonale rovnomerný. Na začiatku sa kolíska iba rozbieha. Každej otočke som zistila trvanie a rýchlosť som počítala z najrýchlejšieho otočenia. Celkovo sa vo finálnej priehlbine ukáže nakoniec iba najhlbšia priehlbina, ktorá vznikne pri najvyššej rýchlosti, ktorú som merala.)

obrázok 4: Meranie v Trackeri

Zadanie hovorí, že chceme dosiahnuť čo najvyššie zrýchlenie. Ako to dosiahnuť vieme zistiť z predošlých vzorcov, z ktorých vyplýva, že chceme mať čo najväčšiu uhlovú rýchlosť a čo najväčší polomer kružnice otáčania ($a_D = \omega^2 r$). Používam tento vzorec a nie ten s rýchlosťou, lebo pri otáčaní človekom je limitujúci faktor práve uhlová rýchlosť otáčania (celú sústavu roztočím na približne podobnú uhlovú rýchlosť, bez ohľadu na dĺžku špagátu). Hmotnosť objektu neovplyvňuje dostredivé zrýchlenie, lebo ako môžeme vidieť, nevyskytuje sa vo vzorci na jeho výpočet. S väčšou hmotnosťou ale prichádza aj väčšia potrebná dostredivá sila.

Čo znamená točenie pre aparatúru? V rukách špagát a celú sústavu točím nad hlavou čo najrýchlejšie ako sa mi dá. Po dotočení držím nádobu horizontálne a čo najrýchlejšie vytiahnem nádobu s guľôčkou (nech nevznikajú nepresnosti vtláčaním sa kvôli pôsobeniu gravitácie) a zmeriam hĺbku priehlbiny v plastelíne. Keďže sú priehlbiny pri točení hlbšie (lebo na ne pôsobí väčšie zrýchlenie), najprv do nich vsuniem tenučkú ihlu. Podľa toho, ako bola hlboko ponorená, odčítam z posuvného merania hodnotu hĺbky priehlbiny. Potom iba dopočítam zo vzťahu $a_D = h/(\num{0.0013} m_g)$ dostredivé zrýchlenie a porovnám s vypočítaným cez rýchlosť.

Najprv som to kvôli vyskúšaniu funkčnosti aparatúry vyskúšala s malým $r = \SI{0.25}{\metre}$ (tak, že som nádobu držala úplne pri bruchu) a $m = \SI{0.288}{\kilo\gram}$. V tomto prípade sa klinec zaboril do hĺbky $\SI{10.9}{\milli\metre}$ a “plastelínové zrýchlenie” vyšlo po dosadení do vzorca cca $a_p = \SI{29.08}{\metre\per\second\squared}$. Jedna perióda mi podľa trackovania vyšla $T = \SI{0.673}{\second}$. “Dopočítané zrýchlenie” vyšlo $a_D = \SI{21.79}{\metre\per\second\squared}$. Plastelínové zrýchlenie bolo $\SI{133}{\percent}$ dopočítaného. Toto celkom sedelo, tak som to skúsila s väčším $r$.

Meranie som opakovala päťkrát. Hmotnosť zostala rovnaká ako predtým. Polomer som zväčšila predĺžením špagátu $r = \SI{0.75}{\metre}$. (Kebyže ho predĺžim viac tak asi neudržím celú kolísku v kružnicovom pohybe a musela by som točiť menšou uhlovou rýchlosťou. To isté by spôsobila väčšia hmotnosť závaží.) Hĺbka bola v priemere $h = \SI{18.9}{\milli\metre}$. Z toho vypočítané plastelínové zrýchlenie je $a_p = \SI{50.29}{\metre\per\second\squared}$ (Percentuálna odchýlka meraní: $\SI{7.62}{\percent}$). Priemerná perióda bola $T = \SI{0.96}{\second}$. Z toho viem dorátať rýchlosť a teda aj zrýchlenie $a_D = \SI{30.59}{\metre\per\second\squared}$. (Percentuálna odchýlka meraní: $\SI{11.97}{\percent}$).

Tabuľka nameraných hodnôt plastelínového zrýchlenia je nižšie.

Namerané hodnoty dopočítaného zrýchlenia sú v tabuľke nižšie.

Ako môžeme vidieť, tieto hodnoty nie úplne sedia. Meranie plastelínou vyjde viac ako $\num{1.6}$-násobok “reálnejšej” hodnoty. A už len odhadovo vidíme, že $5g$ je príliš veľa na to, aby to bolo skutočné. Táto nepresnosť môže byť spôsobená viacerými faktormi.

Chyby merania

• Točenie kolísky rukou. Rýchlosť nebola úplne rovnomerná po celú dobu krútenia, predsa len som to točila rukou. Dráha taktiež nebola dokonale horizontálna. Do a z nej sa musela nádoba aj nejako dostať, takže klinec na ňu pôsobil aj gravitačne počas krátkych chvíľ, kedy som malú nádobu vkladala a vyberala z väčšej.

• Plastelína. Rôzne tvrdne na vzduchu. Keď stvrdne, ťažšie sa klincu zabára. Aby som tomuto efektu čo najviac zabránila, vždy som plastelínu premiešavala medzi meraniami rukou, aby bola približne rovnako mäkká a aby nebola na niektorých miestach viac stlačená ako na iných. Snažila som sa ju proste čo najviac homogenizovať.

• Meranie šublerou. Diera zanechaná klincom bola podobnej veľkosti ako hĺbkové meradlo šublery, čiže sa mohli navzájom rozrušiť. Navyše, keďže tie priehlbinky boli fakt malé, aj málo stačilo posunúť mimo a už by bol signifikantne iný výsledok. Merania som preto opakovala trikrát a pri hlbších priehlbinách použila ihlu ako pomôcku pre spresnenie.

• Nerovnomerné rozloženie hmotnosti v nádobe. Závažia som síce prilepovala na jej dno plastelínou a vypchávala ponožkami, aby držali na mieste a aby bola hmotnosť rozložená čo najrovnomernejšie, ale nie vždy sa to dalo dokonale.

• Možný nepresný fit. Prvú časť experimentálky som robila iba do určitej hmotnosti závaží. Je možné že sa začne trend správať inak pri extrémnejších prípadoch (napríklad pretože je ťažšie sa predierať stlačenejšou plastelínou). To by vysvetľovalo menšie nepresnosti pri meraniach nižšieho dostredivého zrýchlenia. Pri vyšších sa táto zmena princípu mohla prejaviť vo veľkosti nepresností.

Záver

Na zhrnutie, Péderova metóda vážne nie je presná na meranie odstredivého zrýchlenia. Je to spôsobené viacerými faktormi, ktoré som vyššie vymenovala. Pri pokuse o meranie najvyššieho možného zrýchlenia bol rozdiel v hodnote $\SI{19.7}{\metre\per\second\squared}$, čo je percentuálne $\SI{64}{\percent}$ reálnej.