V tomto riešení budeme predpokladať, že lano, aj napriek tomu, že sa natiahne, bude mať stále rovnakú plochu prierezu ako pred roztočením. Novú dĺžku, ktorú lano dosiahne po roztočení, vieme vypočítať dvomi rôznymi postupmi. Buď môžeme zistiť, pri akej dĺžke lana sa naň pôsobiace sily vyrušia, alebo môžeme vypočítať, pri akej dĺžke nadobúda lano najmenšiu energiu. Začnime prvým spomenutým spôsobom.

Pred tým by sme si ale ešte mali čosi spomenúť o Youngovom module pružnosti. Ten je definovaný ako $$ E = \frac{\sigma}{\epsilon}, $$ kde $\sigma$ je napätie v lane, teda sila $F_\mathrm{t}$ v lane vydelená jeho plochou prierezu $S$, a $\epsilon$ je relatívne predĺženie, čiže rozdiel novej dĺžky $L’$ a starej dĺžky $L$ vydelený pôvodnou dĺžkou $L$. Preto $$ E = \frac{F_\mathrm{t}}{S}\frac{L}{L’ - L}, $$ odkiaľ si vyjadríme silu v lane spôsobenú jeho natiahnutím ako $$ F_\mathrm{t} = ES\frac{L’ - L}{L}. \qquad(1)$$ Tu si zároveň všímame podobnosť s pružinou, ktorá pôsobí silou $$ F_\mathrm{p} = kx, $$ kde $x$ je predĺženie, čiže v prípade nášho lana $x = L’ - L$, a preto sa lano správa ako pružina s tuhosťou $$ k = \frac{ES}{L}. \qquad(2)$$

Prístup cez sily

Nakreslime si obrázok 1, na ktorom je zobrazený kúsok lana po jeho roztočení. Celé lano má dĺžku $L’$ a nový polomer kružnice, ktorú lano tvorí, označme $R’$. Pozrime sa na veľmi malý kúsok lana prisluchajúceho k stredovému uhlu kružice $2\diff\phi$. Oproti pôvodnému stavu sa o čosi natiahol, a preto si k sebe priťahuje susedné časti lana silou $F_\mathrm{t}$. Presne to isté ale robia aj tie susedné časti. Preto na náš kúsok lana pôsobia na jeho koncoch sily veľkosti $F_\mathrm{t}$ od susedných častí. Je tu však ešte tretia sila – odstredivá. A nová dĺžka $L’$ je práve taká, že vektorový súčet týchto troch síl je nulový. Je zrejmé že zložky síl $F_\mathrm{t}$, ktoré majú smer dotyčnice ku kružnici sa odčítajú, a teda budeme riešiť len zložky síl smerom do stredu kružnice.

obrázok 1: Lano po roztočení

Keďže lano má všade rovnaký Youngov modul pružnosti $E$, tak relatívne preĺženie celého lana je rovnaké, ako relatívne predĺženie ľubovoľného kúska lana, teda aj nášho. To znamená, že veľkosť síl $F_\mathrm{t}$ sme si vyjadrili už v rovnici 1. Potrebujeme ich zložku v smere do stredu kružnice, ktorá je z pravouhlého trojuholníka jednoducho $$ F_\mathrm{t, str} = ES\frac{L’ - L}{L} \diff\phi, $$ kde sme využili, že uhol $\diff\phi$ je veľmi malý, a teda $\sin\diff\phi \approx \diff\phi$.

Odstredivú silu vo všeobecnosti rátame ako $F_\mathrm{od} = m\omega^2 R$, pričom v našom prípade vieme hmotnosť kúska lana zistiť z trojčlenky ako $m = M\frac{\diff L’}{L’}$. Keďže dĺžka kúska je $\diff L’ = 2R’\diff\phi$, jeho hmotnosť je $m = M\frac{2R’\diff\phi}{L’}$. Vzdialenosť od osi otáčania je $R’$. Preto na kúsok lana pôsobí odstredivá sila $$ F_\mathrm{od} = M\frac{2R’\diff\phi}{L’} \omega^2 R’. $$ Proti nej pôsobia dve sily $F_\mathrm{t, str}$, čiže $$ \begin{aligned} F_\mathrm{od} &= 2F_\mathrm{t, str}, \ M\frac{2R’\diff\phi}{L’} \omega^2 R’ &= 2ES\frac{L’ - L}{L} \diff\phi, \ M\frac{R’^2}{L’} \omega^2 &= ES\frac{L’ - L}{L}, \ M\frac{L’}{4\pi^2} \omega^2 &= ES\frac{L’ - L}{L}, \ L’ &= \frac{L}{1 - \frac{M\omega^2 L}{4\pi^3 E r^2}}, \end{aligned} \qquad(3)$$ pričom pri úpravách sme využili aj, že $R’ = \frac{L’}{2\pi}$ a $S = \pi r^2$. Celkové predĺženie teda je $$ L’ - L = L \frac{\frac{M\omega^2 L}{4\pi^3 E r^2}}{1 - \frac{M\omega^2 L}{4\pi^3 E r^2}}. \qquad(4)$$

