Otázka, o koľko sa predĺži deň vlastne znamená, o koľko sa spomalí rotácia Zeme. Zamyslime sa najskôr, prečo by sa mala zmeniť rýchlosť rotácie Zeme, keď sa ľudia rozbehnú. Na to, aby sa ľudia uviedli do pohybu, potrebujú silu, ktorá by na nich v tomto smere pôsobila. Nepotrebujeme doktorát z teoretickej fyziky, aby sme prišli na to, že tou silou je trenie. Lenže ak Zem pôsobí na ľudí silou, ľudia pôsobia tak isto veľkou silou opačného smeru na Zem. To znamená, že všetci ľudia v jednom momente začnú na povrch Zeme v dotyčnicovom smere pôsobiť silou. Aby táto sila spôsobila spomaľovanie rotácie Zeme, musí pôsobiť proti smeru rotácie Zeme, a teda ľudia sa musia rozbehnúť v smere jej rotácie.

Keď už vieme, k čomu pri rozbiehaní dochádza, pokúsme sa to nejako popísať rovnicami. Popísať to vyššie uvedeným spôsobom pomocou síl by bolo síce možné, no značne komplikované, keďže by sme museli spočítavať príspevky od všetkých ľudí. Naša fyzikálna skúsenosť nám však hovorí, že v takýchto úlohách vedia často zjednodušiť počítanie zákony zachovania. Poďme sa teda pokúsiť zistiť, či tu možno nejaký zmysluplne použiť.

Už na prvý pohľad je zjavné, že zákon zachovania energie nám nepomôže. Zo skúsenosti vieme, že pri behu sa vždy unavíme – pri rozbiehaní konáme prácu. (Mechanická) Energia sa teda nezachováva. A spočítať, akú veľkú prácu vykonáme, aby sme ju započítali do zákona zachovania energie, tiež nie je jednoduché.

So zákonom zachovania hybnosti to na prvý pohľad vyzerá nádejnejšie. Trecia sila medzi nohami bežcov a povrchom Zeme je z pohľadu sústavy Zem-ľudia vnútornou silou, teda nemení celkovú hybnosť sústavy. Problém však je, že trecia sila spôsobuje len zmenu rýchlosti rotácie a nie zmenu pohybu ťažiska, preto použitím tohto zákona získame len to, že sa rýchlosť pohybu ťažiska sústavy Zem-ľudia nezmení. Ani zákonom zachovania hybnosti sme si teda nepomohli.

Vo chvíľach najväčšieho zúfalstva je potrebné vytiahnuť najťažšie zbrane – zákon zachovania momentu hybnosti. Moment hybnosti je rotačným ekvivalentom hybnosti, takže tušíme, že tu by sme konečne mohli pochodiť. Ak je hybnosť súčinom hmotnosti (lenivosti hmoty vykonávať translačný pohyb) a translačnej rýchlosti, tak moment hybnosti bude súčinom lenivosti hmoty rotovať – t. j. momentu zotrvačnosti – a uhlovej rýchlosti, teda $L = J\omega$. Už len stačí zrátať moment hybnosti na začiatku, na konci, dať ich do rovnosti a tešiť sa, že sme úlohu vyriešili.

Pre zjednodušenie života budeme Zem považovať za homogénne teleso – či už guľu s polomerom rovným rovníkovému polomeru Zeme $R = \SI{6378}{\kilo\metre}$ alebo rotačný elipsoid s rovnako veľkou hlavnou polosou – obe telesá majú rovnaký moment zotrvačnosti $J = \frac{2}{5}MR^2$. Nech je hmotnosť Zeme bez ľudí $M$ a hmotnosť ľudí samotných $m$. Ďalej nech je uhlová rýchlosť Zeme na začiatku $\Omega$, po rozbehnutí ľudí $\omega$ a nech ľudia bežia priemernou rýchlosťou $v = \SI{10}{\kilo\metre\per\hour}$.

