Označme si bubliny písmenami “A” a “B”. Ich polomery sú $r_A$ a $r_B$ a majú objemy $V_{A, B} = \frac{4}{3} \pi r_{A, B}^3$. Je v nich $N_A$, resp. $N_B$ molekúl vzduchu. Teplota vzduchu v ich vnútri je $T_A = T_B = T_0$, kde $T_0$ je teplota vzduchu v miestnosti. Tlak vo vnútri bublín je o kapilárny tlak väčší oproti atmosférickému tlaku $p_0$. Pre kapilárny tlak vo vnútri bubliny platí $p_k = \frac{4\sigma}{r}$, kde $\sigma$ je povrchové napätie a $r$ je polomer bubliny, teda $p_{A, B} = p_0 + \frac{4\sigma}{r_{A, B}}$.

Ak $r_A > r_B$, tak zrejme $p_A < p_B$. Vzduch má tendenciu tiecť z miest s vyšším tlakom do miest s nižším tlakom, preto po otvorení ventilu začne pretekať vzduch z menšej bubliny do väčšej. Tým sa však ešte prehĺbi tlakový rozdiel medzi bublinami, a tak sa bude rýchlosť pretekania vzduchu medzi bublinami zväčšovať, až kým všetok vzduch z menšej bubliny nepretečie do väčšej.

Označme si polomer zjednotenej bubliny bezprostredne po zjednotení $r_1$. Jej objem bude $V_1 = \frac{4}{3} \pi r_1^3$. Bude obsahovať $N = N_A + N_B$ molekúl vzduchu, bude mať neznámu teplotu $T_1$ a neznámy tlak $p_1 = p_0 + \frac{4\sigma}{r_1}$.

Ako sme si už vysvetlili, pretekanie vzduchu medzi bublinami prebehne rýchlo, preto ho možno považovať za adiabatický proces. Pre adiabatický dej platí $pV^\kappa = \text{konšt.}$, kde $\kappa$ je adiabatická konštanta. Pre ideálny dvojatómový plyn je $\kappa = \frac{7}{5}$.

Napíšme adiabatickú rovnicu samostatne pre vzduch z bubliny “A” a samostatne pre vzduch z bubliny “B”. Problém je, že takto získame len dve rovnice – po jednej pre každú bublinu. Keďže však nevieme, aký objem po zjednotení bublín zaberá vzduch z jednotlivých bublín, máme až tri neznáme – dva neznáme objemy a jeden spoločný tlak, ktorý je po zjednotení rovnaký pre vzduch pochádzajúci z jednej i druhej bubliny. Našťastie však objem a tlak nie sú nezávislé, ale sú previazané kapilárnym tlakom. Dostávame teda sadu rovníc $$ \begin{aligned} p_A V_A^\kappa &= p_1 V_{A1}^\kappa, \ p_B V_B^\kappa &= p_1 V_{B1}^\kappa, \ p_1 &= p_0 + \frac{4\sigma}{r_1}, \end{aligned} \qquad(1)$$ kde $V_{A1}$ a $V_{B1}$ sú objemy, ktoré zaberá vzduch z bubliny “A”, resp. “B” v novej zjednotenej bubline, teda $$ V_{A1} + V_{B1} = \frac{4}{3} \pi r_1^3. \qquad(2)$$

Z jednotlivých rovníc 1 vyjadríme $V_{A1}$, $V_{B1}$, $r_1$ a (spolu s rovnicami pre objemy jednotlivých bublín) dosadíme ich do rovnice 2, čím ich všetky zlúčime do jednej $$ \left(\frac{p_A}{p_1}\right)^{1/\kappa} r_A^3 + \left(\frac{p_B}{p_1}\right)^{1/\kappa} r_B^3 = \left(\frac{4\sigma}{p_1 - p_0}\right)^3 $$ pre neznámy tlak $p_1$. Tú vyriešime numericky alebo odčítaním z grafu pre hodnoty parametrov zo zadania a dopočítame hľadaný polomer podľa vzťahu $r_1 = \frac{4\sigma}{p_1 - p_0}$. Dostaneme $r_1 \doteq \SI{10.40295}{\centi\metre}$.

Nájsť polomer bubliny po vyrovnaní teploty s okolím je podstatne jednoduchšie. Stavové veličiny sú medzi sebou prepojené stavovou rovnicou. Pre jednotlivé bubliny možno písať $$ \begin{aligned} p_A V_A &= N_A k T_0, \ p_B V_B &= N_B k T_0. \end{aligned} $$ Sčítaním týchto dvoch rovníc dostaneme $$ p_A V_A + p_B V_B = \left(N_A + N_B\right) k T_0 = NkT_0. $$

Pre zjednotenú bublinu po vyrovnaní teplôt platí $$ p_2 V_2 = NkT_0, $$ teda $$ p_A V_A + p_B V_B = p_2 V_2. $$

Zároveň vieme, že $$ p_2 = p_0 + \frac{4\sigma}{r_2}, $$ a preto $$ p_A r_A^3 + p_B r_B^3 = \left(p_0 + \frac{4\sigma}{r_2}\right) r_2^3. $$

Odtiaľ opäť numericky/graficky pre hodnoty zo zadania dostaneme $r_2 \doteq \SI{10.40395}{\centi\metre}$.