Prístup cez energie

Lano zo zadania v sebe uchováva dve energie – jednu kvôli tomu, že sa predĺžilo, a druhú odhalíme, ak sa presunieme do neinerciálnej sústavy rotujúcej spolu s lanom. V nej pôsobí odstredivá sila veľkosti $F_\mathrm{od} = m\omega^2 R$ smerom od stredu. Preto, ak by sme v tejto sústave chceli ísť smerom dostredu, musíme konať prácu proti odstredivej sile, zatiaľ čo pri pohybe od stredu koná odstredivá sila prácu na nás. To znamená, že sa nachádzame v silovom poli, o ktorom vieme, že sila závisí od výchylky. Preto môžeme zadefinovať odstredivú potenciálnu energiu $E_\mathrm{od} = -\frac{1}{2} M\omega^2 R’^2 = -\frac{M\omega^2}{8\pi^2} L’^2$ rovnako, ako pružina, čiže naše lano, má potenciálnu energiu pružnosti $E_\mathrm{p} = \frac{1}{2} k (L’ - L)^2$. Tuhosť lana sme už vyjadrili v rovnici 2, preto $E_\mathrm{p} = \frac{1}{2} \frac{ES}{L} (L’ - L)^2$. Odstredivá potenciálna energia má záporné znamienko, lebo smerom od stredu klesá¹, ale energia pružnosti smerom od stredu rastie, keďže tým sa lano predlžuje. No a lano nadobudne presne takú dĺžku $L’$, aby jeho celková energia bola čo najmenšia. To znamená, že hľadáme minimum súčtu energie pružnosti a odstredivej energie $$ \begin{aligned} \Drv{(E_\mathrm{p} + E_\mathrm{od})}{L’} = \DrvE{L’}\left(\frac{1}{2} \frac{ES}{L} (L’ - L)^2 - \frac{M\omega^2}{8\pi^2} L’^2\right) &\stackrel{!}{=} 0, \ \frac{ES}{L} (L’ - L) - \frac{M\omega^2}{4\pi^2} L’ &= 0. \end{aligned} $$ Túto rovnicu sme už ale vyriešili, pretože to je rovnica 3. Preto, pochopiteľne, aj týmto spôsobom dostaneme rovnaký výsledok.

Poznámka k správnosti

výsledku

Z rovnice 4 vidíme, že predĺženie je záporné, ak $M\omega^2 L > 4\pi^3 E r^2$. Mohlo by sa teda zdať, že výsledok je neprávny, pretože predĺženie lana v tejto úlohe predsa musí byť za každých okolností kladné. Dôvodom je rovnica 1, ktorá hovorí, že ťahová sila v lane je priamo úmerná predĺženiu lana $L’ - L$. Toto však platí iba pre predĺženia, ktoré sú dostatočne malé voči pôvodnej dĺžke lana $L$, čiže $$ \frac{L’ - L}{L} \ll 1. $$ Ľavú stranu vieme vyjadriť z rovnice 4, odkiaľ máme $$ \frac{\frac{M\omega^2 L}{4\pi^3 E r^2}}{1 - \frac{M\omega^2 L}{4\pi^3 E r^2}} \ll 1, $$ čo po jednoduchej úprave prejde na $$ M\omega^2 L \ll 2\pi^3 E r^2. $$ Naše riešenie je teda správne iba pri splnení tejto podmienky. Prípad $M\omega^2 L > 4\pi^3 E r^2$ túto podmienku nespĺňa, a preto nás nemusí trápiť, že dáva záporné predĺženie.