Predpokladajme, že sú ľudia pred zúčastnením sa behu na Zemi rozmiestnení rovnomerne, teda formujú sféru s momentom zotrvačnosti $J = \frac{2}{3}mR^2$, a rotujú spolu so Zemou. Celkový moment hybnosti je v tomto prípade $$ L_1 = \left(\frac{2}{5} M R^2 + \frac{2}{3} m R^2\right) \Omega. $$ Po rozbehnutí ľudí sa zmení uhlová rýchlosť Zeme na $\omega$. Ľudia bežiaci okolo rovníka rýchlosťou $v$ však majú uhlovú rýchlosť $\omega + \frac{v}{R}$. Navyše ale už nie sú rozmiestnení rovnomerne na povrchu gule, ale sú na rovníku, teda vytvárajú obruč, ktorej moment zotrvačnosti je $mR^2$. Preto moment zotrvačnosti sústavy Zem-ľudia po rozbehnutí ľudí je $$ L_2 = \underbrace{\frac{2}{5} MR^2\omega}{\textrm{Zem}} + \underbrace{mR^2 \left(\omega + \frac{v}{R}\right)}. $$ Po dosadení do rovnosti už vieme vyjadriť $$ \omega = \frac{\left(\frac{2}{5} M + \frac{2}{3} m\right)\Omega - m\frac{v}{R}}{\frac{2}{5}M + m}. $$ Hľadané predĺženie dňa je teda $$ \tau = \frac{2\pi}{\omega} - \frac{2\pi}{\Omega} = \frac{2\pi}{\Omega} \frac{\left(\frac{1}{3}\Omega + \frac{v}{R}\right) m} {\left(\frac{2}{5}M + \frac{2}{3}m\right)\Omega - m\frac{v}{R}}. $$}

Hmotnosť Zeme je približne $\SI{6.e24}{\kilo\gram}$. Na Zemi žije asi osem miliárd ľudí a ak je priemerná hmotnosť človeka $\SI{60}{\kilo\gram}$, hmotnosť všetkých ľudí bude približne $\SI{5.e11}{\kilo\gram}$. Vidíme, že $m\ll M$, a teda možno členy v menovateli obsahujúce $m$ zanedbať.¹ Ak uvážime, že $T = \frac{2\pi}{\Omega}$, konečne dostávame $$ \tau \approx \left(\frac{5}{6} + \frac{5vT}{4\pi R}\right)\frac{m}{M}T. $$ Po dosadení číselných hodnôt² zisťujeme, že deň sa predĺži o $\tau \approx \SI{1.67e-12}{\hour} \approx \SI{6.e-9}{\second}$.

Komentár k riešeniam

Vo vašich riešeniach ste zvyčajne neuvažovali, že celé ľudstvo nežije na rovníku, a teda ak sa chce okolo neho rozbehnúť, musí sa k nemu najskôr presunúť. To ale znamená, že sa tým mení rozloženie hmoty vzhľadom na os rotácie, čiže moment zotrvačnosti. Zmena momentu zotrvačnosti však spôsobuje zmenu uhlovej rýchlosti rotácie, aby sa zachoval celkový moment hybnosti. Keď sa ľudia presúvajú k rovníku, vzdiaľujú sa od osi rotácie, čím sa zväčšuje moment zotrvačnosti a uhlová rýchlosť rotácie preto klesá. Toto je dobre známy efekt krasokorčuliara.

V našom výsledku faktor $5/6$ predstavuje práve tento efekt. Druhý člen predstavuje spomalenie rotácie v dôsledku samotného rozbehnutia sa ľudí. Ak ste teda zabudli započítať efekt presunutia sa ľudí k rovníku, vo výsledku vám chýbal prvý člen. Keď si však vyčíslite druhý člen, je skoro 56-krát menší než prvý, preto ste dostali skoro o dva rády menší výsledok.