Komentár k riešeniam

Časté chyby

1. Úplne najčastejšou chybou vo vašich riešeniach bolo, že ste prehlásili, že objem vzduchu v zjednotenej bubline bezprostredne po pretečení bude jednoducho súčtom objemov vzduchu v jednotlivých bublinách. Toto je však pravda pre počty častíc, resp. látkové množstvá, nie pre objemy. Treba si uvedomiť, že vzduch v bublinách je nejako stláčaný kapilárnym tlakom. Lenže v samostatných bublinách, ktoré sú menšie, je stláčaný viac. To znamená, že po zjednotení, keď pôsobí menší kapilárny tlak, sa môže vzduch viac rozpäť, a tým pádom bude zaberať väčší objem než $V_A + V_B$.

2. Niektorí ste sa snažili riešiť úlohu pomocou zachovania energie. Uvažovali ste, že po zjednotení bublín sa zmenší povrch, a tým klesne povrchová energia $\sigma S$. Predpokladali ste, že táto energia sa premení na vnútornú energiu vzduchu v bubline, čím sa zvýši jeho teplota. Zabudli ste však, že podľa prvej vety termodynamickej sa dodaná energia môže nielen zmeniť na vnútornú energiu plynu, ale môže sa spotrebovať aj na konanie práce. A v tomto prípade, ako sme už uviedli v predchádzajúcom bode, vzduch v bublinách expanduje, čiže koná prácu. Preto v skutočnosti teplota vzduchu v bublinách naopak ešte poklesne. To možno vidieť z rovnice adiabaty v tvare $p^{\kappa-1}/T^\kappa = \textrm{konšt.}$, ktorá hovorí, že pokles tlaku znamená pokles teploty.

Homogenizovaná adiabatická

expanzia

Zopár z vás prišlo s modelom, že po otvorení ventilu sa tlak vo vnútri najskôr vyrovná a až potom dôjde k pretečeniu vzduchu z menšej bubliny do väčšej a adiabatickej expanzii. Argumentom pre takýto model by mohlo byť, že vzduchu bude trvať kratšie presunúť sa tak, aby sa vyrovnali tlaky, oproti času potrebnému na zmrštenie jednej bubliny a nafúknutie druhej. Problém však je, že tlak je prejavom zrážok molekúl vzduchu s bublinou a pri zmršťujúcej sa bubline dochádza k tým zrážkam častejšie, preto v tejto časti bude zákonite vyšší tlak a tento vyšší tlak tu bude zmršťovaním menšej bubliny zachovávaný bez ohľadu na to, že tlak sa bude chcieť pretekaním vzduchu vyrovnať. V praxi preto bude v systéme bublín skôr nejaký gradient tlaku než homogénny tlak v celom objeme.

Ak by sme predsa len pripustili tento homogenizovaný model, pre homogenizovaný tlak a objem by platilo $p_H V_H = p_A V_A + p_B V_B$ (zo súčtu látkových množstiev) a $V_H = V_A + V_B$. Pre následnú adiabatickú expanziu by sme mali $p_H V_H^\kappa = p_1 V_1^\kappa$, kde $p_1 = p_0 + \frac{4\sigma}{r_1}$. Zlúčením rovníc dostaneme $$ \frac{p_A r_A^3 + p_B r_B^3}{r_A^3 + r_B^3} \left(r_A^3 + r_B^3\right)^\kappa = \left(p_0 + \frac{4\sigma}{r_1}\right) r_1^{3\kappa}. $$ Numerickým riešením rovníc dostaneme $r_1 \doteq \SI{10.40295}{\centi\metre}$, čo je, v rámci presnosti numerického riešenia, rovnaký výsledok ako pre model uvažovaný vo vzoráku.

Len pre úplnosť dodajme, že vo vzoráku predpokladáme, že nedochádza k vzájomnému premiešavaniu vzduchu z jednotlivých bublín, pričom pripúšťame vnútorné vyrovnávanie tlakov či prechod tepla. Dá sa to predstaviť tak, ako keby bola medzi vzduchom z jednotlivých bublín nekonečne ľahká, dokonale poddajná membrána. Je zrejmé, že takáta membrána nijako neovplyvňuje stavové veličiny nikde vo vnútri bublín, preto takýto model lepšie popisuje realitu. Vo výsledku tak napríklad takýmto modelom vieme dostať rozdielne teploty v jednotlivých častiach bubliny. Toto však dáva zmysel. Vzduchu z menšej bubliny po zjednotení klesne tlak viacej, preto by sa mal aj viac ochladiť. Toto homogenizovaný model nepripúšťa.