Máme úlohu s nekonečnou odporovou sieťou, čo znamená, že sa budeme snažiť využiť klasický trik, trik spočívajúci v tom, že v odporovej sieti nájdeme časť, ktorá v sebe obsahuje seba samú (prípadne svoju zmenšenú verziu). Keďže v tomto prípade ide o fraktál, nemuselo by to byť náročné.

Pri riešení takisto využijeme druhý trik (ktorý nie je nutne spojený s nekonečnými sieťami) a zistíme, že obvod môžeme na niektorých miestach rozpojiť (čím zjednodušíme počítanie) tak, že odpor medzi dvomi zadanými bodmi sa nezmení. Tento trik je založený na tom, že v obvode existujú body, ktoré keby sme spojili, tak medzi nimi nebude tiecť prúd, lebo medzi nimi je nulové napätie. Spojenie takýchto dvoch bodov preto do schémy môžeme ale nemusíme zakresliť, lebo v konečnom dôsledku sa vlastne nič nezmení. Pozor, táto vlastnosť netečenia prúdu medzi dvomi bodmi je viazaná na fixné dva body, medzi ktorými meriame odpor. Ak by sme zvolili iné dva, medzi bodmi by už napätie mohlo byť.

Najjednoduchšie si to ukážeme na štyroch rovnakých rezistoroch, pričom sú zapojené paralelne na dvoch vetvách tak, že na každej vetve sú dva rezistory zapojené sériovo. Na oboch vetvách je rovnaké napätie, takže tam tečie aj rovnaký prúd. Keďže je tam rovnaký prúd, tak úbytok napätia na prvom rezistore vo vetve je pre obe vetvy rovnaký.

Pozrime sa na miesta medzi prvým a druhým rezistorom na jednotlivých vetvách. Napätie medzi nimi je nulové, lebo pred prvými rezistormi bolo rovnaké napätie a prechodom cez prvé rezistory kleslo na oboch vetvách rovnako. Preto, ak teraz tieto dve miesta spojíme, týmto spojom nebude tiecť žiadny prúd, čo znamená že situácia bude rovnaká ako keby spojené neboli.

My budeme využívať túto fintu opačne, a teda budeme hľadať miesta, ktoré môžeme rozpájať. Uvedomme si, že rozpájať môžeme aj uzly, keď do nich idú napríklad štyri vodiče. Korektnosť takéhoto rozpájania vyplýva z toho, že uzol, do ktorého idú štyri vodiče, vieme prekresliť ako dva uzly, do ktorých idú tri vodiče, pričom jeden z tých vodičov uzly prepája. Rozstrihnutím prepájacieho vodiča rozdelíme uzol na dva.

Takýmto spôsobom si vieme celý obvod rozdeliť na dva priamkou, ktorá spája protiľahlé vrcholy najväčšieho štvorca, medzi ktorými meriame odpor. Prúd medzi týmito dvomi polovicami obvodu nebude prúdiť kvôli symetrii obvodu. Zo symetrie vyplýva, že úbytok napätia po body na danej priamke je rovnaký v oboch častiach, a teda môžeme obvod v tom mieste rozdeliť na dva.

obrázok 1: Polovica odporovej siete s rozpojenými uzlami na základe symetrie problému

Hľadajme teraz už len odpor jednej časti, lebo odpor druhej bude rovnaký, a keďže sú zapojené paralelne, celkový odpor bude polovica odporu jednej časti. Využitím úvah o rozpájaní obvodov vieme túto jednu časť prekresliť ako na obrázku 1, kde si môžeme všimnúť, že horný vrchol tmavšej časti sme odpojili od šedej časti. Toto je opodstatnené tým, že sieť na obrázku je symetrická podľa zvislej osi. Symetria nám zabezpečuje, že na všetkých bodoch osi symetrie bude rovnaký potenciál, lebo pokles napätia bude polovičný z celkového poklesu v obvode.

Zároveň si môžeme všimnúť, že tmavá časť obvodu je vlastne rovnaká ako celý obvod na obrázku, len dvakrát zmenšená.¹. Ak si teda označíme $R$ odpor celej časti na obrázku, odpor malej tmavšej časti bude $\frac{R}{2}$. S týmto poznatkom vieme vyjadriť odpor celej časti pomocou odporu tej časti ako $$ R = 2\lambda a + \frac{1}{\frac{1}{2\lambda a} + \frac{\sqrt{2}}{2\lambda a} + \frac{1}{\frac{2\lambda a}{\sqrt{2}} + \frac{R}{2}}}, \qquad(1)$$ kde prvý člen je za dva drôty na začiatku a na konci a druhý člen za paralelne zapojené tri vetvy v strede². Po dlhých, no vo svojej podstate priamočiarych algebrických úpravách rovnice 1, vieme vyjadriť odpor polovice odporovej siete ako $$ R = \frac{-2 + 2\sqrt{1 + 2(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 2)}}{1 + \sqrt{2}} a\lambda, \qquad(2)$$ kde pri riešení kvadratickej rovnice zoberieme znamienko plus, lebo s mínusom by sme dostali záporný odpor, čo určite nie je fyzikálne správne.

Na zistenie celkového odporu nám stačí zobrať polovicu odporu jednej vetvy, lebo ako sme už spomínali, takéto vetvy sú zapojené dve paralelne. Preto odpor medzi dvomi protiľahlými vrcholmi fraktálu z vpísaných štvorcov je $$ R_\text{celk.} = \frac{-1 + \sqrt{1 + 2(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} + 2)}}{1 + \sqrt{2}} a\lambda. \qquad(3)$$